巧用數(shù)形結(jié)合 提升數(shù)學(xué)運算能力

曹逸

摘要：數(shù)形結(jié)合是一種可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化的數(shù)學(xué)思想方法。在計算教學(xué)中巧妙運用數(shù)形結(jié)合，可以幫助學(xué)生親歷探索全過程，明晰算理，形成算法，發(fā)現(xiàn)計算規(guī)律。在計算練習(xí)中合理運用數(shù)形結(jié)合，可以提升學(xué)生理解運算、實施運算和估算的能力，能有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算的能力水平。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;運算能力

中圖分類號：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2018）19-075-2

數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想。數(shù)形結(jié)合可以將復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，實現(xiàn)抽象思維和形象思維的有機結(jié)合。數(shù)形結(jié)合不僅是一種教學(xué)思想，還是一種很好的教學(xué)方法。教學(xué)中有不少抽象的、學(xué)生難以理解和掌握的內(nèi)容，通過數(shù)形結(jié)合的使用可以巧妙地突破重點、化解難點。

一、利用數(shù)形結(jié)合，親歷發(fā)現(xiàn)過程

1.經(jīng)歷探尋“理”和“法”的過程

算理是計算過程中的道理，是解決“為什么這樣算”的問題，而算法是計算的方法，是解決“怎樣算”的方法。算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉概括。在理解算理的基礎(chǔ)上，算法才能融會貫通，靈活運用。數(shù)形結(jié)合可以有效地把算理顯性化、直觀化。

教學(xué)中，教師應(yīng)重視指導(dǎo)學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計算方法。例如，在教學(xué)“加法運算律及其簡便計算”課中，教師引導(dǎo)學(xué)生思考323+102、426+199可以怎樣簡便計算，讓學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗提出自己的想法：

323+102=323+100+2

426+199=426+200-1

追問：為什么可以這樣轉(zhuǎn)化呢？誰能解釋一下這樣算的道理？（學(xué)生的思維很活躍。）

生1：假如我去超市買東西，我先付了323元，還要付102元。我先給營業(yè)員100元，再加兩個硬幣，所以323+102可以變成323+100+2。第二題我先付了426元，然后又給了阿姨2張100，可是多付了1元，所以要用426+200-1。

生2：我把102拆成100+2，所以323+102可以變成323+100+2。把199拆成200-1，所以426+199等于426+200-1。

生3：因為102包含了1個百和2個1，所以可以先加上1個百，再加2個1。第二題是需要加199個1，但是卻加上了200，多加了1個，所以要減去。

此時，教師應(yīng)及時出示下列圖示，讓學(xué)生借助圖形理解算理，深化對計算方法的認(rèn)識。

2.親歷發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身是一個探索、創(chuàng)造知識的過程。計算教學(xué)包含了大量的探索運算規(guī)律的內(nèi)容。利用數(shù)與形的聯(lián)系進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，尤其是規(guī)律探索問題變得簡單易懂。

例如教學(xué)《積的變化規(guī)律》一課，通過自主探究，學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)了“一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘幾，得到的積就等于原來的積乘幾”這個規(guī)律，此時教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生：是不是所有的乘法算式中都存在這樣的規(guī)律呢？因此，我們剛才提出的猜想還需要進(jìn)一步驗證。試舉例，用算式或者畫圖驗證一下。

生1：

生2：我用一個長方形面積表示4×9，長不變，寬乘2，所以面積也乘了2。

學(xué)生用圖形表達(dá)出了規(guī)律，很有創(chuàng)意。

之后，教師再次出示圖形，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索：如果兩個乘數(shù)同時擴大，比如一個乘數(shù)乘2，另一個乘數(shù)乘3，積會怎樣變化呢？試著畫一畫、算一算，驗證自己的猜想。

生1：

生2：

無論是長方形還是正方形，學(xué)生都能有意識地運用圖形表征積的變化規(guī)律，這種圖形表征方法直觀形象，利于學(xué)生理解和內(nèi)化抽象的規(guī)律。

二、利用數(shù)形結(jié)合，提升運算能力

計算練習(xí)的優(yōu)化對于學(xué)生運算能力的提升起著關(guān)鍵作用。教師應(yīng)根據(jù)情況合理選擇數(shù)形變換的方式，提升數(shù)學(xué)運算的能力水平，發(fā)展思維能力。

1.數(shù)形結(jié)合，提升理解運算水平

對運算的理解不能僅僅在新授課中出現(xiàn)，在練習(xí)中同樣需要。通過練習(xí)回顧，更加利于學(xué)生對運算規(guī)則、運算步驟表示含義的內(nèi)化和深化。理解運算的基本能力水平要求是“能在簡單情境中識別運算規(guī)則”;高一級能力水平要求“能說明運算過程中特定步驟表示的含義”;更高能力水平的評價標(biāo)準(zhǔn)為“能用適當(dāng)?shù)姆绞剑ㄈ绠媹D、描述等）解釋運算規(guī)則或結(jié)果”。由此可見數(shù)形結(jié)合對于提升理解運算能力水平的必要性。設(shè)計練習(xí)，可以讓學(xué)生根據(jù)算式的意義、運算規(guī)則和數(shù)學(xué)規(guī)律描述圖形，或借助圖形刻畫運算規(guī)則或結(jié)果，提升理解運算能力水平。

例如題1：下面三幅圖中，分別表述哪一個運算定律。

再如題2：a+a=2a，a×a=a2，有沒有什么方法可以區(qū)分？可以寫一寫，可以畫一畫。

生1：

生2：

2.數(shù)形結(jié)合，提升實施運算水平

數(shù)學(xué)運算的關(guān)鍵能力之二是實施運算。能力水平從低到高的標(biāo)準(zhǔn)依次為“能根據(jù)運算規(guī)則正確地進(jìn)行四則運算”“能在理解算理的基礎(chǔ)上，根據(jù)運算規(guī)則正確進(jìn)行驗算;能正確計算兩步整數(shù)四則混合運算試題”“能靈活運用規(guī)則，尋求合理簡潔的途徑進(jìn)行運算”。評價實施運算的高層次水平的重要標(biāo)準(zhǔn)是看運算是否合理、簡潔、優(yōu)化。在計算練習(xí)中，數(shù)與形的合理轉(zhuǎn)化恰可將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，尤其是具有一定規(guī)律性的問題變得簡潔易懂。在尋求最優(yōu)運算方法的過程中，促進(jìn)學(xué)生運算能力的提升。

例如：計算1+3+5+7+…+19=？這是一個公差為2的等差數(shù)列計算，在課堂中學(xué)生并沒有學(xué)習(xí)相關(guān)的內(nèi)容。但是如果轉(zhuǎn)化成圖形來計算，則可以化繁為簡。

師：我們試著用不同的顏色的小正方形擺一擺，逐步表示出這個算式。

在教師的引導(dǎo)下，擺一擺并板書算式

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，要求這些數(shù)的和，就是求小正方形的個數(shù)。觀察圖形和對應(yīng)的算式，你發(fā)現(xiàn)怎樣算更簡便？通過觀察思考，學(xué)生感悟到可以把加法算式轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的平方數(shù)，從而輕松得出1+3+5+7+…+19=10×10=100。這一教學(xué)過程，教師不必向?qū)W生介紹等差數(shù)列這一抽象性較高的知識，而是借助圖形發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的規(guī)律和聯(lián)系。

3.數(shù)形結(jié)合，提升估算水平

數(shù)學(xué)運算的關(guān)鍵能力之三是“估算”。除了“能根據(jù)解決問題的需要選擇估算”、“能按照一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行估算或估計”的標(biāo)準(zhǔn)外，其高水平的評價標(biāo)準(zhǔn)為“能運用估算解決一些實際問題”。由于實際問題的情境比較復(fù)雜，需要學(xué)生綜合運用知識，開展深度思維。在這個過程中，數(shù)形的巧妙轉(zhuǎn)化可成為學(xué)生思考的腳手架，幫助學(xué)生梳理復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。

例如“工地有一堆黃沙需要運送。大貨車每輛運2噸，小貨車每2輛運1噸。大、小貨車一次把9噸黃沙全部運完?？赡苡袔纵v大貨車？幾輛小貨車？（可以列式計算，也可以畫一畫）”。

生1：

生2：

學(xué)生在解題過程中，巧妙運用畫圖策略，非常清晰地展示了思維過程，并且尋求了多種解題方法。

總之，正如華羅庚先生所說，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非”。在小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)中，教師應(yīng)滲透和培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，努力挖掘“數(shù)”和“形”的本質(zhì)聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生加強數(shù)形結(jié)合意識，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的逐步提高和數(shù)學(xué)能力的逐步提升打下堅實的基礎(chǔ)。