歸納高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)高效的解題技巧

胡青松

摘 要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點難點，具備高度的抽象性，題型涉及解答、選擇、填空三大類，是高考必考內(nèi)容知識點。三角函數(shù)的考查內(nèi)容多樣，但難度不大，學(xué)生通常會因題目表面題意迷惑及靈活多變的考查形式而摸不著頭腦，抓不準(zhǔn)解題的方法。從其根源來說，最主要的一點是學(xué)生尚未將解題的技巧完全掌握。三角函數(shù)于高中數(shù)學(xué)知識體系中是基礎(chǔ)，學(xué)生函數(shù)思維的形式無疑需對其解題技巧有根本化、基礎(chǔ)性的掌握，同時便于學(xué)生建構(gòu)起自身函數(shù)思維。主要致力于分析歸納高效性三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的解題技巧。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；解題技巧

一、分析高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)問題特征

在平面、立體幾何以及函數(shù)問題的解答中，多數(shù)情況均需擁有三角函數(shù)，盡管純?nèi)呛瘮?shù)問題占據(jù)比重不高。所以，數(shù)學(xué)教師需促使學(xué)生在課堂教學(xué)中掌握有關(guān)三角函數(shù)的知識理論，讓學(xué)生保持較好的學(xué)習(xí)成績。三角函數(shù)在高考中，一般作為解答題的第一題，不具備較大的難度性，學(xué)生可通過多種方式進(jìn)行解答，因這些問題相對較為靈活，所以對于問題的解決，教師可選擇最簡單快捷的方法進(jìn)行；三角函數(shù)這一章節(jié)中有許多需學(xué)生記憶的公式數(shù)量，所以數(shù)學(xué)教師需要針對公式的原理，在開展這一章節(jié)的教學(xué)中進(jìn)行分析，從而將學(xué)生對三角函數(shù)公式的記憶有效增強；在其他理科學(xué)科中，有關(guān)三角函數(shù)章節(jié)的知識均會被應(yīng)用，所以教師需聯(lián)系起和三角函數(shù)有關(guān)的科目知識，在教學(xué)的過程中促使學(xué)生將三角函數(shù)問題的相關(guān)解題技巧真正掌握。

二、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)高效解題技巧的歸納總結(jié)

1.強化審題的重要性

一些實用的技巧及方法在解答三角函數(shù)問題中需特別注意：針對較熟悉的題目，不可盲目地模仿，需和之前做過的題目進(jìn)行異同的對比分析；要做到“咬文嚼字”，認(rèn)真讀題。不可不求甚解便開始盲目做題；要克服粗心的毛病，養(yǎng)成細(xì)心審題的習(xí)慣，特別是需提升解題的準(zhǔn)確性，注意挖掘題目中隱含的條件，避免“會而不對”情況的出現(xiàn)，提升解題的準(zhǔn)確性；當(dāng)遇到新的題目時，需搞清楚未知及已知間的聯(lián)系，分清條件及結(jié)論，找準(zhǔn)解題的切入點。

2.加強練習(xí)，豐富解題思路

在高中數(shù)學(xué)中想要提高過學(xué)習(xí)及解題技巧的能力，其實并無簡單化的途徑，多多練習(xí)總歸是一條明智的途徑選擇。所以，為了豐富學(xué)生的解題思路，需結(jié)合起理論知識及實際的練習(xí)，如在學(xué)習(xí)三角函數(shù)正弦定理的過程中，為了提升學(xué)習(xí)的質(zhì)量，需要加強此習(xí)題的練習(xí)。如：A、B、C是銳角三角形的各個內(nèi)角，則a、b、c是相對應(yīng)的對邊，已知a=2bsinA，求B的大小。在解答的時候，可按照sinA=2sinBsinA這一正弦定理，所以在已知a=2bsinA的基礎(chǔ)上，得sinB= 。此題無非是對學(xué)生學(xué)習(xí)正弦定理的掌握程度，只有不斷加強三角函數(shù)強化練習(xí)，加強解題技巧，熟練地掌握基礎(chǔ)知識，才可有效提升學(xué)生三角函數(shù)學(xué)習(xí)的能力。

3.升冪降冪

三角函數(shù)冪次方在多問題中是不同的，且數(shù)的冪次方和三角函數(shù)有關(guān)，學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題的時候無法對其公式直接使用。而采用升冪或降冪的方法，解答過程更簡單。對于學(xué)生來說，升冪降冪解答技巧相對較為陌生，不太具有熟悉感，但是可取得非常顯著的效果，在對不同冪次方三角函數(shù)的處理上。對sin2α+cos2α=l及其相關(guān)變化的靈活應(yīng)用是升冪降冪解題技巧的關(guān)鍵。如對 的計算，解析中sin2α+cos2α=1的互逆使用是應(yīng)用升冪降冪技巧對此題進(jìn)行解答的關(guān)鍵，也就是說要使得冪次方達(dá)到一致，按照要求分別使用升冪和降冪處理。得出下述兩個等式，通過分別進(jìn)行降冪和升冪處理，經(jīng)過推導(dǎo)得出： = 。

（1） =

（2） =

升冪和降冪的作用從本題解題過程可以看成在于簡化原式，需從題干中挖掘出關(guān)鍵條件，以及發(fā)現(xiàn)問題隱藏。

4.平方法的使用

平方法在解析三角函數(shù)的過程中較為常見。教師可在答題的過程中，讓學(xué)生分析存在的題干，假設(shè)涵蓋余弦、正弦內(nèi)容均可考慮應(yīng)用平方法進(jìn)行問題的解答。如：方程x2-kx+k+1=0中，sinθ、cosθ是其兩個跟，已知θ∈（0，2π），則求出k的值是多少？教師需建議學(xué)生遇到此類題型的時候，需憑借韋達(dá)定理來計算出k的值。通過運算便可得出k的值會有2個，通常情況下因為不滿足值域，其中一個值會被舍去。因此得出k=-1，舍去的是k=3這個根。而老師必須要指導(dǎo)學(xué)生注意，在回答這一種類型三角函數(shù)中，學(xué)生應(yīng)先學(xué)會此種最基本方式，之后再選擇取倒數(shù)、取平方方式。較為牢固的基礎(chǔ)知識是開展三角函數(shù)知識教學(xué)中教師需對學(xué)生進(jìn)行的指導(dǎo)。

5.解題技巧中的數(shù)學(xué)思維總結(jié)

弦切互化、巧設(shè)參數(shù)、升冪降冪主要包含以下幾種解題思維。（1）函數(shù)和方程思想?？蓪⒑瘮?shù)思想用于解答方程，都可互相轉(zhuǎn)化，也可把方程知識用于理解函數(shù)?；诙叩穆?lián)系需同時考慮，把問題簡化；（2）化歸思想。多個不同轉(zhuǎn)化成單一三角函數(shù)；多個不同角度的轉(zhuǎn)化成單一角度三角函數(shù)；不同冪次轉(zhuǎn)化成同冪次三角函數(shù)等等；（3）還元思想。之前的變量通過新的替換，促使解答過程更簡化，新的變量更簡單，達(dá)到對之前原有問題結(jié)構(gòu)簡化的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉思言.淺談高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)的解題技巧：以三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)為例[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2017（7）.

[2]張新艷.例談高中三角函數(shù)求值題的解題技巧[J].數(shù)理化解題研究，2017（19）.

編輯 李琴芳