從曲線坐標(biāo)系的建立及其基矢特性的角度看待角速度、向心加速度的物理內(nèi)涵

摘要：關(guān)于“角速度”“向心加速度”的關(guān)系、物理內(nèi)涵及表達(dá)向來(lái)存在諸多爭(zhēng)論，各類論證普遍存在切入點(diǎn)不夠準(zhǔn)確、剖析不夠深刻的問(wèn)題.以三類常見(jiàn)的坐標(biāo)系為切入點(diǎn)，通過(guò)對(duì)基矢進(jìn)行物理及數(shù)學(xué)的特性分析，明確了“切向基矢對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)是對(duì)速度方向變化率的直接描述”，同時(shí)指出“角速度是角位置矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，自然坐標(biāo)系由于不使用質(zhì)點(diǎn)角坐標(biāo)，從而天然地沒(méi)有角速度這一概念”“向心加速度本質(zhì)是法向加速度在圓周運(yùn)動(dòng)中的習(xí)慣表示，不能隨意推廣至極坐標(biāo)系”“線速度概念來(lái)源于自然坐標(biāo)系，與角速度概念從本源上不是一對(duì)共軛物理量，其成對(duì)出現(xiàn)僅是一種基于圓周運(yùn)動(dòng)特殊性時(shí)使用上的習(xí)慣沿用”.

關(guān)鍵詞：角速度；向心加速度；切向基矢；法向基矢

作者簡(jiǎn)介：何?。?980-），男，四川自貢人，碩士，講師，研究方向：大學(xué)物理教學(xué)、光學(xué)理論.

目前各類中學(xué)教材在討論圓周運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題時(shí)，坐標(biāo)系的選擇使用存在較大問(wèn)題：沿著已知軌道（圓周）進(jìn)行速度的分析和分解，確定切向及法向兩個(gè)基矢方向，這是目前各類教材處理圓周運(yùn)動(dòng)的主流方法，但由此提出的“向心加速度”（本質(zhì)是“法向加速度”）由于圓周運(yùn)動(dòng)的特殊性——力心固定于圓心這一特點(diǎn)，平面極坐標(biāo)系這一工具被不自覺(jué)地同時(shí)引入.事實(shí)上兩類坐標(biāo)系也僅在圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)關(guān)系重疊，基矢兩兩關(guān)聯(lián)：法向與徑向相反、切向與橫向重合（如圖1），這便導(dǎo)致極坐標(biāo)系中建立的“角速度”概念由此混入自然坐標(biāo)系進(jìn)而引發(fā)一系列反復(fù)的爭(zhēng)論[1-5]，這一爭(zhēng)論在由圓周運(yùn)動(dòng)推廣到一般曲線類運(yùn)動(dòng)時(shí)變得激烈，尤其在分析諸如“拋體問(wèn)題”“勻速直線類問(wèn)題”等恒力類[4，5]問(wèn)題時(shí)達(dá)到頂峰.然而這些爭(zhēng)論過(guò)程中，雖然使得“真理越辯越明”，但由于切入點(diǎn)不夠準(zhǔn)確，致使剖析未能直達(dá)物理本質(zhì)，且普遍存在概念混亂、表達(dá)不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯?wèn)題.本文從基本概念的建立出發(fā)，牢牢抓住“曲線坐標(biāo)系的基矢非恒定矢量”這一特性進(jìn)行分析，指明易混淆的概念及其緣由，并將一些不正確但已成為習(xí)慣表達(dá)的物理名詞呈現(xiàn)出來(lái)，以供參考.

1基本概念的剖析

11運(yùn)動(dòng)學(xué)概念與曲線坐標(biāo)系的關(guān)系

“位矢”“速度”“加速度”這些是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本概念，相互以“對(duì)時(shí)間的變化率”進(jìn)行關(guān)聯(lián)及定義，但“角速度”“線速度”“法向加速度”“切向加速度”“徑向加速度”“角向加速度”“角加速度”等物理量的建立及“線”“角”“法向”等修飾詞的引入實(shí)際上都源于坐標(biāo)系的建立、矢量的分解這一操作的.存在這么多不同的修飾詞則是由于所選擇的坐標(biāo)系為曲線坐標(biāo)系，基矢之間并不平權(quán).事實(shí)上我們也常常使用直角笛卡爾坐標(biāo)系，此時(shí)各類矢量也會(huì)在三個(gè)基矢方向進(jìn)行分解，得到諸如“x方向速度、y方向加速度、z方向位矢”等相應(yīng)投影結(jié)果，但因?yàn)閷?duì)直角笛卡爾坐標(biāo)系而言，三個(gè)維度彼此平權(quán)，互相可通過(guò)簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)操作進(jìn)行互換，因此并不需要特別地給某個(gè)方向的分量取一特殊的名詞進(jìn)行區(qū)分.但對(duì)于以運(yùn)動(dòng)軌道的切線、法線作為基矢的自然坐標(biāo)系、以矢徑本身徑向及轉(zhuǎn)動(dòng)角向?yàn)榛傅钠矫鏄O坐標(biāo)系，推廣到三維則為球（或柱）坐標(biāo)系，首先，基矢之間從數(shù)學(xué)行為來(lái)講不對(duì)等、不能互相替換，因此給與一些定語(yǔ)進(jìn)行描述，以幫助我們清楚地抓住其物理行為的特點(diǎn)就很有必要（事實(shí)上我們也確實(shí)這么做了）；另外一個(gè)要點(diǎn)在于，不同于直角坐標(biāo)系中的三個(gè)基矢“，，”的恒定性（一旦坐標(biāo)系建立，則與時(shí)間、空間都無(wú)關(guān)），曲線坐標(biāo)系中的基矢均隨時(shí)空改變，因此在求導(dǎo)過(guò)程中會(huì)衍生出更多的項(xiàng)，導(dǎo)致表達(dá)式變得復(fù)雜，呈現(xiàn)各個(gè)基矢之間的交叉項(xiàng)、干涉項(xiàng)，這也是造成很多物理教師在理解過(guò)程中發(fā)生混亂的本質(zhì)原因.

12向心加速度與角速度關(guān)系的剖析

由上述分析可見(jiàn)，“法向加速度”是基于坐標(biāo)系基矢選擇所做的概念建立，表示加速度矢量沿軌道法線方向的分量，“向心加速度”則僅是一個(gè)并不嚴(yán)格的習(xí)慣表達(dá)，僅在圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，具備與“法向加速度”相同的含義.但巧合之處在于此時(shí)向心的“心”雖為圓心，卻由于選擇的習(xí)慣往往同時(shí)成為平面極坐標(biāo)系的原點(diǎn)，“向心”此時(shí)與“徑向”剛好是相反關(guān)系，從矢量角度來(lái)講僅僅差一個(gè)負(fù)號(hào)，具備互相轉(zhuǎn)換的條件——這便產(chǎn)生了從自然坐標(biāo)系向極坐標(biāo)系進(jìn)行過(guò)渡的可能（圖1）.另一個(gè)因素與“角速度”概念有關(guān)：角速度是質(zhì)點(diǎn)角位矢對(duì)時(shí)間的變化率=ddt，作為一矢量，確定一參考軸（例如通常平面極坐標(biāo)中所選擇的x軸）后其大小便可表示為角坐標(biāo)θ，方向則由右手螺旋定則確定（例如平面極坐標(biāo)中，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正向，故其方向?yàn)榇怪庇谠撈矫娴姆较颍?，此時(shí)=θ.但自然坐標(biāo)系中是沒(méi)有采用角度作為基本坐標(biāo)的，因此在該坐標(biāo)系中似乎并不天然地存在“角速度”這一概念，然而由于對(duì)一任意連續(xù)光滑可導(dǎo)的軌道，以平面軌道為例，此軌道形態(tài)總可以用函數(shù)y=y（x）表達(dá)，其每一段微元曲線均可對(duì)應(yīng)某一曲率半徑為1+y′232y″的大圓的一部分圓弧[6]（如圖2），因此在該點(diǎn)附近的曲線運(yùn)動(dòng)確實(shí)可用對(duì)應(yīng)大圓上的圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述，相應(yīng)地vρ便常被誤稱為“角速度”了.后面將會(huì)分析這里的“角參量”依然存在，但與前述極坐標(biāo)的情形已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)，因此認(rèn)為 “兩類角速度共存”是造成理解混亂的另一原因.本文所提到的關(guān)于前述基本概念所有認(rèn)知上的錯(cuò)誤都來(lái)源于這一場(chǎng)景：圓周運(yùn)動(dòng)中兩類坐標(biāo)系表述上的等價(jià)相關(guān)概念任意混用導(dǎo)致對(duì)一般曲線運(yùn)動(dòng)的分析產(chǎn)生邏輯障礙及物理量選擇的困惑.

2速度方向的變化率在不同坐標(biāo)系中的具體表示

現(xiàn)在我們嘗試著將“速度方向的變化率”這一抽象的矢量表達(dá)借助于三類常見(jiàn)坐標(biāo)系進(jìn)行詳細(xì)的展開(kāi)，將相關(guān)的易混淆的概念進(jìn)行剖析并挖掘相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系.

21自然坐標(biāo)系

在自然坐標(biāo)系中，速度沿軌道切線方向，其矢量描述為：=v[6]，切向基矢便是速度（矢量）方向的唯一描述，故其時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)便描述了速度方向隨時(shí)間變化的所有信息.注意到作為基矢，身份依然是矢量，故其對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)也必為矢量，因此這一變化率應(yīng)當(dāng)有大小和方向的兩重含義.

由圖2可得：

=cosφ+sinφ，=-sinφ+cosφ

·

=dτdt=-sinφ+cosφ=n=vρn，（注：此處及后續(xù)均沿用理論力學(xué)求導(dǎo)表示符號(hào)[6]：=dAdt）

由上述分析便能辨明一些模糊易混的說(shuō)法，如：“速度方向大小的變化快慢”，這即為切向基矢絕對(duì)值對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，顯然由于基矢為單位長(zhǎng)度矢量，故=ddtτ=0；“速度方向的變化率”則應(yīng)當(dāng)為vρn （或n的形式），包括大小和方向兩部分；“速度方向變化的快慢”則僅指vρ（或）.因此在不引發(fā)概念混淆的情況下，用自然坐標(biāo)系中的“切向基矢與參考軸（水平向x軸）夾角參量（方向?yàn)閦軸向）給出的角參量φ”定義的“角速度”的大小來(lái)描述速度方向的變化快慢很方便的，也似乎是可行的，然而這一做法正折射出目前我們的教材體系中不夠嚴(yán)謹(jǐn)之處：按照定義，速度（角速度）是描述質(zhì)點(diǎn)位置（角位置）矢量隨時(shí)間變換情況的物理量，極坐標(biāo)系中的角參量確實(shí)描述了質(zhì)點(diǎn)的角位置，滿足這一定義要求，但自然坐標(biāo)系中的方位角φ表達(dá)的卻是切向基矢的方向，并不直接與質(zhì)點(diǎn)位置相關(guān)聯(lián)，因此將定義為角速度的大小至少在運(yùn)動(dòng)學(xué)范疇是不正確的.事實(shí)上包括質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)，討論角速度、角動(dòng)量等概念中所對(duì)應(yīng)的“角”均對(duì)應(yīng)極坐標(biāo)系中的角坐標(biāo)，與φ唯一的關(guān)聯(lián)僅存于圓周運(yùn)動(dòng).

為此我們將兩類坐標(biāo)系中關(guān)于角參量對(duì)時(shí)間變化率的表達(dá)式進(jìn)行對(duì)比：

=ddt=dθdt=dθdt=，·=dτdt=n，由此可以很清楚地看到兩者區(qū)別：

是速度方向變化率除掉法向基矢的結(jié)果·n，而則是角速度矢量的絕對(duì)值（平面定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形），在一般曲線運(yùn)動(dòng)中兩者的物理意義完全不同.因此，我們常常使用的“線速度”“角速度”這一對(duì)看似共軛物理量實(shí)際從邏輯上講是行不通的，“線速度”的大小實(shí)質(zhì)是“速率”，方向沿切向，這一概念來(lái)源于自然坐標(biāo)系；而“角速度”如前分析，來(lái)源于極坐標(biāo)系，兩者本不應(yīng)同時(shí)出現(xiàn)于同一描述場(chǎng)景，但由于圓周運(yùn)動(dòng)中的等價(jià)特殊性，學(xué)者們還是保留了這一并不合邏輯的習(xí)慣表達(dá).因此筆者希望大家在保留這一習(xí)慣表達(dá)的同時(shí)，能從本源上認(rèn)清上述各類描述方式的實(shí)質(zhì)，再不用糾結(jié)于這些細(xì)碎問(wèn)題，反復(fù)爭(zhēng)論無(wú)休.

22極坐標(biāo)系

如果一定要使用具備基矢意義的矢量，引入極坐標(biāo)系，則速度矢量可表為[6]，如圖3所示.

=r+r

=r2+r2rr2+r2+rr2+r2

因此可知rr2+r2+rr2+r2部分即為速度方向在極坐標(biāo)系中的表示（等價(jià)于自然坐標(biāo)系的），其對(duì)時(shí)間變化率為：

ddtrr2+r2+rr2+r2=ddt1r2+r2=ddt1r2+r2+1r2+r2

=1r2+r2{[r2-2r22-r34-r2]+[23-r+r23+r2]}

這一非常復(fù)雜的表達(dá)式，由此可見(jiàn)速度方向矢量的時(shí)間變化率對(duì)矢徑、角坐標(biāo)及各自對(duì)時(shí)間的1、2階導(dǎo)數(shù)均有依賴性（因此包括角速度的大?。?，用此式可在極坐標(biāo)系中計(jì)算一般曲線運(yùn)動(dòng)的變化細(xì)節(jié).對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)而言，有，均為零這一特點(diǎn)，故上式簡(jiǎn)化作：

1r3-r34=-，此時(shí)-=，=ω=vρ.而關(guān)于直線類運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是否存在角速度及速度方向問(wèn)題的爭(zhēng)論正是混淆了非圓周運(yùn)動(dòng)中的與vρ關(guān)系，實(shí)際上對(duì)勻速直線運(yùn)動(dòng)例子，應(yīng)當(dāng)使用約束式（例如直線平行于x軸時(shí)用rsinθ=h）帶入上式進(jìn)行討論，經(jīng)過(guò)計(jì)算可得其速度方向變化率為0.

23直角坐標(biāo)系

同樣可給出直角坐標(biāo)系中的表示（此處僅討論平面情形）：

此處箭頭有誤=+=2+22+2+2+2

=2+2+2+2

ddt=2+2-2+2+232

+2+2-2+2+232

上式便是使用速度及加速度的x、y分量形式給出的對(duì)于速度方向變化率的表達(dá)形式，這一形式既不關(guān)聯(lián)角速度，也不關(guān)聯(lián)法向加速度，在具體描述及使用中缺乏實(shí)際意義.

3結(jié)論與分析

（1）速度方向的時(shí)間變化率是一矢量，嚴(yán)格表達(dá)為：dτdt，采用不同的坐標(biāo)系可有各類具體形式，其大小表示這一變化的快慢程度，在自然坐標(biāo)系中可用速率與該點(diǎn)曲率半徑的比值：vρ進(jìn)行描述，這一表達(dá)對(duì)應(yīng)于方位角對(duì)時(shí)間的變化率，但并非“角速度”.速度方向的時(shí)間變化率作為矢量，其方向指明引發(fā)該變化的力的方向.

（2）圓周運(yùn)動(dòng)具有特殊性，若選擇圓心為極坐標(biāo)系原點(diǎn)，則極坐標(biāo)表示與自然坐標(biāo)表示天然等價(jià)，此時(shí)方位角對(duì)時(shí)間的變化率從量值來(lái)講等于角坐標(biāo)對(duì)時(shí)間變化率，此時(shí)使用“角速度”“線速度”進(jìn)行描述不會(huì)引發(fā)困難，但僅限于此.

（3） 理解曲線坐標(biāo)系的基矢性質(zhì)，把握速度矢量?jī)?nèi)涵.否則易導(dǎo)致兩類錯(cuò)誤：①認(rèn)為速度大小和方向是

相互獨(dú)立的兩部分（=v+），從而認(rèn)為大小和方向的變化率也互相獨(dú)立，進(jìn)而認(rèn)為切向加速度描述速度大小變化而法向加速度則單獨(dú)描述速度方向的變化（=·=+·=τ+n），這類認(rèn)知實(shí)際屬于數(shù)學(xué)層面的認(rèn)知錯(cuò)誤，沒(méi)能看清v、兩項(xiàng)是乘積關(guān)系，且不同于直角坐標(biāo)系中的基矢恒定的特征，此處v、均為時(shí)間的函數(shù)，因此對(duì)時(shí)間求導(dǎo)過(guò)程所得的兩項(xiàng)實(shí)際是交叉關(guān)聯(lián)的：=·=ddtv=+v·，除前面分析的“法向加速度在描述速度方向變化的同時(shí)還關(guān)聯(lián)著速率”這一情形外，速率項(xiàng)的變化率也需保留對(duì)方向的說(shuō)明：.②沒(méi)有理解曲線坐標(biāo)系建立的起始要求和約定，任意分解矢量.如將速度在自然坐標(biāo)系中按照兩個(gè)基矢方向進(jìn)行分解，得出=τ+n，

=·=·τ+·n=τ+n進(jìn)而得出“向心加速度是法向速度對(duì)時(shí)間變化率”這樣的謬論.事實(shí)上自然坐標(biāo)系在建立之初便明確規(guī)定其切向基矢與速度的同向性，由此速度矢量在法線方向投影值恒為零.

（4）法向加速度按照定義為n=v·=vvρn，可見(jiàn)其內(nèi)含上并不僅僅描述速度方向的改變情況（·），其包含的速率項(xiàng)v同時(shí)表達(dá)了這種速度方向的改變情況與所需維持的速率大小有關(guān).

4啟示

自然坐標(biāo)系適用于已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行軌道的情形（例如約束體類問(wèn)題），采用的基矢為法向、切向，基本坐標(biāo)只有曲線長(zhǎng)度（或路程），不直接給出位矢、角位矢，相應(yīng)地，也不存在“角速度”.平面極坐標(biāo)適用于含有心力類型的問(wèn)題（如萬(wàn)有引力、庫(kù)侖力等），采用的基矢為徑向、橫向（或稱“角向”“轉(zhuǎn)向”），基本坐標(biāo)為徑向長(zhǎng)度、角度，有“角速度”“角向速度”“徑向速度”的概念，但并無(wú)“線速度”.使用這些曲線坐標(biāo)系時(shí)，須把握上述特性，明了速度的法向分量為零、位矢的角向分量為零這些特征，具體推算時(shí)不能忘記這類基矢隨時(shí)間會(huì)改變.因此，進(jìn)行受力分析應(yīng)用牛頓第二定律時(shí)，基于其瞬時(shí)性特點(diǎn)，上述坐標(biāo)系都能直接使用，但對(duì)于由時(shí)間（及空間）累積效應(yīng)呈現(xiàn)的動(dòng)量定理、動(dòng)能定理等，則無(wú)法給出分量方程.

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