基于驅(qū)動(dòng)約束的刀軸優(yōu)化方法

張大遠(yuǎn)， 劉勇， 王昊， 孫玉文

（大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

基于驅(qū)動(dòng)約束的刀軸優(yōu)化方法

張大遠(yuǎn)， 劉勇， 王昊， 孫玉文

（大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

文中提出了一種基于驅(qū)動(dòng)約束的刀軸優(yōu)化方法。對(duì)于存在突變的初始刀具軌跡，首先選擇出其中的代表性刀軸矢量，對(duì)其調(diào)整使不發(fā)生干涉碰撞，并確定其可行域；之后利用角速度最小化方法，對(duì)初始刀軸矢量進(jìn)行光順；最后根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)，證明該優(yōu)化方法確實(shí)可以減小驅(qū)動(dòng)軸的角速度、角加速度的突變，獲得光順的刀具軌跡。

驅(qū)動(dòng)約束；刀軸優(yōu)化

0 引言

五軸數(shù)控加工被廣泛應(yīng)用于復(fù)雜曲面類零件的加工，如航空發(fā)動(dòng)機(jī)壓氣機(jī)葉輪、汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子、螺旋槳、模具等[1]。五軸加工和三軸加工的本質(zhì)區(qū)別在于：三軸加工時(shí)，刀具軸線在工件坐標(biāo)系中是固定不變的，也即始終平行于Z坐標(biāo)軸。而在五軸加工情況下，刀具軸線可以根據(jù)加工表面的情況發(fā)生旋轉(zhuǎn)或偏轉(zhuǎn)，控制刀具軸線發(fā)生改變的原則是兼顧加工質(zhì)量和加工效率[2]。

對(duì)復(fù)雜曲面類零件進(jìn)行刀具路徑規(guī)劃的過(guò)程中，有兩個(gè)原因可能導(dǎo)致規(guī)劃出的刀軸存在突變：1）零件表面幾何形狀發(fā)生劇烈變化；2）刀具路徑上存在障礙物，為了避開障礙使刀軸發(fā)生突變[3]。但是在實(shí)際加工過(guò)程中，受到機(jī)床驅(qū)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，比如旋轉(zhuǎn)軸的角速度、角加速度的制約，刀軸不可能發(fā)生這樣的突變[3]。因此這就需要對(duì)初步生成的、存在突變的刀具路徑進(jìn)行刀軸優(yōu)化。

傳統(tǒng)的刀軸優(yōu)化方法僅從幾何學(xué)方面考慮，目的只是為了避免干涉碰撞，而無(wú)法保證運(yùn)動(dòng)的光順性[4-9]；后續(xù)的一些針對(duì)刀具路徑光順的研究基本是在工件坐標(biāo)系下進(jìn)行[10-12]，而刀具路徑從工件坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到機(jī)床坐標(biāo)系后，由于其變換過(guò)程為非線性變換，因此機(jī)床驅(qū)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)仍可能是不光順的[13-15]?；谏鲜鲆蛩乜紤]，文中綜合考慮了幾何特性和機(jī)床驅(qū)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)特性，提出了一種較為全面的刀軸優(yōu)化方法。首先，考慮幾何特性，在初始刀位中選取一些代表性刀軸，對(duì)其進(jìn)行調(diào)整使其無(wú)干涉碰撞，并確定這些刀軸的可行域；之后根據(jù)機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸的驅(qū)動(dòng)特性，提出了一種新的刀軸優(yōu)化方法：角速度最小化方法；最后經(jīng)過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證明該方法可以獲得無(wú)碰撞且光順的刀具路徑。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)變換和特殊刀位確定

五軸數(shù)控加工過(guò)程中，刀具和工件相切觸的那一點(diǎn)稱為刀觸點(diǎn)C，該點(diǎn)是局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)。刀具位向在局部坐標(biāo)系下，由刀觸點(diǎn)、前傾角α和側(cè)傾角β共同定義。

在工件坐標(biāo)系下，刀軸矢量由刀位點(diǎn)P和刀軸上不同于刀位點(diǎn)的另外一點(diǎn)Q表示。其中，刀位點(diǎn)指的是刀具中心點(diǎn)，在某一刀觸點(diǎn)處，刀軸矢量表示為：

在機(jī)床坐標(biāo)系下，刀具路徑由3個(gè)平動(dòng)位移量和2個(gè)旋轉(zhuǎn)角度值來(lái)共同表示。機(jī)床的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可以繞著X、Y、Z分別進(jìn)行，相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度稱為A、B、C。機(jī)床的旋轉(zhuǎn)形式不同，刀具路徑的表示方法也不同，以C-A型五軸機(jī)床為例，其機(jī)床坐標(biāo)系下的刀具路徑可以表示為

圖1 機(jī)床坐標(biāo)系

圖2 工件坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系

3種坐標(biāo)系與刀具軌跡、工件和機(jī)床的關(guān)系如圖1和圖2所示。

根據(jù)機(jī)床兩種回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的不同，五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床可以分為以下3種機(jī)床類型：刀具雙擺動(dòng)型五軸機(jī)床、工作臺(tái)雙轉(zhuǎn)動(dòng)型五軸機(jī)床、刀具擺動(dòng)與工作臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)型五軸機(jī)床。本文針對(duì)工作臺(tái)雙轉(zhuǎn)動(dòng)型五軸機(jī)床中的B-C型五軸機(jī)床進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。

初始狀態(tài)下，刀具軸線與Z軸方向平行，動(dòng)軸B的方向與Y軸方向平行。局部坐標(biāo)系和工件坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合。那么，在局部坐標(biāo)系下，初始刀位點(diǎn)為［0，0，0，1］，初始刀軸矢量為［0，0，1，0］。機(jī)床坐標(biāo)系下的刀軸矢量，經(jīng)過(guò)兩次旋轉(zhuǎn)變換后變?yōu)楣ぜ鴺?biāo)系下的刀軸矢量，也即:

式中：T為刀軸矢量;M為變換矩陣。

將式（2）和式（4）聯(lián)立，可以求得兩旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角為：

根據(jù)初始刀具軌跡，求出機(jī)床坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角后，便可以進(jìn)行后續(xù)的刀軸優(yōu)化。在進(jìn)行刀軸優(yōu)化之前，先需要確定出一些代表性刀軸以及其對(duì)應(yīng)的可行域。因?yàn)楹竺娴牡遁S優(yōu)化算法，需要在給定一些代表性刀軸的前提下，才能夠進(jìn)行。而在刀軸調(diào)整過(guò)程中，需要給出待調(diào)整刀軸的可行域。

確定代表性刀軸是整個(gè)刀軸優(yōu)化過(guò)程中的關(guān)鍵一步：代表性刀軸選取的位置，以及代表性刀軸的刀具姿態(tài)，直接影響了后續(xù)計(jì)算出的整個(gè)刀具軌跡的形狀。優(yōu)化的刀軸是否仍存在碰撞，是否光順程度達(dá)不到要求，這些都和代表性刀軸選取的正確與否有關(guān)。確定代表性刀軸分為以下3個(gè)步驟：1）確定危險(xiǎn)區(qū)域；2）確定代表性刀位；3）計(jì)算代表性刀位處刀軸的可行域，并給定初始代表性刀軸。

危險(xiǎn)區(qū)域一般是指刀具路徑中，刀軸由于曲面曲率變化較大，因而發(fā)生突變的區(qū)域；以及刀具路徑在接近障礙物時(shí)，刀軸為了避開障礙物而發(fā)生突變的區(qū)域。下面結(jié)合兩種方法：1）借助CAM軟件進(jìn)行刀具路徑的加工仿真方法；2）檢驗(yàn)驅(qū)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)參數(shù)是否超差這兩種方法，來(lái)確定出危險(xiǎn)區(qū)域。

首先，對(duì)于初始刀具路徑，需要檢驗(yàn)是否存在碰撞，本文利用UG NX軟件進(jìn)行碰撞檢驗(yàn)。確定出初始刀具路徑和工件發(fā)生碰撞的區(qū)域，表示為

刀具路徑和工件曲面不存在碰撞的情況下，由于曲面曲率發(fā)生改變，仍可能導(dǎo)致刀軸發(fā)生突變。這里采用計(jì)算機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸的角速度，然后判定其超差區(qū)域，作為危險(xiǎn)區(qū)域的方法。危險(xiǎn)區(qū)域表示為

危險(xiǎn)區(qū)域確定后，即可確定代表性刀位的位置。一般情況下，把刀具進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域的刀位點(diǎn)P1，以及離開危險(xiǎn)區(qū)域的刀位點(diǎn)P2，選取為代表性刀軸的刀位點(diǎn)。另外，為了確保在危險(xiǎn)區(qū)域中，刀軸可以避開障礙，在危險(xiǎn)區(qū)域中也會(huì)選取一個(gè)代表性刀軸，稱為P3。因?yàn)檫@些刀軸都是調(diào)整后的刀軸，與工件之間不存在碰撞，因此初始的刀具姿態(tài)仍保持為原來(lái)的刀具姿態(tài)。這里需要指出的是，此處選取的這些代表性刀軸，僅僅是初步選取，在后續(xù)的優(yōu)化和檢驗(yàn)過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)計(jì)算出的刀具軌跡不符合要求，比如仍存在碰撞，或者存在運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)超差，那么將重新選擇代表性刀軸，其姿態(tài)也會(huì)重新調(diào)整。

為了之后對(duì)初始代表性刀軸進(jìn)行調(diào)整，需要先計(jì)算出這些代表性刀軸的可行域。針對(duì)刀軸可行域的計(jì)算，前人在這方面已經(jīng)研究了很多，提出了許多具有代表性的方法。比如參數(shù)空間方法等[10]。但是由于自由曲面類零件自身結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，如果再存在障礙區(qū)，將會(huì)導(dǎo)致刀具可行域邊界非常不規(guī)則，因此導(dǎo)致后續(xù)的約束優(yōu)化計(jì)算時(shí)間特別長(zhǎng)，或者出現(xiàn)優(yōu)化過(guò)程不收斂的情況。針對(duì)參數(shù)空間方法的這一缺點(diǎn)，有些學(xué)者提出了簡(jiǎn)化的參數(shù)空間方法，比如把不規(guī)則的參數(shù)空間，簡(jiǎn)化為一個(gè)規(guī)則的四棱錐[16]，或者將三維空間簡(jiǎn)化為二維平面，提出了參考平面法[17]等。對(duì)于上述兩種簡(jiǎn)化方法，將刀具可行域約束在以刀位點(diǎn)為頂點(diǎn)的空間四棱錐內(nèi)，更具有普遍性，是一種較好的刀具可行域確定方法。

文中在該方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，將刀具可行域約束在以刀位點(diǎn)為頂點(diǎn)，底面為環(huán)形的椎體內(nèi)。具體來(lái)說(shuō)，就是確定出刀具在局部坐標(biāo)系下的前傾角范圍和側(cè)傾角范圍。之后，從工件坐標(biāo)系向機(jī)床坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換時(shí)，扇形的（i，j）可行域，將導(dǎo)致計(jì)算出B、C邊界更加不規(guī)則，難以計(jì)算。因此在扇形（i，j）可行域內(nèi)部，選取一個(gè)面積最大的矩形，作為工件坐標(biāo)系下的刀軸可行域。

具體確定過(guò)程仍利用UG NX軟件，將刀具軌跡導(dǎo)入后，在代表性刀位處調(diào)整刀具姿態(tài)，確定出代表性刀軸的可行域，可行域FR表示為

在得到局部坐標(biāo)系下的可行域后，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)變換，可以得到機(jī)床坐標(biāo)系下B軸轉(zhuǎn)角和C軸轉(zhuǎn)角的可行域。由于三角函數(shù)變換的特殊性，變換出的可行域邊界是不規(guī)則的，為了便于計(jì)算，在不規(guī)則區(qū)域中，選取一個(gè)與B、C軸平行，且面積最大的矩形，作為最終的可行域。表示為

2 刀軸優(yōu)化方法

衡量旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)的光順性，首先考慮的是旋轉(zhuǎn)軸角速度不能超差。針對(duì)B′-C′型機(jī)床，對(duì)于任一旋轉(zhuǎn)軸，其角速度ω表示為

為了便于研究，假定刀具沿著刀具軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，在相鄰兩個(gè)刀觸點(diǎn)之間，其進(jìn)給率f是恒定不變的。事實(shí)上，由于機(jī)床各驅(qū)動(dòng)軸的約束，以及刀具軌跡的變化，實(shí)際進(jìn)給率是在一個(gè)區(qū)間內(nèi)不斷變化的。但是根據(jù)極限理論，當(dāng)相鄰兩個(gè)刀觸點(diǎn)之間距離很短時(shí)，可以假定進(jìn)給率恒定不變。則可以用相鄰兩刀觸點(diǎn)之間距離L來(lái)代表時(shí)間t。從而，上述角速度公式可以表示為

由于上述求導(dǎo)過(guò)程仍然較為復(fù)雜，我們采用差分方法進(jìn)行求解如下:

從而在整個(gè)刀具軌跡上，每?jī)牲c(diǎn)之間的角速度就確定下來(lái)。為了得到光順的刀具軌跡，顯然需要使角速度的總變化量盡可能取得最小值。根據(jù)最小二乘法，得到目標(biāo)函數(shù)為

為了使目標(biāo)函數(shù)取得極小值，公式的一階導(dǎo)數(shù)值為零即可，即

圖3 初始刀具軌跡

圖4 優(yōu)化后的刀具軌跡

為了使方程有解，需要至少指定2個(gè)θ的值。而正如在1節(jié)中講述的，為了確保刀具和工件之間不發(fā)生干涉碰撞，必須指定幾個(gè)代表性刀軸。因此這些代表性刀軸就作為本算法中的已知量，代入方程，求出其余刀位點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)軸角度，進(jìn)而確定出整個(gè)刀具軌跡。在實(shí)際刀軸優(yōu)化過(guò)程中，由于代表性刀軸是根據(jù)避免刀軸突變而設(shè)定的，因此實(shí)際代表性刀軸個(gè)數(shù)可能多于2個(gè)。為了確保刀軸不發(fā)生碰撞干涉，所有代表性刀軸必須給定。這樣可以順利求解出結(jié)果。

3 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述刀軸優(yōu)化方法的正確性，文中針對(duì)一個(gè)自由曲面上的刀具軌跡，進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。如圖3所示，初始刀具軌跡的刀軸方向是給定的，前傾角為6°，側(cè)傾角為0°。在靠近障礙物區(qū)域，為了避障，前傾角變?yōu)?0°，側(cè)傾角變?yōu)?0°。

首先，為了確定刀具軌跡中危險(xiǎn)區(qū)域的區(qū)間，需要計(jì)算出A、C軸的角速度，角速度曲線分別在進(jìn)入碰撞區(qū)域處，和離開碰撞區(qū)域處存在兩個(gè)突變，且突變區(qū)域的角速度都超出旋轉(zhuǎn)軸角速度的限定值：在靠近障礙處，A軸角速度由0.23 rad/s突變至-5.84 rad/s，C軸角速度由0.16 rad/s突變至-4.63 rad/s。根據(jù)第1節(jié)中介紹的危險(xiǎn)區(qū)域確定方法，在進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域，危險(xiǎn)區(qū)域中間以及離開危險(xiǎn)區(qū)域處，各選擇一個(gè)特殊刀位。

在確定了特殊刀位后，需要計(jì)算這些特殊刀位處刀軸的可行域。利用UG NX軟件，根據(jù)避免碰撞的原則，可以確定出特殊刀軸的可行域。對(duì)于本例，側(cè)傾角的變化與刀具是否碰撞相關(guān)度不大，因此側(cè)傾角保持60°不變，確定出碰撞區(qū)域處，刀軸側(cè)傾角的可行域?yàn)椋?0°，80°］，之后進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)變換，可以獲得A、C軸的可行域，由于各個(gè)特殊刀軸對(duì)應(yīng)的A、C軸可行域不同，需要分別確定。

在利用角速度最小化方法進(jìn)行刀軸優(yōu)化時(shí)，代入特殊刀軸的A、C軸轉(zhuǎn)角，可以方便地計(jì)算出其他位置處的A、C軸轉(zhuǎn)角。優(yōu)化后的刀具軌跡如圖4所示?？梢妰?yōu)化后刀軌明顯光順了許多。而且角速度曲線的突變情況有了改善：在靠近障礙處，A軸角速度從-5.84 rad/s降低到了-0.46 rad/s，C軸角速度從-4.63 rad/s降低到了-0.34 rad/s。證明了該優(yōu)化方法的正確性和有效性。

4 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于文中提出的基于驅(qū)動(dòng)約束的刀軸優(yōu)化方法。其突出特點(diǎn)在于綜合考慮了幾何特性和驅(qū)動(dòng)特性，得到的刀具軌跡既保證了不發(fā)生干涉碰撞，而且也保證了機(jī)床驅(qū)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)的光順性。最后經(jīng)過(guò)仿真試驗(yàn)驗(yàn)證，證明了本優(yōu)化方法確實(shí)可以減小五軸數(shù)控機(jī)床兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的角速度、角加速度值，使其突變情況得到了明顯改善，證明了算法的有效性。

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Tool Orientation Smoothing Based on Drive Constraints

ZHANG Dayuan, LIU Yong,WANG Hao,SUN Yuwen
（School ofMechanical Engineering,Dalian UniversityofTechnology,Dalian 116024,China）

A novel method based on the drive constraints for tool orientation optimization is proposed in this paper.As to the original tool path where tool orientation suffer from drastic change,some representative tool orientation are picked out,the feasible regions are determined under the condition of collision avoidance.Then the tool path is optimized by the angular velocity minimization method.Experiment proves that a smooth tool path can be acquired by the proposed method

drive constraints;tool orientation smoothing

TG 519.1

A

1002－2333（2018）01－0062－04

（編輯立 明）

張大遠(yuǎn)（1991—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)榈毒哕壽E優(yōu)化；

孫玉文（1971—），男，博士，教授，研究方向?yàn)榭焖僦圃旒夹g(shù)，反求工程等。

2017-03-28