基于振動特性的碼垛機(jī)器人結(jié)構(gòu)優(yōu)化

萬英和，吳連松，武冰昕，陳 芳，楊金鵬

（1.北京機(jī)械工業(yè)自動化研究所有限公司，北京 100120；2.北京萬集科技股份有限公司，北京 100193）

0 引言

隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，尤其是向高速、高精度、重載應(yīng)用領(lǐng)域的拓展，對機(jī)器人動態(tài)特性（振動特性）要求越來越高，同時也要求機(jī)器人更加精密化與輕型化。機(jī)器人結(jié)構(gòu)的輕量化會導(dǎo)致構(gòu)件的柔性加大，結(jié)構(gòu)固有頻率降低，高速化導(dǎo)致慣性力激振頻率升高，容易造成較大的彈性振動與運(yùn)動誤差[1]。對高速重載碼垛機(jī)器人而言，更高的加速度性能與更好的振動特性是一對相互矛盾的量。因此，如何在保證較高的加速度性能的前提下，通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化減小系統(tǒng)振動與誤差，進(jìn)而改善振動特性，變得尤為重要。

Sunada和Dubowsky將有限單元法成功的應(yīng)用于串聯(lián)機(jī)器人的KED研究[2]，劉鴻飛、馬香峰、王生澤、廖道訓(xùn)等人也為機(jī)器人彈性動力學(xué)建模以及振動系統(tǒng)模態(tài)分析做了很多研究[3,4]。梅江平，曹家鑫等人基于靜力學(xué)分析，對機(jī)器人靜剛度薄弱環(huán)節(jié)提出了優(yōu)化意見[5]。李瑞峰、仝勛偉、趙欣翔、王占軍等人基于模態(tài)分析，以提高低階固有頻率為目的，對碼垛機(jī)器人進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化[6～8]。這些研究中的結(jié)構(gòu)優(yōu)化主要是以提高靜態(tài)剛度、動態(tài)剛度、低階固有頻率等為目的，不能直觀體現(xiàn)出結(jié)構(gòu)優(yōu)化對于機(jī)器人系統(tǒng)振動特性尤其是機(jī)器人末端振動的影響。因此本文提出了基于機(jī)器人系統(tǒng)振動特性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，在不增加重量的前提下，以減小機(jī)器人末端振動為優(yōu)化目標(biāo)，對機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。以所設(shè)計的四自由度高速重載碼垛機(jī)器人為研究對象，建立其柔體動力學(xué)模型，對其末端振動進(jìn)行分析與求解。為使機(jī)器人具有更合理的結(jié)構(gòu)和動態(tài)特性，利用三維建模軟件SolidWorks建立碼垛機(jī)器人的三維模型，并導(dǎo)入ANSYS Workbench中進(jìn)行模態(tài)分析，找到機(jī)器人振動薄弱的部位，為結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計提供可靠的理論依據(jù)，針對振動最薄弱的部分提出了一種基于碼垛機(jī)器人末端振動特性，對其構(gòu)件結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的方法。以大臂優(yōu)化為例，通過截面尺寸優(yōu)化，在不增加重量的前提下，使機(jī)器人振動特性尤其是碼垛過程中末端振動的最大振幅得到一定的改善。

1 碼垛機(jī)器人各構(gòu)件建模

1.1 碼垛機(jī)器人描述

此款碼垛機(jī)器人是一款用于貨物碼垛的新型四自由度高速重載搬運(yùn)機(jī)器人，其實(shí)物圖如圖1所示。碼垛機(jī)器人主要由機(jī)架、腰座、轉(zhuǎn)臂、大臂、小臂、姿態(tài)保持架、大臂連桿1、大臂連桿2、小臂連桿、姿態(tài)保持架等構(gòu)件組成，對各構(gòu)件進(jìn)行編號（1-10），碼垛機(jī)器人三維模型如圖2所示。在結(jié)構(gòu)簡圖中建立靜坐標(biāo)系O-XYZ。各主要構(gòu)件之間通過轉(zhuǎn)動副進(jìn)行連接。碼垛機(jī)器人主要實(shí)現(xiàn)四種運(yùn)動：腰座回轉(zhuǎn)、大臂回轉(zhuǎn)、小臂回轉(zhuǎn)、末端手腕體執(zhí)行器回轉(zhuǎn)運(yùn)動。碼垛機(jī)器人含有3個平行四邊形閉環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖2所示。平行四邊形機(jī)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ起到保持末端手腕體水平姿態(tài)的作用；含有轉(zhuǎn)臂的平行四邊形機(jī)構(gòu)Ⅲ在保證轉(zhuǎn)臂與小臂具有相同轉(zhuǎn)速的同時，可以將小臂的驅(qū)動電機(jī)安裝到腰座上面，使得機(jī)器人的動力學(xué)性能得到改善[9～11]。

圖1 碼垛機(jī)器人樣機(jī)

圖2 碼垛機(jī)器人三維模型圖

1.2 空間梁單元與機(jī)器人各構(gòu)件建模

對于圖3所示的空間梁單元[12]，節(jié)點(diǎn)位于兩端，每個節(jié)點(diǎn)有三個位移與三個扭轉(zhuǎn)共六個自由度。

圖3 空間梁單元

圖1所示梁單元運(yùn)動微分方程為：

參照梁單元，可以對碼垛機(jī)器人機(jī)架、腰座、大臂等各構(gòu)件列寫式(1)形式的微分方程，但是由于碼垛機(jī)器人各構(gòu)件形狀較為復(fù)雜，無法直接求解剛度與質(zhì)量矩陣，本文采用ANSYSY軟件對各構(gòu)件進(jìn)行有限元建模，將復(fù)雜構(gòu)件看成一個柔性特殊單元（超單元）處理，在軟件中提取其剛度與質(zhì)量矩陣。以機(jī)架為例，其具體分析處理過程可分為如下三個步驟：

1）將機(jī)架三維模型導(dǎo)入ANSYSY軟件中，對機(jī)架賦予材料屬性、進(jìn)行網(wǎng)格劃分（選取三維十節(jié)點(diǎn)四面體實(shí)體Solid92單元類型）；

2）將機(jī)架下底面螺栓孔與地面固聯(lián)，并將與腰座連接表面設(shè)置為剛性區(qū)域，最后建立機(jī)架超單元結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

3）求解并提取6×6剛度與質(zhì)量矩陣。

提取的機(jī)架剛度與質(zhì)量矩陣如圖5所示。

圖5 機(jī)架剛度與質(zhì)量矩陣

同理，對于其他構(gòu)件將其三維模型導(dǎo)入ANSYS中設(shè)置超單元結(jié)構(gòu)并求解，均可以提取6n×6n的質(zhì)量與剛度矩陣，其中n為該構(gòu)件運(yùn)動副個數(shù)。例如對于2號構(gòu)件腰座，因其運(yùn)動副個數(shù)為3（與大臂、小臂、連桿連接處有各有一個轉(zhuǎn)動副），因此在ANSYS軟件中可以對腰座提取18×18的剛度與質(zhì)量矩陣。在求得第j個構(gòu)件的剛度與質(zhì)量矩陣之后可以列寫其運(yùn)動微分方程：

上式中：Mj、Kj、Cj為j構(gòu)件6n×6n的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣；為j構(gòu)件6n×1節(jié)點(diǎn)彈性位移、速度、加速度；Fj為j構(gòu)件所受的所有外力（力矩）。

碼垛機(jī)器人各構(gòu)件材料均為鋼材，在只考慮比例粘性阻尼的前提下，參考文獻(xiàn)[7,13]將阻尼矩陣設(shè)為：

2 碼垛機(jī)器人整機(jī)運(yùn)動微分方程與求解

將碼垛機(jī)器人所有構(gòu)件運(yùn)動微分方程統(tǒng)一到靜坐標(biāo)系O-XYZ下，并組裝到一起。由式(2)、式(3)可得碼垛機(jī)器人整機(jī)運(yùn)動微分方程如下：

本文采用模態(tài)分析法求解碼垛機(jī)器人整機(jī)運(yùn)動微分方程。模態(tài)分析方法是利用振型矩陣（系統(tǒng)特征值、特征向量為基礎(chǔ)組成的矩陣），把描述系統(tǒng)運(yùn)動的坐標(biāo)，從一般的廣義坐標(biāo)變化到主做標(biāo)，把運(yùn)動方程變換成一組n個獨(dú)立自由度方程，求得每個主做標(biāo)的響應(yīng)，然后，再得到系統(tǒng)在一般廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)[13]。

應(yīng)用模態(tài)分析法對式(4)進(jìn)行求解可得系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)振動表達(dá)式為：

上式中：

其中，[u]為系統(tǒng)特征向量組成的矩陣；對于初始時刻節(jié)點(diǎn)位移、速度均為零的碼垛機(jī)器人系統(tǒng)，rη可以表示為時間的函數(shù)，如下：

上式中，ξ為系統(tǒng)阻尼比，wdr為第r階有阻尼固有頻率；Nr可以表示為時間的函數(shù)：

至此，碼垛機(jī)器人系統(tǒng)72自由度的強(qiáng)迫振動微分方程求解完畢。由式(5)可以求得機(jī)器人任意節(jié)點(diǎn)振動位移。

3 碼垛機(jī)器人模態(tài)分析

將碼垛機(jī)器人三維模型導(dǎo)入ANSYS Workbench中進(jìn)行模態(tài)分析。限于篇幅有限，本文僅給出了兩種典型位姿（機(jī)器人抬舉到最高點(diǎn)、一般碼垛點(diǎn)）下的前兩階固有頻率模態(tài)分析，如圖6所示。

圖6 兩種典型位姿下的前二階振型圖

由圖5分析可知，兩種位姿下，前兩階振型基本相同。第一階模態(tài)表現(xiàn)為大臂、小臂和手腕體在腰座的轉(zhuǎn)動方向上整體的搖擺振動，其中手腕體處擺動最為強(qiáng)烈；第二階模態(tài)主要表現(xiàn)為在豎直平面內(nèi)小臂、手腕體的點(diǎn)頭現(xiàn)象，其中手腕體處點(diǎn)頭現(xiàn)象最為嚴(yán)重。

通過模態(tài)分析以及機(jī)器人實(shí)際碼垛效果來看，碼垛機(jī)器人最容易發(fā)生的振動形式是腰座回轉(zhuǎn)過程中機(jī)器人末端手腕體與小臂、大臂等一起繞腰座小幅度擺動（振動），振動形式與模態(tài)分析第一階振型相同。這種振動對于機(jī)器人末端誤差影響很大，嚴(yán)重影響碼垛質(zhì)量的提高。機(jī)器人產(chǎn)生這種振動的原因主要是由于大臂與小臂連接處的關(guān)節(jié)柔性以及小臂、大臂桿件柔性和手腕體的柔性引起的。

4 碼垛機(jī)器人結(jié)構(gòu)優(yōu)化

由“3碼垛機(jī)器人模態(tài)分析”可知，腰座回轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的振動形式不僅對碼垛質(zhì)量影響很大，并且是最容易發(fā)生的振動。因此，針對腰座回轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的振動，進(jìn)行重點(diǎn)研究，并基于機(jī)器人系統(tǒng)末端振動方程，在不增加重量的前提下，以減小機(jī)器人末端振動為優(yōu)化目標(biāo)，對機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

首先給定機(jī)器人運(yùn)動來模擬機(jī)器人碼垛過程中腰座回轉(zhuǎn)運(yùn)動：機(jī)器人在圖1所示的位姿下，只讓腰座驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動，其他驅(qū)動關(guān)節(jié)不動，設(shè)腰座初始時刻轉(zhuǎn)角為零，機(jī)器人繞腰座轉(zhuǎn)動過程角加速度表達(dá)式如下：

由給定的運(yùn)動以及式(5)可以求得機(jī)器人末端振動方程?；跈C(jī)器人系統(tǒng)末端振動方程，對機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。具體優(yōu)化過程如圖7所示。

圖7 機(jī)器人結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程

圖8 大臂三維模型截面圖

限于篇幅有限，本文以大臂截面尺寸參數(shù)優(yōu)化過程為例，對碼垛機(jī)器人結(jié)構(gòu)優(yōu)化進(jìn)行說明。大臂結(jié)構(gòu)比較簡單，其沿大臂長度方向截面圖，如圖8所示，大臂截面尺寸主要有：大臂高度h、寬度b、側(cè)板厚度t1、上下板厚度t2。

首先研究大臂截面尺寸對于機(jī)器人末端振動最大振幅的影響，在大臂截面四個尺寸大臂高度h、寬度b、側(cè)板厚度t1、上下板厚度t2中，只改變單一變量，看其對機(jī)器人末端振動最大振幅的影響，截面尺寸參數(shù)初始值如表1所示。由前面給定的腰座回轉(zhuǎn)運(yùn)動以及式(5)，可以求得末端振動最大振幅與大臂截面尺寸之間的關(guān)系，如圖9所示。

圖8 大臂截面尺寸與末端最大振幅關(guān)系

由圖9可知，大臂側(cè)板厚度對末端振動最大振幅影響最顯著，隨著大臂厚度增加其影響效果逐漸減小。上下板厚度對末端振動最大振幅影響非常微弱。大臂高度、寬度的增加都會使末端振動減小。對于大臂截面尺寸，為了避免優(yōu)化的盲目性，對截面尺寸優(yōu)化參數(shù)設(shè)置一定的優(yōu)化范圍，如表1所示。

表1 大臂截面尺寸參數(shù)初始值與優(yōu)化范圍

按照圖7所示優(yōu)化過程，在不增加大臂重量的前提下，按照表1所示的截面尺寸優(yōu)化區(qū)間，以減小系統(tǒng)末端振動為優(yōu)化目標(biāo)，在相應(yīng)MATLAB程序中可以得出一組最優(yōu)解如下：b=296mm；h=281mm；t1=6mm；t2=9.5mm；

優(yōu)化前后碼垛機(jī)器人末端振動隨時間變化關(guān)系如圖10所示。

圖10 優(yōu)化前后末端振動隨時間變化情況

分析圖10可知，優(yōu)化之前腰座回轉(zhuǎn)過程中機(jī)器人末端最大振幅為14.21mm，運(yùn)動停止后末端最大余振振幅為0.41mm，在1.0s之后停止運(yùn)動；優(yōu)化之后腰座回轉(zhuǎn)過程中機(jī)器人末端最大振幅為12.79mm，運(yùn)動停止后末端最大余振振幅為0.35mm，在0.85s之后停止運(yùn)動；

機(jī)器人大臂在質(zhì)量不增加的情況下，通過優(yōu)化使系統(tǒng)末端最大振幅減小了10.02%，同時在碼垛機(jī)器人腰座運(yùn)動停止后，末端余振最大振幅減小12.5%，并且在更短的時間內(nèi)停止余振，優(yōu)化效果明顯。

5 結(jié)論

本文以所設(shè)計的四自由度高速重載碼垛機(jī)器人為研究對象，基于有限元建模法與AYSYS軟件建立了其柔體動力學(xué)模型，對其末端振動進(jìn)行了分析與求解。對整機(jī)進(jìn)行模態(tài)分析，找到機(jī)器人振動薄弱的部位，針對這些振動薄弱部位提出了一種基于碼垛機(jī)器人末端振動特性，對其構(gòu)件結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的方法。以大臂截面尺寸優(yōu)化為例，在給定運(yùn)動下，首先研究了大臂截面尺寸對于末端振動最大振幅的影響，之后對截面尺寸進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化之后的碼垛機(jī)器人振動得到了明顯改善。這也證明了該優(yōu)化方法的可行性與正確性。這種方法對高速重載高精度的機(jī)器人結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化具有普遍應(yīng)用意義。