前后多車(chē)影響的跟馳模型及穩(wěn)定性分析

彭 勇，劉世潔，DENNIS Z Yu

(1.重慶交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，重慶400074；2.克拉克森大學(xué)商學(xué)院，波茨坦NY 13699，美國(guó))

0 引言

車(chē)輛跟馳模型對(duì)于研究交通流特性、解決道路擁堵方面具有重要意義.隨著跟馳模型的提出和發(fā)展[1-2]，越來(lái)越多的學(xué)者從不同研究角度建立跟馳模型來(lái)展現(xiàn)交通流中諸如交通失穩(wěn)、時(shí)走時(shí)停、相變等非線性特性，為解決道路交通問(wèn)題提供思路和方法.袁娜等[3]提出了一種多前車(chē)速度差的跟馳模型，在線性穩(wěn)定性分析中發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)多前車(chē)信息，交通流穩(wěn)定區(qū)域得到了明顯擴(kuò)大.楊達(dá)[4]建立了一種考慮后車(chē)的車(chē)輛跟馳模型，并在模型的基礎(chǔ)上分析考慮后車(chē)的車(chē)輛跟馳行為特點(diǎn).葛紅霞等[5]引入了反饋控制信息，建立了考慮當(dāng)前車(chē)與前后方車(chē)輛之間的速度差的跟馳模型，并通過(guò)線性分析得到了小擾動(dòng)不致堵的條件.孫棣華等[6]考慮非相鄰前車(chē)的速度差來(lái)提高道路交通流的穩(wěn)定性.Yu S.等[7]提出一種前車(chē)速度差跟馳模型，通過(guò)數(shù)值模擬證實(shí)了前車(chē)的速度差異對(duì)后車(chē)的運(yùn)動(dòng)效果顯著.以上學(xué)者在提高道路交通流穩(wěn)定性方面做出了許多智慧貢獻(xiàn)，有考慮跟馳車(chē)輛多前車(chē)影響，也有考慮跟馳車(chē)輛后車(chē)影響的跟馳模型，但是根據(jù)跟馳理論的傳遞特性，以及實(shí)際道路行駛經(jīng)驗(yàn)，駕駛員會(huì)通過(guò)視野觀察前后車(chē)輛的行駛狀態(tài)調(diào)整自己的駕駛動(dòng)作，保證跟馳車(chē)輛的甚至跟馳系統(tǒng)的穩(wěn)定性.基于此，本文建立了一種考慮駕駛員視野內(nèi)的前后多車(chē)影響的跟馳模型，對(duì)其穩(wěn)定條件進(jìn)行了推導(dǎo)和驗(yàn)證，并通過(guò)和經(jīng)典FVD模型的對(duì)比說(shuō)明了改進(jìn)模型對(duì)于穩(wěn)定道路交通流的優(yōu)越性.

1 模型建立

1.1 跟馳模型描述

FVD(Full Velocity Difference)跟馳模型，即全速度差跟馳模型，是文獻(xiàn)[2]提出的一種同時(shí)考慮正負(fù)速度差信息對(duì)跟馳車(chē)輛的影響，表達(dá)式為

式中：a是駕駛員反應(yīng)靈敏度系數(shù)；λ是相對(duì)速度的影響因子；vn(t)是跟馳車(chē)輛n在時(shí)刻t的速度；Δvn=vn+1-vn是跟馳車(chē)輛n同前n+1車(chē)在時(shí)刻t的速度差；V(?)是最優(yōu)速度函數(shù)，即根據(jù)車(chē)頭間距優(yōu)化出駕駛員期望的速度.

OVD(Optimal Velocity Difference)跟馳模型，即非鄰近速度差模型，是文獻(xiàn)[6]提出的一種采用非鄰近車(chē)輛的優(yōu)化速度差來(lái)優(yōu)化交通流的跟馳模型，表達(dá)式為

式中：r是跟馳駕駛員對(duì)非鄰近車(chē)輛的關(guān)注程度，并且0≤r＜0.5，當(dāng)r=0時(shí)，退化為FVD 模型 ；VF(Δxn+2(t))-VF(Δxn(t))表示非鄰近車(chē)輛速度差.

前車(chē)速度差跟馳模型，是文獻(xiàn)[7]提出來(lái)的一種改進(jìn)的跟馳模型，即通過(guò)考慮前導(dǎo)車(chē)的速度突變對(duì)道路交通流進(jìn)行優(yōu)化，表達(dá)式為

式中：κ、λ和k是敏感度系數(shù)；vn+1(t)-vn+1(t-1)是前導(dǎo)車(chē)的速度變化.

雖然OVD和前車(chē)速度差模型都在一定程度上對(duì)FVD模型進(jìn)行改進(jìn)和創(chuàng)新，能夠較好地模擬真實(shí)交通環(huán)境中的車(chē)輛跟馳行為.但是它們無(wú)一例外地都接受了跟馳車(chē)輛只受位于它行駛方向前方的車(chē)輛影響的事實(shí)，即前導(dǎo)車(chē)的行駛狀態(tài)影響跟馳車(chē)輛的行駛.可是在實(shí)際道路行駛中，有經(jīng)驗(yàn)的駕駛員往往會(huì)通過(guò)視野去觀察判斷位于跟馳車(chē)輛前后多輛車(chē)的狀態(tài)，而不是僅參考前車(chē)行駛狀態(tài).因此本文結(jié)合以上跟馳模型建立了考慮駕駛員前后多車(chē)影響的改進(jìn)的跟馳模型.

1.2 考慮駕駛員前后多車(chē)影響的跟馳模型

設(shè)定車(chē)輛跟馳行駛的場(chǎng)景如圖1所示，假定駕駛員在行駛過(guò)程中，會(huì)根據(jù)視野內(nèi)的雙前車(chē)及后車(chē)的狀態(tài)采取加、減速的跟馳行為，來(lái)保證車(chē)輛的最優(yōu)行駛狀態(tài).因?yàn)殡S著與跟馳車(chē)距離的變大，前方第3輛前導(dǎo)車(chē)對(duì)跟馳車(chē)的影響就已經(jīng)很小了[8]，因此本文研究?jī)H考慮雙前車(chē)和后車(chē)對(duì)跟馳行為的影響.設(shè)在某一時(shí)刻t，位于單車(chē)道上的4輛車(chē)跟馳行駛，沿車(chē)輛行駛方向的車(chē)輛編號(hào)從前到后分別是n+2、n+1、n、n-1，t時(shí)刻各車(chē)輛的位置分別為xn+2(t)、xn+1(t)、xn(t)、xn-1(t)，行駛速度分別為vn+2(t)、vn+1(t)、vn(t)和vn-1(t).

圖1 跟馳場(chǎng)景圖Fig.1 Scene graph of car-following

綜合運(yùn)用FVD、OVD和前車(chē)速度差模型建立的思想后，提出了新的考慮跟馳車(chē)輛雙前車(chē)和后車(chē)跟馳狀態(tài)對(duì)跟馳行為影響的跟馳模型為

式中：α、β、φ、σ、μ1、μ2分別為靈敏度系數(shù)；V(Δxn-1)為后視野后車(chē)的最優(yōu)車(chē)速；V(Δxn+1)-V(Δxn)為前視野雙前車(chē)的最優(yōu)速度差；Δan+1和Δan+2分別為第n+1和第n+2車(chē)在時(shí)刻t的加速度變化.當(dāng)β=1，φ、μ1、μ2=0時(shí)，改進(jìn)跟馳模型回歸為FVD模型.

模型中采用Bando[1]提出的最優(yōu)速度函數(shù)，即

式中：δ為常數(shù)項(xiàng)系數(shù)，取δ=1；hc為安全距離，取hc=5.

2 穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在受到瞬時(shí)擾動(dòng)后，當(dāng)干擾消除后能夠自行恢復(fù)到原來(lái)狀態(tài)的能力.在利用穩(wěn)定理論分析改進(jìn)模型前，首先定義道路上車(chē)輛的初始穩(wěn)定狀態(tài)為：所有車(chē)輛均以車(chē)頭間距h0和速度V(h0)保持穩(wěn)定的勻速運(yùn)動(dòng).此時(shí)關(guān)于第n輛車(chē)的位置就可以表示為

如果此時(shí)給整個(gè)系統(tǒng)施加一個(gè)小擾動(dòng)yn(t)=eikn+θt，關(guān)于第n輛車(chē)的位置就會(huì)變化為

將式(6)代入式(7)中，得到

再將式(7)代入式(8)中，就得到了關(guān)于擾動(dòng)yn(t)的改進(jìn)模型表達(dá)式，即

式中：V′(h0)為V(x)在x=h0處的導(dǎo)數(shù).

將yn(t)=eikn+θt代入式(9)中，整理后得到關(guān)于θ的二元一次方程為

將θ展開(kāi)為，代入式(10)中，得到

對(duì)式(11)進(jìn)行整理并得到關(guān)于k的全部項(xiàng)為

整理化簡(jiǎn)式(12)后，得到關(guān)于θ1的表達(dá)式為

再對(duì)式(11)進(jìn)行整理得到關(guān)于k2的全部項(xiàng)為

整理化簡(jiǎn)式(14)后，得到關(guān)于θ2的表達(dá)式為

將式(13)代入式(15)中，化簡(jiǎn)得到

根據(jù)穩(wěn)定性原理，當(dāng)θ2＞0時(shí)，交通系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，可以抵抗干擾；反之系統(tǒng)將變得不穩(wěn)定，任何小的干擾都可以擾亂交通系統(tǒng)的運(yùn)行，即系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)為

所以模型中的穩(wěn)定條件為

當(dāng)μ1=μ2=0.5，φ=0時(shí)

由此得到的穩(wěn)定性條件式(19)滿足文獻(xiàn)[4]提出的考慮后車(chē)跟馳模型的穩(wěn)定性通式，從而也驗(yàn)證了文本提出的跟馳交通模型的準(zhǔn)確性.

當(dāng)β=1時(shí)，得到σ不同取值下的中位穩(wěn)定線，如圖2所示.由圖2可以看出，中位穩(wěn)定線呈現(xiàn)對(duì)稱分布，且隨著σ的不斷增大，中位穩(wěn)定線下方的不穩(wěn)定區(qū)域越來(lái)越小，上方的穩(wěn)定性區(qū)域也就越來(lái)越大.同時(shí)靈敏度α的增大也隨著σ增大，對(duì)于相同的跟馳間距，加速度越大越有利提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，能夠反映出車(chē)輛的加速性能對(duì)抑制交通擁堵的有利作用，是符合實(shí)際的.說(shuō)明考慮前后車(chē)輛跟馳狀態(tài)對(duì)整個(gè)跟馳系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是有意義的，能在一定程度上維持道路交通系統(tǒng)的穩(wěn)定.

圖2 不同靈敏度σ的中位穩(wěn)定線圖Fig.2 Medium stable line with different sensitivity

根據(jù)FVD穩(wěn)定性條件：α=2V′(h0)-2ε，分別在σ=0.5和ε=0.2處得到改進(jìn)模型同F(xiàn)VD模型的穩(wěn)定性對(duì)比圖，如圖3所示.不難看出，改進(jìn)模型較FVD模型具有更大的穩(wěn)定性區(qū)間，但是在x軸兩端的位置，改進(jìn)模型的穩(wěn)定性弱于FVD模型，這是因?yàn)镕VD模型只考慮了前車(chē)跟馳狀態(tài)對(duì)跟馳行為的影響，因此無(wú)論跟馳距離如何變化，跟馳系統(tǒng)的穩(wěn)定性受車(chē)頭間距的影響都是一定的.而改進(jìn)模型由于考慮前后多輛車(chē)的跟馳狀態(tài)，會(huì)過(guò)多地改變自身車(chē)輛的跟馳狀態(tài)，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性.因此，改進(jìn)模型在跟馳間距處于7～18 m時(shí)，采用改進(jìn)跟馳模型要比經(jīng)典FVD模型更具有穩(wěn)定性.

圖3 中位穩(wěn)定線對(duì)比圖Fig.3 Comparison diagram of median stability line

3 數(shù)值仿真

通過(guò)對(duì)道路交通中的交通波現(xiàn)象進(jìn)行模擬，觀察波動(dòng)的產(chǎn)生和消散，能夠從現(xiàn)實(shí)角度來(lái)驗(yàn)證以上理論推導(dǎo)結(jié)論.為了更直觀地探討本文提出模型的穩(wěn)定性，本文假設(shè)交通流均為同質(zhì)均衡狀態(tài)，即道路上的車(chē)輛全部遵循一種跟馳行駛方式，且無(wú)換道、信號(hào)燈等其他交通因素的干擾，研究在這種平衡狀態(tài)下采用兩種不同跟馳策略的交通流系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

3.1 擾動(dòng)在兩種模型中的傳播分析

設(shè)置的模擬場(chǎng)景為：在一段長(zhǎng)度L=5 000m的道路上，在道路前端L1=200m處放置N=100輛車(chē)，在初始狀態(tài)，所有車(chē)輛等距離、等速度跟馳前車(chē)行駛，跟馳距離為L(zhǎng)1/N，跟馳速度為5 m/s，采取周期邊界.在仿真時(shí)間的第1 s對(duì)頭車(chē)施加一個(gè)小的擾動(dòng)，擾動(dòng)大小為其初始跟馳間距和初始速度的1/2.

圖4(a)和圖4(b)分別為α=0.520；β=0.246；φ=0.013；σ=0.040；μ1=0.259；μ2=0.032時(shí)改進(jìn)模型中擾動(dòng)在仿真時(shí)間第200 s和第5 000 s時(shí)的傳播情況.系統(tǒng)的平均速度穩(wěn)定在0.054 m/s左右，但是由于頭車(chē)的擾動(dòng)打破了整個(gè)交通系統(tǒng)的平衡，使得系統(tǒng)中產(chǎn)生交通波動(dòng)并隨行駛時(shí)間向后傳播，傳播方向同車(chē)隊(duì)行駛方向相反.且隨著行駛時(shí)間的增加，擾動(dòng)產(chǎn)生的速度波動(dòng)峰值0.063 m/s變化到0.055 m/s，擾動(dòng)整體有減小并消散的趨勢(shì).因?yàn)楦倪M(jìn)模型考慮了前后多車(chē)跟馳狀態(tài)并提供給駕駛員做參考，使其可以更全面的對(duì)跟馳行為進(jìn)行調(diào)整，以適應(yīng)整個(gè)跟馳系統(tǒng)，能夠及時(shí)調(diào)整跟馳行為應(yīng)對(duì)車(chē)流中的小擾動(dòng)，從而也有利于及時(shí)消散跟馳系統(tǒng)中的擾動(dòng)，避免形成局部擁堵影響道路交通.

圖4(c)和圖4(d)為兩種模型在仿真時(shí)間分別為T(mén)=200s和T=5 000 s時(shí)的擾動(dòng)傳播的對(duì)比圖，F(xiàn)VD模型的參數(shù)選擇為a=0.132，λ=0.036.可以明顯看到改進(jìn)模型中交通流平均速度穩(wěn)定在0.05 m/s左右，而FVD模型中的跟馳系統(tǒng)則受擾動(dòng)影響較大，系統(tǒng)中車(chē)輛速度一直在0～2 m/s震蕩，出現(xiàn)了時(shí)走時(shí)停的停滯現(xiàn)象，且隨著仿真時(shí)間的增加，擾動(dòng)并沒(méi)有出現(xiàn)消散的跡象，說(shuō)明FVD模型中系統(tǒng)受車(chē)輛隨機(jī)擾動(dòng)的影響嚴(yán)重，因此改進(jìn)模型較FVD模型在消散擾動(dòng)方面具有一定優(yōu)越性.

圖4 擾動(dòng)傳播過(guò)程中系統(tǒng)平均速度Fig.4 Average velocity in disturbance propagation process

圖5(a)和圖5(b)分別為改進(jìn)模型中擾動(dòng)在仿真時(shí)間第200 s和第5 000 s時(shí)的跟馳距離變化情況.整個(gè)跟馳系統(tǒng)的跟馳間距穩(wěn)定在2 m左右，由于初始小擾動(dòng)產(chǎn)生的沖擊波在三維面上有明顯的起伏波動(dòng)(圖5(a))，后沖擊波慢慢消散(圖5(b))，三維面又重新漸漸恢復(fù)平整，說(shuō)明改進(jìn)模型模擬的交通流具有穩(wěn)定性，擁有自行消散系統(tǒng)中沖擊波的能力.反觀FVD模型在擾動(dòng)下的跟馳間距，如圖5(c)和圖5(d)所示，擾動(dòng)在系統(tǒng)中產(chǎn)生的交通波并沒(méi)有隨時(shí)間消散，反而愈演愈烈，到了T=5 000s時(shí)已經(jīng)形成了嚴(yán)重的交通擁堵，使得系統(tǒng)中的車(chē)輛不得不時(shí)走時(shí)停.因此，應(yīng)用改進(jìn)模型的交通系統(tǒng)比應(yīng)用FVD模型的交通系統(tǒng)更具有穩(wěn)定性.

圖6(a)和圖6(b)分別為改進(jìn)模型中擾動(dòng)在仿真時(shí)間第200 s和第5 000 s時(shí)的道路上所有跟馳車(chē)輛的軌跡運(yùn)行圖.從局部產(chǎn)生擁堵(圖6(a))，到軌跡面又基本保持平整(圖6(b))，同樣說(shuō)明改進(jìn)模型的穩(wěn)定性.而FVD模型中的交通系統(tǒng)在擾動(dòng)的作用下，車(chē)輛軌跡圖出現(xiàn)了多處褶皺帶(圖6(c))，說(shuō)明系統(tǒng)中的車(chē)輛在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)了多次速度為零的長(zhǎng)時(shí)間停車(chē)現(xiàn)象，并向行駛方向的反方向傳遞，最后隨著時(shí)間演化為大的擁堵節(jié)點(diǎn)(圖6(d)).因此也就說(shuō)明了FVD模型下的跟馳系統(tǒng)較改進(jìn)模型相比缺乏自身穩(wěn)定性，對(duì)系統(tǒng)中出現(xiàn)的小干擾的消散能力不足.

圖5 擾動(dòng)傳播過(guò)程中系統(tǒng)跟馳間距Fig.5 Headway in disturbance propagation process

圖6 擾動(dòng)傳播過(guò)程中的跟馳位移Fig.6 Position in disturbance propagation process

3.2 靈敏度仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證第2節(jié)穩(wěn)定性條件理論推導(dǎo)的敏感度分析結(jié)果，調(diào)整靈敏度σ的取值，并分別在仿真時(shí)間為T(mén)=50s和T=1 000s時(shí)固定觀察擾動(dòng)在不同靈敏度σ值下的傳播情況，為了更直觀地觀察穩(wěn)定性效果，靈敏度σ的取值同第2節(jié)保持一致，分別為σ=0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，如圖7所示.不難看出，靈敏度σ的取值越大，擾動(dòng)在跟馳系統(tǒng)中的傳播越穩(wěn)定，這同3.2節(jié)中得到的理論分析結(jié)果是一致的.同時(shí)隨著仿真時(shí)間的增加，只有靈敏度σ=0.2的系統(tǒng)中存在擾動(dòng)，其他敏感度取值下的系統(tǒng)擾動(dòng)已經(jīng)完全消散，跟馳系統(tǒng)中的速度不再波動(dòng)，而是保持穩(wěn)定的一致.

圖7 不同靈敏度σ下的擾動(dòng)傳播速度圖Fig.7 Average velocity in disturbance propagation process with different sensitivities

4 結(jié)論

本文在參考現(xiàn)有跟馳模型的基礎(chǔ)上，建立了一種考慮跟馳駕駛員雙前車(chē)及后車(chē)跟馳狀態(tài)影響的改進(jìn)跟馳模型.并從理論分析、數(shù)值仿真、對(duì)比分析等角度，對(duì)本文提出的改進(jìn)模型進(jìn)行分析.主要有以下結(jié)論：

(1)根據(jù)穩(wěn)定性理論分析、推導(dǎo)了改進(jìn)模型的穩(wěn)定性條件，并對(duì)其進(jìn)行了靈敏度驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果顯示，靈敏度α越大越有利于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

(2)模擬擾動(dòng)在交通系統(tǒng)中傳播的仿真結(jié)果顯示，無(wú)論從系統(tǒng)跟馳速度、跟馳間距還是跟馳軌跡都能說(shuō)明，改進(jìn)模型都具有消散干擾抑制擁堵的作用.

(3)對(duì)比觀察了經(jīng)典FVD模型下的跟馳系統(tǒng)對(duì)抗干擾能力，對(duì)比結(jié)果顯示，應(yīng)用改進(jìn)模型進(jìn)行道路交通仿真會(huì)獲得更佳的穩(wěn)定性.