利用馬爾科夫和灰色模型預測高校師資隊伍

王韋霞

（安徽機電職業(yè)技術學院基礎教學部，安徽蕪湖241003）

高等教育創(chuàng)新發(fā)展要求不斷調(diào)整優(yōu)化師資隊伍結構，而師資建設和規(guī)劃需要各高校適時適當?shù)刂贫ㄓ媱澓头桨?。但是，師資配置受到諸如辦學規(guī)模、職稱、師資評價及薪酬體系等社會經(jīng)濟各方面的制約，是一個復雜且不穩(wěn)定的系統(tǒng)。如何合理優(yōu)化師資隊伍配置成為高校師資隊伍建設的一個棘手問題。

本文以安徽省蕪湖市某高校2014—2018年人員職稱結構為案例，先根據(jù)馬爾科夫鏈預測模型，利用多元回歸理論建立多目標規(guī)劃模型求解各類職稱人員比例轉移概率矩陣，預測出2019年各類職稱人員比例；再借助灰色預測GM（1,1）模型對教師總數(shù)進行預測，從而預測出2019年該校各類職稱人數(shù)。與傳統(tǒng)的馬爾科夫預測法相比，避免學校因減、增員造成的總人數(shù)變化而影響預測的準確性，該模型科學合理，反映了未來一定時期該校師資隊伍發(fā)展規(guī)律，為高校師資隊伍建設和規(guī)劃提供參考。

1 基于回歸分析的馬爾科夫鏈模型預測

1.1 傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型原理[1]

假設存在一個馬爾科夫鏈，其狀態(tài)集合為{s1,s2,…,sm}，yt(j)（j=1,2,…,n）表示t時刻第j類職稱人員的比例，初始矩陣:

A=(pij)n×n為狀態(tài)轉移矩陣，由馬爾科夫鏈的基本性質有：

具體問題很復雜，馬爾科夫狀態(tài)轉移矩陣無法直接由初始矩陣轉化。傳統(tǒng)馬爾科夫狀態(tài)矩陣的計算方法是通過某兩個相鄰時刻的轉移概率來確定，但此方法要求各時刻的狀態(tài)轉移概率保持穩(wěn)定，若隨時間推移發(fā)生較大波動則預測效果不理想。為此，本文以蕪湖某高校近5年職稱人數(shù)發(fā)展規(guī)律為案例（見表1），利用多元回歸分析及最優(yōu)化理論去確定狀態(tài)轉移概率矩陣。

表1 某高校2014—2018年人員職稱結構

1.2 基于回歸分析的馬爾科夫鏈模型原理[2-3]

假設在t時刻誤差變量為εt(j),其中j=1,2,…,n。由（1）式有：

則（2）式可以寫成

根據(jù)多元回歸分析理論，滿足Q(Aj)取得最小時，對應的Aj為狀態(tài)矩陣A的第j列最優(yōu)值。結合本文案例，因職稱低級只能向本級或高一級轉移的特點，則有p12=0,p13=0,p14=0,p23=0,p24=0,p31=0,p34=0,p41=0,p42=0。為此構造如下多元規(guī)劃模型求解狀態(tài)轉移矩陣：

1.3 職稱人員比例轉移概率矩陣求解

根據(jù)1.2節(jié)的內(nèi)容，再結合職稱晉升由最低級逐步往高一級職稱晉升、不存在跳級現(xiàn)象等特點，本文利用分層序列法，按Q(A4),Q(A3),…,Q(A1)的次序依次求出最優(yōu)解。最優(yōu)分層模型建立如下：

Step1:min Q(A4)

以此類推，依次求出滿足Q(A2),Q(A1)最小時的A2,A1各元素，最后求解出狀態(tài)轉移矩陣：

根據(jù)職稱人員比例轉移概率矩陣，我們得出2015—2018年各類職稱比例實際數(shù)據(jù)和預測數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 2015—2018年各類職稱比例實際數(shù)據(jù)和預測數(shù)據(jù)對比表

2 灰色GM（1,1）模型預測教師總人數(shù)

2.1 灰色GM（1,1）模型原理

灰色GM（1,1）模型是指一階且僅有一個變量的微分方案預測模型，其基本思路如下：

(1)對原始數(shù)據(jù)序列的累加處理得到新的序列。設原始數(shù)據(jù)序列為x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，對序列x(0)作一次累加生成，得到新的累加生成序列x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)),其中x(1)(k)=(i),k=1,2,…,n。

(2)通過最小二乘法估計a,u值，

(3)建立一階常微分方程模型

微分方程（5）就是灰色GM（1,1）預測模型，其中a,u為常數(shù)，（5）式滿足初始條件x(1)=x(1)(t0)時的解為：

(4)預測值還原。由于（6）式得到的是一次累加生成數(shù)據(jù)序列的預測值，可通過累減生成原始數(shù)據(jù)序列的預測值，即：

2.2 教師總人數(shù)預測[4-8]

由2.1知教師總人數(shù)原始數(shù)據(jù)序列x(0)=[368,387,412,427,443]，對序列 x(0)作一次累加生成，得到新的累加生成序列為：

再由（3）式得到：[a,u]=[-0.0437,365.754 4]，由（5）式可知預測方程為：

根據(jù)（7）式得出2015—2023年教師人數(shù)預測值分別為390、408、426、445、465、485、507、530、553，其中2015—2018年原始值與預測值對比情況見表3。

表3 2015—2018年原始值與預定值對比表

下面通過后驗差對模型進行精度檢驗：

所有的 | E(i)-Eˉ|＜ 9.342 2，故小概率事件P{| E (i)-Eˉ|＜0.774S1}=1，根據(jù)預測等級對照表（見表4），因為P＞0.95,C=0.226＜0.35，可知預測合理。

表4 預測等級對照表

3 預測結果檢驗

3.1 預測值與實際值誤差分析

根據(jù)模型求解方案，本文對2015—2018年各類職稱人數(shù)實際值和預測值進行對比，如表5所示。

由表5可見，預測值和實際值平均相對誤差較小且誤差逐年遞減，即此模型能較合理反映近期情況。根據(jù)該預測方案，本文預測出2019年各類職稱人數(shù)分別為正高職稱25人，副高職稱132人，中級職稱229人，初級及以下職稱79人。

3.2 與傳統(tǒng)馬爾科夫狀態(tài)概率矩陣計算方法對比

通過對2016年、2017年職稱人員比例數(shù)的轉移數(shù)構造一步轉移概率矩陣：

借助灰色預測得到2018年教師總數(shù)為445人，求出2018年各類職稱人數(shù)實際值和預測值如表6所示。

表5 2015—2018年各類職稱人數(shù)實際值和預測值對比

表6 傳統(tǒng)方法得到的2018年職稱人數(shù)實際值和預測值對比

從平均相對誤差值對比可知，改進的馬爾科 夫狀態(tài)概率矩陣計算方法預測效果更佳。（本文對比中傳統(tǒng)計算方法以近兩年的數(shù)據(jù)轉移概率確定轉移概率矩陣，若以最早的2014、2015年數(shù)據(jù)確定則平均相對誤差更大），該方法得到的狀態(tài)概率矩陣不僅具有一定時期代表性，而且消除了利用相鄰兩個時期狀態(tài)概率轉移作為一步轉移概率矩陣陷入局部現(xiàn)象的弊端。

4 結 論

本文通過多元回歸理論，構建了多目標規(guī)劃模型求解高校職稱人員比例狀態(tài)轉移矩陣，解決了狀態(tài)轉移矩陣難求且易陷入局部極值等問題，同時借助灰色預測GM（1,1）模型解決了馬爾科夫狀態(tài)轉移僅局限于內(nèi)部轉移的缺點。通過兩種預測方法結合運用，取長補短，很大程度上提高了預測精度。將該模型運用于高校職稱人員預測，預測效果較好，在一定時期內(nèi)反映了該校教師職稱結構發(fā)展趨勢，為高校師資隊伍建設提供了科學的決策依據(jù)。