如何正確求解分式方程的增根和無解

劉順林*

（四川省攀枝花市米易縣第一初級(jí)中學(xué)校，四川攀枝花，617000）

引言

我從事初中教學(xué)19年來每次上到曾根與無解時(shí)，學(xué)生一到這里錯(cuò)誤率大大增加，所以查閱了相關(guān)資料，寫一點(diǎn)點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)交流與大家共勉。

（1）在復(fù)習(xí)分式方程這一節(jié)時(shí)學(xué)生對(duì)分式方程的增根與無解概念混淆，分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個(gè)概念,學(xué)生在學(xué)習(xí)分式方程后,常常會(huì)對(duì)這兩個(gè)概念混淆不清,認(rèn)為分式方程無解和分式方程有增根是同一回事,事實(shí)上并非如此，解分式方程一般都要去分母化為整式方程，而整式方程只有：有解與無解二種情況。當(dāng)整式方程無解時(shí)，那么原來的分式方程也一定無解。當(dāng)整式方程有解時(shí)，原來的分式方程就不一定也有解，因?yàn)榉质椒匠逃挟a(chǎn)生增根的可能，若整式方程的解代入原分式方程的所有分母中，只要有一個(gè)分母為零，這個(gè)整式方程的解就不是原分式方程的根，它是一個(gè)增根。若整式方程的解代入原分式方程的所有分母中全不為零，這個(gè)整式方程的解才是原分式方程的解。若整式方程的所有解都不是原分式方程的根（即都是增根），這時(shí)才能說 此分式方程無解。無解與增根的關(guān)系不太大，有增根不一定無解，無解也不一定是因?yàn)橛辛嗽龈艧o解的。

（2）解題前首先理解“曾根”和“無解”不是一回事：分式方程的曾根是由于把分式方程化成整式方程時(shí)，無形中去掉了原分式方程中分母不為零的限制條件，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍。這樣，整式方程的根可能使分式方程的分母為零，分式方程將失去意義。因此，這個(gè)根雖然是變形后整式方程的根，但不是原分式方程的根，這種根就是分式方程的曾根。可見曾根不是原分式方程的根 ，但卻是分式方程去分母后所得的整式方程的根。而發(fā)生非常無解要分為兩種情況：一是原分式方程化為整式方程后，該整式方程無解；二是分式方程去分母后所得的整式方程有解，但該解卻是分式方程的曾根。

1 分式方程曾根

這類題的解題思路為：

①將原方程化為整式方程（兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母）；

②確定增根（題目已知或使分母為零的未知數(shù)的值）；

③將增根代入變形后的整式方程，求出未知數(shù)的值；

例1：若分式方程有曾根x=-1，求k的值。

【解】：方程兩邊同 x（x+1）（x-1），得（k-1）x-（x+1）=(k-5)(x+1) 3x=k-4曾根為x=-1

例2：若方程關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生有增根，則m的值為？

【解】：方程兩邊乘(x+2)(x-2) 約去分母得 2(x+2)+mx=3(x-2)整理得(m-1)x=-10。原方程有增根(x+2)(x-2)= 0即 x=2或 x=-2，把 x=2 代入(m-1)x=-10，解得m=-4，x=-2代入(m-1)x=-10m=6，解得m=-4或m=6當(dāng)m=-4或m=6，方程會(huì)產(chǎn)生曾根。

例1有曾根為x=-1把分式方程化為整式方程后直接把曾根代入求出k的值，而例2則分式方程化為整式方程確定曾根的值再代入進(jìn)行計(jì)算。

2 分式方程無解

這類題的解題思路為

①將原方程化為整式方程（兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母）；

②確定增根（題目已知或使分母為零的未知數(shù)的值）；

③將增根代入變形后的整式方程，求出未知數(shù)的值；

考慮該整式方程無解；

例3：若關(guān)于x的方程無解，則m的值是多少

【解】：分式方程去分母得：2（x-1）=， 將x=5代入得：．

例4：關(guān)于x的方程無解，求a的值。

【解】方程兩邊同時(shí)乘(x-3)約去分母，得(3-2x)- (2-ax)= -(x-3)即(a+1) x =-2

分兩種情況討論：一種(x-3)=0即x=3時(shí)原方程無解，(a+1) 3=-2 a=

第二種 (a+1)=0時(shí)，整式方程(a+1) x =-2無解， a=-1時(shí)，原方程無解。

綜上所述，當(dāng)a= 或a=-1時(shí)，原方程無解。

例3分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，將x=5代入計(jì)算即可求出m的值，不存在分母為零的情況，而例4分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，將x=3時(shí)原方程還需要是分式方程去分母后所得的整式方程無解。

綜上所述關(guān)于分式方程增根無解的問題，于是有結(jié)論:分式方程的根一定是化簡(jiǎn)后的整式方程的根，化簡(jiǎn)后整式方程的根不一定是分式方程的根，有可能是增根，分式方程無解，就是說化簡(jiǎn)后的整式方程無解。

3 結(jié)束語

弄清分式方程的增根與無解的區(qū)別和聯(lián)系，能幫助我們提高解分式方程的正確性，對(duì)判斷方程解的情況有一定的指導(dǎo)意義，幾年的教學(xué)下來遇到這一類的計(jì)算題學(xué)生的計(jì)算水平大大增加。

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[3] 馬文韜. 對(duì)分式方程增根和無解的認(rèn)識(shí)[J]. 初中生世界 2015年22期.

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