數(shù)學(xué)教學(xué)中的發(fā)散思維培養(yǎng)

敬久旺

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）44-0146-01

發(fā)散思維又稱輻射思維、放射思維、擴(kuò)散思維或求異思維，是指大腦在思維時(shí)呈現(xiàn)的一種擴(kuò)散狀態(tài)的思維模式，它表現(xiàn)為思維視野廣闊和多維發(fā)散狀，發(fā)散思維培養(yǎng)就是要克服頭腦中某種已設(shè)置好的僵化的思維框框，引導(dǎo)學(xué)生從新的方向來思索問題的過程，注重強(qiáng)調(diào)多角度、多方面，而在數(shù)學(xué)教學(xué)中一題多解就很奏效。

一、復(fù)數(shù)的絕對(duì)值

教材上對(duì)于復(fù)數(shù)z的|Z|的定義是從向量出發(fā)，首先引入z與向量的對(duì)應(yīng)，即以坐標(biāo)原點(diǎn)o為起點(diǎn)，z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為終點(diǎn)的向量為z對(duì)應(yīng)的向量，此向量的長(zhǎng)度（模）稱為z的模，記為 |Z|。對(duì)于之前沒有接觸復(fù)數(shù)的學(xué)生，模的概念確實(shí)是與向量有關(guān)的。但是，事實(shí)上z是一個(gè)數(shù)，|Z|本身用的是數(shù)的絕對(duì)值的符號(hào)，完全可以讓學(xué)生回顧絕對(duì)值的概念，以-3的絕對(duì)值、a的絕對(duì)值等于多少引發(fā)學(xué)生思考。關(guān)于|a|等于多少，多數(shù)學(xué)生會(huì)回答要分情況討論。但答案卻可以用a到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離一言以蔽之。這個(gè)時(shí)候，|Z|就一目了然了，因?yàn)橹耙呀⒘藌與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)。

二、兩個(gè)復(fù)數(shù)之間的距離

一方面可以用模來定義。首先根據(jù)向量減法的三角形法則得到z1-z2所對(duì)應(yīng)的向量，此向量恰好等于由z2指向被減數(shù)z1的向量，因此向量的長(zhǎng)度即為z1到 z2的距離。但另一方面，用絕對(duì)值表示兩點(diǎn)（數(shù)）之間的距離早在初中數(shù)學(xué)中就有，往往容易被學(xué)生忽視，教學(xué)中應(yīng)該提及，以讓學(xué)生多角度去思考，多發(fā)揮聯(lián)想發(fā)散其思維。比如以負(fù)三到五之間的距離、實(shí)數(shù)a到b之間的距離等于多少向?qū)W生提問。關(guān)于實(shí)數(shù)a到b之間的距離，部分學(xué)生初反應(yīng)肯定會(huì)一臉茫然，但立即應(yīng)該都能夠和減法的絕對(duì)值建立聯(lián)系。

三、證明圓是軸對(duì)稱圖形

在人民教育出版社出版的義務(wù)教育教科書（教育部2013審定）九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課本中，有這樣的一道命題（81頁(yè)）：要證明圓是軸對(duì)稱圖形，只需證明圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上。筆者曾就此問題專門調(diào)查詢問了一些大學(xué)生和一些正在讀初三的中學(xué)生。多數(shù)大學(xué)生證明的思路和教科書上不一致，他們都是根據(jù)命題的直接邏輯，先找到圓上任意一點(diǎn)A，再找到此點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)B，最后證明B點(diǎn)也在圓上。筆者試圖提問除此方法以外還能怎么證明，學(xué)生險(xiǎn)入沉思。又給出提示能不能想辦法把A與B點(diǎn)都先認(rèn)定在圓上然后尋求證明，即便這樣還是只有部分學(xué)生才豁然明白。因?yàn)閷?duì)稱點(diǎn)本身是唯一的，先找到圓上的任意一點(diǎn)A和圓上與A有關(guān)的另外一點(diǎn)B，只要能夠證明B點(diǎn)就是A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)就可以了，教科書的處理是很好的。

四、未定式的極限

在高等數(shù)學(xué)中，運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限是常見的問題。比如求 問題。一種辦法是設(shè)f（x）=（cos ）3，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義有：

f′（x）=3（cos ）2（-sin ） ，顯然，導(dǎo)函數(shù)f′（x）在x=0處沒有函數(shù)值，故f′（0）不存在，也即極限 不存在。

另外一種辦法是選擇適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)無窮小做替換，

兩種方法大相徑庭，仔細(xì)分析，好像兩種思路都無懈可擊，那么問題出在哪里呢？再細(xì)細(xì)考究，原來解法1中“顯然，導(dǎo)函數(shù)f′（x）在x=0處沒有函數(shù)值，故f′（0）不存在”是武斷的，是不顯然的事情。同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)教材上講，“顯然，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）就是導(dǎo)函數(shù)f′（x）在點(diǎn)x=x0處的函數(shù)值”。按此，確實(shí)可以得出解法1中的結(jié)論。但是，不能忽略的是，教材此處提到的導(dǎo)函數(shù)是先前定義在開區(qū)間上的，對(duì)于閉區(qū)間的端點(diǎn)，結(jié)論不再是“顯然”的事情，解法1犯了斷章取義的錯(cuò)誤。當(dāng)然，解法2是正確的。學(xué)高等數(shù)學(xué)首先要把概念理解好，知道一些概念之間的相互聯(lián)系與區(qū)別，適時(shí)地舉出一些錯(cuò)誤的例子讓學(xué)生討論，進(jìn)而達(dá)到靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的目的。

五、中心極限定理

在中心極限定理的教學(xué)活動(dòng)中，教師除了要充分列舉較多的常見例子使學(xué)生明確所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。比如研究我國(guó)人壽保險(xiǎn)公司的農(nóng)村老年人壽保險(xiǎn)項(xiàng)目，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用中心極限定理研究，假設(shè)我國(guó)13億人口中的9億為農(nóng)村人口，計(jì)算保險(xiǎn)公司業(yè)務(wù)收益率。又如在一地區(qū)，有五千人參加保險(xiǎn)公司推出的一種項(xiàng)目，每年每個(gè)人交兩百元。若保險(xiǎn)人在某個(gè)年齡段之內(nèi)死亡，家屬將獲得1萬元。而往年統(tǒng)計(jì)得出的數(shù)據(jù)顯示，此種保險(xiǎn)人年死亡率為1.7%，求解1年之內(nèi)保險(xiǎn)公司此項(xiàng)保險(xiǎn)的虧損概率有多大？此實(shí)例可有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，因此，通過運(yùn)用中心極限定理建立數(shù)學(xué)模型引導(dǎo)學(xué)生多方面思考問題的效果將十分突出。若得出的概率較大，則說明不利開展此類項(xiàng)目，若虧本概率在合理范圍之內(nèi)則說明此項(xiàng)目在該地區(qū)可以推行。此問題解決之后，進(jìn)一步設(shè)問，如：若保險(xiǎn)公司每年固定收入為300萬，每年需要付出的賠付金額為160萬，而參保的5000位人中的每一位所在家庭均有可能成為獲賠方，相當(dāng)于存在5000個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，而影響保險(xiǎn)人死亡的因子是多樣的，它們共同作用導(dǎo)致死亡這一結(jié)果，然后求解各個(gè)因子作用下保險(xiǎn)人死亡的概率和保險(xiǎn)公司的賠付率。通過運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決此類問題也大大加強(qiáng)了學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力，也為學(xué)生面向銀行等金融機(jī)構(gòu)就業(yè)強(qiáng)化了知識(shí)的運(yùn)用能力，可謂一舉多得。

創(chuàng)新思維與創(chuàng)造性活動(dòng)相關(guān)聯(lián)，是多種思維活動(dòng)的統(tǒng)一，但其中發(fā)散思維和靈感起著重要作用，發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的核心成分。訓(xùn)練人的發(fā)散思維能力是培養(yǎng)創(chuàng)造力的一種方法。發(fā)散思維能使問題最終產(chǎn)生多種參考答案而不是唯一標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)論，因而容易形成有創(chuàng)見性質(zhì)的新觀念，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該多加以研究。