不同照明條件下全息圖的衍射場(chǎng)分析

丁文革 楊晨鶴 代秀紅 張榮香

(河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北 保定 071002)

光波經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后形成的波場(chǎng)，一般是比較復(fù)雜的。現(xiàn)代光學(xué)的思想就是要在復(fù)雜的波場(chǎng)中分離出簡(jiǎn)單的波動(dòng)成分：平面波和球面波。由于波場(chǎng)的主要特征體現(xiàn)在波前函數(shù)的相因子中，因此可以根據(jù)波前函數(shù)的相因子來判斷波場(chǎng)的性質(zhì)，分析衍射場(chǎng)的主要特征，這就是所謂的波前相因子判斷法[1，2]。在2015 全國(guó)高等院校光學(xué)教學(xué)暨學(xué)術(shù)研討會(huì)上，北京大學(xué)鐘錫華教授曾積極倡導(dǎo)采用波前相因子判斷法分析復(fù)雜波場(chǎng)的主要成分[3]。實(shí)際上在很多場(chǎng)合，只需掌握衍射場(chǎng)的主要特征就夠用了，在全息技術(shù)中就是如此。

全息技術(shù)是利用干涉和衍射原理記錄并再現(xiàn)物體的真實(shí)三維圖像技術(shù)，現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用于不同的領(lǐng)域[4-6]。但是在一般光學(xué)教材中介紹全息再現(xiàn)時(shí)，總是說“用一束同參考光的波長(zhǎng)和傳播方向完全相同的光束照射全息圖，就可以還原出物體的樣子”[7-9]。 那么，如果采用與參考光波不同的照明光波，結(jié)果如何呢？這里將采用波前相因子判斷法，對(duì)不同照明條件下全息圖的復(fù)雜衍射場(chǎng)進(jìn)行詳細(xì)解析，識(shí)別出再現(xiàn)波場(chǎng)中與物光波相關(guān)的信息，并用圖示法把再現(xiàn)圖像的分布情況表示出來。這不僅有助于我們深入理解全息再現(xiàn)圖像的特點(diǎn)并應(yīng)用于不同的實(shí)際需求中，而且有助于我們以后更好地利用波前相因子判斷法，處理復(fù)雜波場(chǎng)問題。

1 理論基礎(chǔ)

φ(x,y)=k(sinθ1x+sinθ2y)

(1)

圖1 沿方向角(θ1，θ2)傳播的平面波

在傍軸近似下，中心在(x0,y0,-z0)的發(fā)散球面波和中心在(x0,y0,z0)的會(huì)聚球面波，在z=0波前平面上的相位分布φ+(x,y)和φ-(x,y)分別為[1]

(2)

式(1)和式(2)中，k=2π/λ表示波矢的大小。

2 全息記錄與再現(xiàn)

如圖2所示，一束正入射的單色平面參考光波，與一束球面物光波相干疊加，在z=0平面上形成干涉條紋。將記錄介質(zhì)放在該平面位置進(jìn)行曝光，把干涉條紋拍攝下來，然后進(jìn)行線性沖洗，即得到一張全息圖。參考光波在z=0平面上的復(fù)振幅分布(即波前函數(shù))為

(3)

圖2 全息記錄

在傍軸近似下，中心在(x0,0,-z0)的球面物光波的波前函數(shù)為

(4)

為方便計(jì)算，已設(shè)eikz0=1。二者相干疊加形成的干涉場(chǎng)強(qiáng)度分布為

(5)

(6)

(7)

該衍射場(chǎng)一般是很復(fù)雜的。下面我們采用波前相因子判斷法，就幾種不同照明光波情形，詳細(xì)分析全息圖衍射場(chǎng)中物光波前的再現(xiàn)情況。

3 不同平面光波照明時(shí)全息圖的衍射場(chǎng)分析

3.1 改變?nèi)肷涔獠ㄩL(zhǎng)

(8)

這與全息記錄時(shí)參考光的波前函數(shù)相同。將上式代入式(7)，并整理可將全息圖的衍射場(chǎng)解析為

(9)

顯然上式第一項(xiàng)只包含照明光波的信息，稱之為0級(jí)衍射波。與式(4)中物光波的相因子比較可見，式(9)中第二項(xiàng)和第三項(xiàng)分別包含了物光波前及物光共軛波前，稱之為+1級(jí)衍射波和-1級(jí)衍射波。由于照明光的波長(zhǎng)與記錄參考光的波長(zhǎng)不等，即λ′≠λ，此時(shí)分析全息圖的衍射場(chǎng)時(shí)，要以λ′為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行波前函數(shù)各項(xiàng)相因子的分析。為方便計(jì)，設(shè)

(10)

則+1級(jí)衍射波和-1級(jí)衍射波的相位分布φ+(x,y)和φ-(x,y)可改寫為

(11)

可見，+1級(jí)衍射波為中心位于(x0,0,-z1)的一列發(fā)散球面波，-1級(jí)衍射波為中心位于(x0,0,z1)的一列會(huì)聚球面波，橫向放大率V+=V-=1。即在全息圖左側(cè)成一等大的虛像，虛像位置相對(duì)于原記錄物點(diǎn)有一個(gè)縱向的位移，在全息圖右側(cè)對(duì)稱位置處成一等大的實(shí)像，如圖3所示。這一特點(diǎn)使得我們可以采用不同波長(zhǎng)的光，如紅外光、紫外光甚至X射線記錄全息圖，而用可見光照射再現(xiàn)物光波前。

圖3 改變照明正入射平面波波長(zhǎng)時(shí)的成像圖

3.2 改變?nèi)肷涔獠ǖ姆较?/h3>

如圖4所示，當(dāng)平面光波以θ角照明全息圖時(shí)，其波前函數(shù)為

(12)

將上式代入式(7)，并整理可將全息圖的衍射場(chǎng)解析為

(13)

經(jīng)整理，上式中第二項(xiàng)+1級(jí)衍射波和第三項(xiàng)-1級(jí)衍射波的相位分布φ+(x,y)和φ-(x,y)可表示為

(14)

其中，C1是與波前場(chǎng)點(diǎn)無關(guān)的常數(shù)?？梢?，+1級(jí)衍射波為中心位于[(x0-z0sinθ),0,-z0]的一列發(fā)散球面波，-1級(jí)衍射波為中心位于[(x0-z0sinθ),0,z0]的一列會(huì)聚球面波。即在全息圖左側(cè)成一虛像，虛像位置相對(duì)于原記錄物點(diǎn)有一個(gè)橫向的位移，在全息圖右側(cè)對(duì)稱位置處成一實(shí)像。由于橫向位移Δx=(x0-z0sinθ)-x0=-z0sinθ，與x0無關(guān)，所以橫向放大率V+=V-=1，即所成虛像和實(shí)像與原物大小相等。如圖4所示。這一特點(diǎn)使得我們可以通過改變照明光的傳播方向，而實(shí)現(xiàn)再現(xiàn)像位置的調(diào)整。

圖4 斜入射平面波照明時(shí)的成像圖

4 不同球面光波照明時(shí)全息圖的衍射場(chǎng)分析

4.1 發(fā)散球面波作為照明光波

設(shè)照明光波為中心在(0,0,-z′)的發(fā)散球面波，滿足傍軸條件時(shí)，此球面波的波前函數(shù)為

(15)

為方便計(jì)，我們已設(shè)exp(ikz′)=1。將上式代入式(7)，并整理可將全息圖的衍射場(chǎng)解析為

(16)

顯然，上式中第一項(xiàng)的相因子與照明光波相同。下面我們主要對(duì)式中第二項(xiàng)+1級(jí)衍射波和第三項(xiàng)-1級(jí)衍射波的相因子加以分析。設(shè)+1級(jí)衍射波的相位分布為φ+(x,y)，經(jīng)推導(dǎo)可得

(17)

其中，C2是與波前場(chǎng)點(diǎn)無關(guān)的常數(shù)；z2滿足下式

(18)

設(shè)-1級(jí)衍射波的相位分布為φ-(x,y)，經(jīng)推導(dǎo)可得

(19)

其中，C3為與波前平面上場(chǎng)點(diǎn)無關(guān)的常數(shù)；z3滿足下式

(20)

(21)

考慮到z0與z′的大小關(guān)系，其成像可以分為以下兩種情況：

(1) 當(dāng)z0>z′時(shí)，根據(jù)式(20)，有z3<0，則-1級(jí)衍射波為一列發(fā)散的球面波，即在全息圖左側(cè)形成一個(gè)虛像。由于|z3|可以大于、等于或小于z0，從而|V-|可以有大于、等于或小于1共3種不同的情況。即該虛像與原物體相比可能放大、可能縮小、亦可能等大。成放大虛像的情形如圖5(a)所示。

圖5 發(fā)散球面波照明的全息圖(a) z0>z′; (b) z0

(2) 當(dāng)z00，則-1級(jí)衍射波為一列會(huì)聚的球面波。由式(21)，可得V->1，即在全息圖的右側(cè)再現(xiàn)一個(gè)放大的實(shí)像，如圖5(b)所示。

4.2 會(huì)聚球面波作為照明光波

設(shè)照明光波為中心在(0,0,z′)的會(huì)聚球面波，滿足傍軸條件時(shí)，此球面波的波前函數(shù)為

(22)

為方便計(jì)，我們已設(shè)exp(-ikz′)=1。將上式代入式(7)，并整理可將全息圖的衍射場(chǎng)解析為

(23)

(1) 當(dāng)z0>z′時(shí)，有z3<0，+1級(jí)衍射波為一列會(huì)聚的球面波。在全息圖右側(cè)形成一個(gè)實(shí)像。由于|z3|可以大于、等于或小于z0，從而|V+|可以有大于、等于或小于1共3種不同的情況。即該實(shí)像與原物相比可能放大、可能縮小、亦可能等大。成放大實(shí)像的情形如圖6(a)所示。

圖6 會(huì)聚球面波照明的全息圖(a) z0>z′; (b) z0

(2) 當(dāng)z00，則+1級(jí)衍射波為一列發(fā)散球面波。由于V+>1，所以在全息圖左側(cè)再現(xiàn)一個(gè)放大虛像，如圖6(b)所示。

5 結(jié)論

我們采用波前相因子判斷法對(duì)不同照明條件下全息圖的衍射場(chǎng)進(jìn)行了詳細(xì)分析。結(jié)果表明，采用單色平面光波照明全息圖時(shí)，所成虛像和實(shí)像關(guān)于全息圖對(duì)稱，且與原物大小相同。改變?nèi)肷涔獾牟ㄩL(zhǎng)或傳播方向，成像位置會(huì)有相應(yīng)改變。采用單色球面光波照明全息圖時(shí)，所成的兩個(gè)像關(guān)于全息圖不對(duì)稱，且所成像的橫向放大率存在大于、小于和等于1共3種可能性。全息成像的這些特點(diǎn)，在應(yīng)用中具有實(shí)際意義。比如采用不同波長(zhǎng)的光，如紅外光、紫外光甚至X射線記錄的全息圖，均可以用可見光照射而再現(xiàn)物光波前；采用球面波照明全息圖時(shí)可以將所成像進(jìn)行放大或縮??；通過調(diào)整相應(yīng)參量，可以實(shí)現(xiàn)成像位置的調(diào)整，等等。