利用改進(jìn)的邁克耳孫干涉儀測(cè)量空氣折射率

秦 珠 廖 怡 戴海濤 王立英

(天津大學(xué)理學(xué)院物理系，天津 300350)

0 引言

1881年，美國(guó)物理學(xué)家邁克耳孫利用分振幅干涉原理研制成了精密的光學(xué)測(cè)量?jī)x器——邁克耳孫干涉儀。隨后，邁克耳孫和莫雷利用邁克耳孫干涉儀測(cè)量?jī)纱怪惫獾墓馑俨?，證明了光速在不同慣性系和不同方向上都是相同的，由此否定了“以太”的存在，解決了當(dāng)時(shí)關(guān)于“以太”的爭(zhēng)論，并確定光速為定值，為愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)相對(duì)論提供了實(shí)驗(yàn)依據(jù)，并由此撼動(dòng)了經(jīng)典物理學(xué)基礎(chǔ)，成為近代物理學(xué)的一個(gè)發(fā)端，在物理學(xué)的發(fā)展史中起了重要作用。直到現(xiàn)在，邁克耳孫干涉儀的基本結(jié)構(gòu)仍然是許多現(xiàn)代干涉儀的基礎(chǔ)[1-5]，其中利用邁克耳孫干涉儀測(cè)量空氣折射率就是它的一個(gè)重要應(yīng)用，在科學(xué)研究和工程測(cè)量中空氣折射率的精確測(cè)量具有重大意義,但是由于測(cè)量時(shí)外界環(huán)境無(wú)法嚴(yán)格固定，而利用傳統(tǒng)的邁克耳孫干涉儀測(cè)量空氣折射率的實(shí)驗(yàn)裝置又由于氣室較小導(dǎo)致在充放氣過(guò)程中瓶?jī)?nèi)氣壓變化不夠穩(wěn)定，測(cè)量誤差大，所以在高精度的激光干涉測(cè)量中，空氣折射率的測(cè)量精度一直起著瓶頸作用，因此本實(shí)驗(yàn)中利用改進(jìn)的邁克耳孫干涉儀探究空氣壓強(qiáng)對(duì)空氣折射率的影響將具有很好的實(shí)踐意義。

利用邁克耳孫干涉儀測(cè)量空氣折射率的基本原理[6-8]是在邁克耳孫干涉儀一支測(cè)量光路中加一個(gè)透明的密閉玻璃氣室，當(dāng)氣室內(nèi)的空氣壓強(qiáng)發(fā)生變化時(shí)，邁克耳孫干涉儀可以測(cè)量干涉條紋“吞吐”數(shù)，從而可以計(jì)算不同氣壓下的空氣折射率。但是傳統(tǒng)的氣室尺寸很小(一般長(zhǎng)度約100mm左右)，而較小體積的氣室造成測(cè)量過(guò)程中存在很大缺陷，如放氣過(guò)程中氣室中壓強(qiáng)變化較快，導(dǎo)致干涉條紋變化太快且不穩(wěn)定，氣壓表顯示氣壓值與氣室內(nèi)真實(shí)壓強(qiáng)存在較大偏差，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)測(cè)量到的壓強(qiáng)差與觀(guān)測(cè)到的條紋變化數(shù)不匹配，進(jìn)而造成測(cè)量數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，最終影響空氣折射率的測(cè)量精度。為了改善這些缺陷，本實(shí)驗(yàn)中要將玻璃氣室改造放大，但又考慮到直接在一支光路中加入改造放大的矩形玻璃氣室存在光路過(guò)長(zhǎng)等很多弊端，所以我們將光路中的玻璃氣室通過(guò)一根細(xì)軟管與一個(gè)大體積氣瓶相連通(見(jiàn)圖1插圖所示)，這樣既不影響實(shí)際光路長(zhǎng)度，又可以在連接的大氣瓶端控制和檢測(cè)玻璃氣室內(nèi)的氣壓，這樣改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)裝置，既在很大程度上增大了總氣室體積，又控制了光程不至于過(guò)長(zhǎng)，通過(guò)在大氣瓶端改變氣室壓強(qiáng)，記錄干涉條紋“吞吐”變化數(shù)，并利用Matlab和ORIGIN軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合分析和處理，極大地提高了利用邁克耳孫干涉法測(cè)量空氣折射率的實(shí)驗(yàn)精度。

1 實(shí)驗(yàn)原理

實(shí)驗(yàn)裝置及光路如圖1所示，He-Ne激光器輸出功率1.5mW，輸出激光真空波長(zhǎng)632.8nm，激光束經(jīng)平面鏡反射，再經(jīng)擴(kuò)束鏡后形成點(diǎn)光源，進(jìn)入分束器。分束器是一個(gè)表面鍍有半透膜的平行平面玻璃板，它與相互垂直的動(dòng)鏡M1和定鏡M2兩個(gè)反射鏡各成45°角，使到達(dá)分束器鍍膜面的光束一半反射一半透射(被反射的光束經(jīng)平面鏡后作為物光，另一透過(guò)光經(jīng)平面鏡反射作為參考光)，反射光和透射光束分別投向M1和M2，又分別被M1和M2反射返回分束器會(huì)合，即物光和參考光疊加發(fā)生干涉，干涉圖樣成像到CCD攝像頭接收面，再經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)軟件運(yùn)算處理后顯示在顯示器上。為了測(cè)量空氣折射率，我們?cè)谝恢Ч饴分屑尤胛覀兏脑旌蟮牟ＡТ髿馐遥硗?，在與光路中的玻璃氣室連通的大氣瓶端安置了擴(kuò)散硅壓力傳感器和電流型集成溫度傳感器來(lái)即時(shí)測(cè)量氣室內(nèi)空氣的壓強(qiáng)和監(jiān)測(cè)測(cè)量過(guò)程中氣室內(nèi)溫度以確保測(cè)量過(guò)程中的溫度基本保持恒定(如圖1插圖所示)，提高了實(shí)驗(yàn)的精準(zhǔn)度。

如果氣室內(nèi)空氣的壓強(qiáng)改變了Δp，相應(yīng)折射率改變?chǔ)，則上述干涉光路將增加光程差δ，從而引起N個(gè)干涉環(huán)的變化。設(shè)氣室內(nèi)空氣柱的長(zhǎng)度為l，則有

δ=2Δnl=Nλ

(1)

如果先把氣室內(nèi)抽成真空(氣室內(nèi)壓強(qiáng)接近于零，折射率n=1)，再向氣室內(nèi)緩慢充氣，同時(shí)數(shù)出干涉環(huán)變化數(shù)N，由公式(1)可計(jì)算出不同壓強(qiáng)下折射率的變化值Δn，則相應(yīng)壓強(qiáng)下的空氣折射率為n=1+Δn。

本實(shí)驗(yàn)中不抽真空，而是采取打氣的方法增加氣室內(nèi)的粒子(分子和原子)數(shù)量，根據(jù)氣體折射率的改變量與單位體積內(nèi)粒子個(gè)數(shù)的改變量成正比的規(guī)律求出相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的空氣折射率n。對(duì)有確定成分的干燥空氣來(lái)說(shuō)，單位體積內(nèi)的粒子數(shù)與密度ρ成正比，于是有

(2)

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置圖(插圖為改進(jìn)的大氣室，包括傳統(tǒng)的玻璃氣室及與之相連通的大氣瓶裝置)

式中，ρ0是空氣在熱力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)(T0=273.15K，p0=101325Pa)下的密度；n0是在相應(yīng)狀態(tài)下的折射率；n和ρ是對(duì)應(yīng)于任意溫度T和壓強(qiáng)p下的折射率和密度。

由理想氣體的狀態(tài)方程，有

(3)

如果實(shí)驗(yàn)時(shí)溫度T不變，對(duì)上式求壓強(qiáng)p的變化所引起的折射率n的變化，則

(4)

考慮到T=T0(1+αt)(其中α是相對(duì)壓力系數(shù)，等于1/273.15=3.661×10-3℃-1；t是攝氏室溫，即室溫)，代入式(4)有

(5)

將式(1)代入式(5)得

(6)

其中，p0為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓；α為相對(duì)壓力系數(shù)；t為室溫；λ為激光波長(zhǎng)；l為氣室長(zhǎng)度；N為條紋移動(dòng)數(shù)目；Δp為氣室的壓強(qiáng)改變量。

由式(6)可知，利用我們改進(jìn)的試驗(yàn)裝置，通過(guò)向氣室內(nèi)打氣再緩慢放氣的方法，放氣過(guò)程中記錄壓強(qiáng)變化值Δp與對(duì)應(yīng)的干涉環(huán)變化數(shù)N，即可求得標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的空氣折射率n0。

2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

按照實(shí)驗(yàn)裝置圖1在光學(xué)平臺(tái)上組裝搭建邁克耳孫干涉光路，在加入擴(kuò)束鏡和玻璃氣室前，先調(diào)節(jié)物光和參考光的光程大致相同，調(diào)節(jié)激光束使其與其他光學(xué)元件的幾何中心等高，再使物光和參考光兩光束通過(guò)分束器后匯合為一路，然后在圖示位置加入擴(kuò)束鏡，將連接大氣瓶、壓力傳感器和溫度傳感器的玻璃氣室裝置放入光路中，調(diào)節(jié)氣室位置，盡量使光束從氣室端面的中心部位通過(guò)，避免發(fā)生明顯的折射。調(diào)節(jié)CCD鏡頭位置使相干光束直接進(jìn)入CCD鏡頭，最終干涉條紋成像于計(jì)算機(jī)顯示器，進(jìn)一步微調(diào)光路并實(shí)時(shí)觀(guān)看干涉條紋情況，使其成像清晰(圖2為顯示器采集到的干涉環(huán)圖樣)。

圖2 利用改進(jìn)的邁克耳孫干涉儀采集到的干涉圖樣

關(guān)閉放氣閥門(mén)，手捏打氣球開(kāi)始緩慢向氣室內(nèi)充氣，避免打氣過(guò)快造成氣室內(nèi)溫度發(fā)生明顯變化，待氣室內(nèi)壓強(qiáng)達(dá)到所需值并穩(wěn)定后，此時(shí)觀(guān)察到的環(huán)形干涉圖樣也保持穩(wěn)定狀態(tài)，稍微松動(dòng)放氣閥，開(kāi)始慢慢放氣，同時(shí)記錄氣室內(nèi)壓強(qiáng)的變化量(Δp)和干涉條紋的吞吐數(shù)量(N)，根據(jù)式(6)即可算出標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下空氣折射率n0。

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及結(jié)果分析

標(biāo)準(zhǔn)大氣壓p0=1.01325×105Pa，玻璃氣室長(zhǎng)度l=223.22mm，激光波長(zhǎng)λ=632.8nm。

我們將不同壓強(qiáng)差下測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄在Excel表格中，然后利用Matlab軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到了不同壓強(qiáng)差下對(duì)應(yīng)的空氣折射率n0，如表1所示。

我們知道，標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣折射率的理論值是n標(biāo)準(zhǔn)=1.000277957，從我們測(cè)量的數(shù)據(jù)結(jié)果來(lái)看，當(dāng)條紋吞吐數(shù)N大于6條時(shí)，對(duì)應(yīng)的空氣折射率n0的測(cè)量結(jié)果非常接近理論值，比較理想；而對(duì)于條紋變化數(shù)為6及以下時(shí)，測(cè)量得到的空氣折射率n0較標(biāo)準(zhǔn)值有較大偏差，考慮這是由于此時(shí)測(cè)量的壓強(qiáng)差較小，條紋變化也不明顯，最終導(dǎo)致測(cè)量誤差較大，而利用傳統(tǒng)的小氣室測(cè)量得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果往往都是如此。我們改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)裝置就克服了這一缺陷，我們利用擴(kuò)散硅型壓力傳感器測(cè)量氣室內(nèi)壓強(qiáng)，測(cè)量數(shù)據(jù)更加靈敏精確，另外，擴(kuò)大后的氣室在放氣過(guò)程中氣壓變化過(guò)程更加穩(wěn)定，由表1數(shù)據(jù)可知，測(cè)得的壓強(qiáng)數(shù)據(jù)變化始終非常均勻，并且壓強(qiáng)的變化范圍更大，這也意味所引起的條紋變化數(shù)也更多，這是傳統(tǒng)小氣室裝置所達(dá)不到的，從表1中測(cè)得的空氣折射率的結(jié)果及其與理論值的百分差來(lái)看，改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)裝置確實(shí)極大地提高了空氣折射率的測(cè)量精度。

表1 邁克耳孫干涉儀法測(cè)量空氣的折射率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

進(jìn)一步，我們選取干涉條紋變化數(shù)N大于6個(gè)條紋的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用ORIGIN軟件繪制了氣室壓強(qiáng)差Δp與條紋變化數(shù)N的關(guān)系曲線(xiàn)(如圖3所示)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到了氣室內(nèi)壓強(qiáng)差隨條紋變化數(shù)的線(xiàn)性擬合直線(xiàn)，由圖3可知，我們測(cè)量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與擬合數(shù)據(jù)非常吻合，氣室壓強(qiáng)差Δp與條紋變化數(shù)N滿(mǎn)足良好的線(xiàn)性關(guān)系，擬合直線(xiàn)斜率Δp/N=k=-557.939，斜率標(biāo)準(zhǔn)差4.31518,代入(6)式有

(7)

折射率n0的不確定度為

(8)

測(cè)量過(guò)程中氣室溫度始終保持在20.2±0.2℃，根據(jù)式(7)和式(8)計(jì)算得空氣折射率為1.0002765±0.0000021，該測(cè)量結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)理論值1.000277957之間的百分差僅為0.00015%。

圖3 氣室壓強(qiáng)差Δp與條紋吞吐數(shù)N的關(guān)系曲線(xiàn)

4 結(jié)語(yǔ)

我們對(duì)傳統(tǒng)的利用邁克耳孫干涉儀測(cè)量空氣折射率實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行了改進(jìn)，在保證光程不會(huì)太大的基礎(chǔ)上顯著增大了氣室體積，測(cè)量時(shí)在與光路中的玻璃氣室相連通的大氣瓶端使用放氣閥緩慢放氣，使得氣壓和干涉條紋的變化緩慢且穩(wěn)定，并使用壓力傳感器和溫度傳感器測(cè)量氣室內(nèi)壓強(qiáng)的變化情況，較傳統(tǒng)裝置中利用壓力表測(cè)量壓強(qiáng)更精確，并且能夠?qū)崟r(shí)檢測(cè)測(cè)量周?chē)h(huán)境溫度的影響，改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)裝置既使得在壓強(qiáng)差測(cè)量更加靈敏和精確，壓強(qiáng)能夠在較大的范圍內(nèi)緩慢穩(wěn)定地變化，也能產(chǎn)生較大的條紋變化數(shù)，較之傳統(tǒng)的短小氣室(氣壓變化過(guò)快，測(cè)量不準(zhǔn)確等)大大提高了實(shí)驗(yàn)的測(cè)量精度。