一個(gè)繩桿復(fù)合擺問題的簡(jiǎn)單研究

朱經(jīng)亞

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430072)

輕繩、均質(zhì)剛體桿、單擺、復(fù)擺是中學(xué)物理和大學(xué)普通物理中非常常見的模型，對(duì)于參加全國(guó)中學(xué)生物理奧林匹克競(jìng)賽復(fù)賽和決賽的同學(xué)更是司空見慣。近年來競(jìng)賽題目多由大學(xué)教師命題，題目多與大學(xué)教師科研題目相結(jié)合，模型呈現(xiàn)出復(fù)雜化的趨勢(shì)。2016年決賽[1]的題目2比較另類，直接把常見的單擺中質(zhì)點(diǎn)改為勻質(zhì)剛體桿，模型可謂非常簡(jiǎn)單，并且在現(xiàn)實(shí)生活中用一條繩子和一根筷子就可做簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)。該問題對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生勤于思考的習(xí)慣、靈活運(yùn)用物理知識(shí)解決問題的能力具有重要意義。下文第1部分我們首先引用和描述該題目；然后第2部分簡(jiǎn)單闡述該題目的多種解題方法，并用守恒定律、牛頓定律的方法簡(jiǎn)要給出結(jié)果；第3部分對(duì)繩和桿近似共線的情況做重點(diǎn)分析，并給出數(shù)值模擬結(jié)果；第4部分小結(jié)。

1 題目描述[1]

如圖1(a)，AB為一根勻質(zhì)細(xì)桿，質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l2；桿上端B通過一不可伸長(zhǎng)的軟輕繩懸掛到固定點(diǎn)O，繩長(zhǎng)為l1。開始時(shí)繩和桿均靜止下垂。此后所有運(yùn)動(dòng)均在同一豎直面內(nèi)進(jìn)行。

圖1 題目原圖[1]，包括圖1(a)和圖1(b)

(1) 現(xiàn)對(duì)桿上的D點(diǎn)沿水平方向施加一瞬時(shí)沖量I，若在施加沖量后的瞬間，B點(diǎn)繞懸點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，求D點(diǎn)到B點(diǎn)的距離x和B點(diǎn)繞懸點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的初始角速度ω0。

(2) 設(shè)在某時(shí)刻，繩和桿與豎直方向的夾角分別為θ1和θ2(如圖1(b)所示)，繩繞固定點(diǎn)O和桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度分別為ω1和ω2，求繩繞固定點(diǎn)O和桿繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度α1和α2。

2 解題方法和結(jié)果簡(jiǎn)述

題目第一問較為簡(jiǎn)單，這里直接給出結(jié)果

下面主要看第二問。解決一個(gè)經(jīng)典力學(xué)問題，一般可以采用牛頓定律或轉(zhuǎn)動(dòng)定理、三大守恒定律或定理、拉格朗日力學(xué)、哈密頓力學(xué)、哈密頓原理等多種方法[2]，下面我們就對(duì)用這些方法解決該問題做簡(jiǎn)要的闡述。

(1) 牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定理方法

參考系選擇可以采用慣性參考系，也可以采用非慣性參考系。對(duì)于慣性參考系，可以采用水平豎直方向的坐標(biāo)系，也可以采用沿桿方向的坐標(biāo)系，或者沿繩方向的坐標(biāo)系。其中沿繩方向的坐標(biāo)系相對(duì)較為簡(jiǎn)便，首先進(jìn)行受力分析，由牛頓定律、轉(zhuǎn)動(dòng)定理列出3個(gè)方程，然后由其中兩個(gè)方程解得繩中的張力T和桿的角加速度α2，再代入第三個(gè)方程解得繩的角加速度α1。對(duì)于非慣性參考系，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立隨B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系，引入慣性力來解決問題。

(2) 機(jī)械能守恒定律和角動(dòng)量定理方法

該系統(tǒng)沒有摩擦，所以機(jī)械能守恒。由于只有桿有質(zhì)量，故機(jī)械能應(yīng)包括桿的平動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，以及桿和地球之間的重力勢(shì)能。O點(diǎn)固定，以O(shè)點(diǎn)為參考點(diǎn)，繩的張力力矩始終為零，只有重力有沖量矩，可利用角動(dòng)量定理。因題目要求的是角加速度，所以機(jī)械能、角動(dòng)量都需要對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，從而可列出兩個(gè)方程，解得兩個(gè)角加速度。守恒定律方法不需考慮內(nèi)力，較之牛頓定律方法簡(jiǎn)單。

(3) 拉格朗日力學(xué)方法

采用拉格朗日力學(xué)的一般方法，該系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，可以先選定兩個(gè)廣義坐標(biāo)，寫出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，然后求一階和二階導(dǎo)數(shù)，利用拉格朗日方程可列出兩個(gè)方程，從而求得兩個(gè)角加速度。拉格朗日力學(xué)的一般方法較牛頓定律方法分析過程簡(jiǎn)單，但數(shù)學(xué)計(jì)算過程比守恒定律方法復(fù)雜一些。對(duì)于這個(gè)問題，因?yàn)橄到y(tǒng)為完整、保守、穩(wěn)定系統(tǒng)，且拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間t，所以系統(tǒng)的廣義能量，也即系統(tǒng)的機(jī)械能為運(yùn)動(dòng)積分/守恒量[3,4]；再利用一個(gè)拉格朗日方程，即可求出兩個(gè)角加速度。這個(gè)拉格朗日力學(xué)的特殊方法最后還是歸結(jié)到運(yùn)用守恒定律。

(4) 哈密頓力學(xué)方法

按照哈密頓力學(xué)的一般方法，可以先選定兩個(gè)廣義坐標(biāo)，寫出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，進(jìn)而寫出哈密頓函數(shù)，哈密頓函數(shù)為關(guān)于兩個(gè)廣義坐標(biāo)、兩個(gè)廣義動(dòng)量的函數(shù)。根據(jù)哈密頓正則方程，可得到4個(gè)一階微分方程組，從而可解得兩個(gè)偏轉(zhuǎn)角、兩個(gè)角速度的表達(dá)式，對(duì)角速度求一階導(dǎo)數(shù)即可得到角加速度。哈密頓力學(xué)方法所需求解方程個(gè)數(shù)比拉格朗日方法多一倍，一般情況下更為復(fù)雜。

(5) 哈密頓原理

哈密頓原理是經(jīng)典力學(xué)最基本原理之一，在保守系統(tǒng)中可由哈密頓原理推導(dǎo)出拉格朗日方程、哈密頓正則方程、牛頓第二定律，所以原則上也可從哈密頓原理出發(fā)來解決這個(gè)問題。但實(shí)際上，從哈密頓原理出發(fā)最終還要?dú)w結(jié)到以上幾種方法。

通過對(duì)以上多種方法的分析，可看到，最簡(jiǎn)便直接的方法是機(jī)械能守恒定律和角動(dòng)量定理方法，下面簡(jiǎn)要給出這個(gè)守恒定律方法的過程。

桿的總角動(dòng)量為

(3)

由角動(dòng)量定理

(4)

桿的總機(jī)械能為

(5)

由機(jī)械能守恒知

(6)

由式(3)～式(6)得到

聯(lián)立式(7)、式(8)可解得

(9)

與守恒定律方法相比，牛頓定律方法需要考慮內(nèi)力，過程較為繁瑣，且方向等問題較易出錯(cuò)，在此我們也簡(jiǎn)單列出在慣性參考系沿繩坐標(biāo)系中用牛頓定律的方法作為對(duì)比。在O、B、A3點(diǎn)所在的豎直平面內(nèi)，以O(shè)為原點(diǎn)、沿繩斜向上的射線為y軸、垂直于繩斜向右的射線為x軸，建立平面坐標(biāo)系。桿的質(zhì)心C的加速度(aCx,aCy)滿足質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

(10)

式中，T是繩的張力的大小。同時(shí)，桿在繩張力T相對(duì)于桿的質(zhì)心的力矩作用下繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得

(11)

由繩的幾何關(guān)系得B點(diǎn)的加速度為

(12)

由桿的幾何關(guān)系還可得B點(diǎn)的加速度為

(13)

由式(10)～式(13)，消去B、C點(diǎn)的加速度，可得3個(gè)方程，聯(lián)立3個(gè)方程即可解得兩個(gè)角加速度α1和α2和繩中張力T。

3 繩和桿近似共線情況分析

由題目結(jié)果式(9)可看出，一般情況下繩和桿的擺動(dòng)應(yīng)該是不規(guī)則的，這一點(diǎn)也可做簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。但是通過不同情形多次測(cè)試，會(huì)發(fā)現(xiàn)在某些條件下繩和桿的擺動(dòng)會(huì)呈現(xiàn)出規(guī)律性，比如繩和桿近似共線同步擺動(dòng)。鑒于此，可再對(duì)題目追加一問：定性分析繩和桿在運(yùn)動(dòng)中近似共線的條件，并定量求繩和桿近似共線情況下在不太長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)繩、桿與豎直方向的夾角θ(t)。

對(duì)于這一個(gè)問題，首先可以想象，假設(shè)桿無限短，則系統(tǒng)可近似為單擺；假設(shè)繩和桿一直共線，則桿上的每一小段都可看做單擺的擺子。由單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律經(jīng)驗(yàn)，可以判斷，繩和桿擺角幅度應(yīng)該比較小，桿上每一點(diǎn)也即繩和桿的初始角速度應(yīng)該相等，桿相對(duì)于繩應(yīng)該較短。

若微小瞬時(shí)沖量I施加后繩和桿在運(yùn)動(dòng)中近似共線，則可考慮做近似處理，視桿和繩嚴(yán)格共線：則二者以相同角度擺動(dòng)，繩上各點(diǎn)之間、以及與桿上各點(diǎn)之間相對(duì)距離不發(fā)生改變，即在運(yùn)動(dòng)過程中繩與桿構(gòu)成一個(gè)剛體，由此問題得以簡(jiǎn)化。在該剛體的質(zhì)心C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，剛體系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有

(14)

式中，θm是繩與豎直方向的最大夾角。由題意，初始沖量I微小，則θm應(yīng)很小，有

(15)

該剛體運(yùn)動(dòng)過程中，僅重力對(duì)其產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩M，且繩與豎直方向的夾角θ≤θm，故θ應(yīng)很小

(16)

由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理得

(17)

由式(16)、(17)式得

(18)

式中ω是一個(gè)常量

(19)

由式(18)、(19)知，剛體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，解為

θ=θmcos(ωt+φ0)

(20)

其振動(dòng)角頻率ω由式(19)確定；由式(14)～式(17)和初始條件得，振幅θm和初相位φ0分別為

(21)

至此，題目得以解決。但是我們判斷的繩和桿近似共線的條件是否正確，以及假設(shè)繩和桿嚴(yán)格共線的近似結(jié)果是否與實(shí)際相符，還存在一定疑慮。為了檢驗(yàn)以上的判斷和近似處理方法，可以采取實(shí)驗(yàn)定性檢驗(yàn)和理論模擬[5-7]檢驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)所需器材非常簡(jiǎn)單，一根繩子和一根筷子就可以做定性判斷。通過實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了我們判斷的正確性。對(duì)于理論模擬，我們考慮了表1中所列5種情況，利用公式(9)的兩個(gè)二階微分方程，用Mathematica進(jìn)行數(shù)值模擬、繪圖，相當(dāng)于理想的真實(shí)運(yùn)動(dòng)情況。作為對(duì)比，還給出了假設(shè)嚴(yán)格共線的近似計(jì)算結(jié)果，在表1中還利用式(1)、(2)、(19)、(21)給出了沖擊點(diǎn)位置、初始角速度、周期、最大擺角。模擬結(jié)果展示在圖2～圖12中，其中黑色曲線為假設(shè)繩和桿嚴(yán)格共線的近似結(jié)果，為標(biāo)準(zhǔn)的正弦/余弦曲線；灰色曲線反映了繩與近似結(jié)果的偏差；虛曲線反映了桿和繩的偏差。

由圖2～圖4可看出，在10s(約9個(gè)周期)內(nèi)P1情形下繩和桿的擺角、角速度差別較小，并且與假設(shè)嚴(yán)格共線情形下得到的結(jié)果符合程度很高；角加速度雖然與假設(shè)嚴(yán)格共線擺動(dòng)的近似結(jié)果也近似相等，但繩和桿之間可能會(huì)有相對(duì)較大的差別。這是由于與剛體桿復(fù)擺類似，繩、桿的內(nèi)力及相互作用力約束了繩、桿近似共線，近似做簡(jiǎn)諧擺動(dòng)；只是繩的約束效果弱于剛體桿，自由度大一些，所以繩和桿的角加速度可能會(huì)有較大的差別。

表1 用Mathematica進(jìn)行數(shù)值模擬所考慮的5種情況，選定x使繩和桿的初始角速度相同，并假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線計(jì)算出初始角速度、最大擺角、擺動(dòng)周期

圖2 P1情形下的繩、桿的擺角變化關(guān)系圖橫軸為時(shí)間，長(zhǎng)度為10s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的擺角θ(t)，灰色曲線為繩與近似結(jié)果的擺角差θ1(t)-θ(t)，虛曲線為桿與繩的擺角差θ2(t)-θ1(t)

圖3 P1情形下的繩、桿的角速度變化關(guān)系圖橫軸為時(shí)間，長(zhǎng)度為10s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的角速度灰色曲線為繩與近似結(jié)果的角速度差曲線為桿與繩的角速度差

圖4 P1情形下的繩、桿的角加速度變化關(guān)系圖橫軸為時(shí)間，長(zhǎng)度為10s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的角加速度灰色曲線為繩與近似結(jié)果的角加速度差虛曲線為桿與繩的角加速度差

由圖4～圖6可以看出，桿相對(duì)于繩越短，它們的角加速度差別越小。這是由于桿相對(duì)于繩越短，該繩桿復(fù)合擺越接近于單擺，繩和桿的角加速度也越接近于單擺的角加速度，所以繩和桿的角加速度越接近。實(shí)際上，假設(shè)繩、桿嚴(yán)格共線統(tǒng)一描述了單擺和復(fù)擺的情況，只是當(dāng)桿相對(duì)于繩較長(zhǎng)時(shí)所需繩和桿之間的約束力就相對(duì)較大一些，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理知它們的角加速度差別也就越大。

圖5 P2情形下的繩、桿的角加速度變化關(guān)系圖橫軸為時(shí)間，長(zhǎng)度為10s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的角加速度灰色曲線為繩與近似結(jié)果的角加速度差虛曲線為桿與繩的角加速度差

圖6 P3情形下的繩、桿的角加速度變化關(guān)系圖橫軸為時(shí)間，長(zhǎng)度為10s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的角加速度灰色曲線為繩與近似結(jié)果的角加速度差虛曲線為桿與繩的角加速度差

圖7 P4情形下的繩、桿的擺角變化關(guān)系圖橫軸為時(shí)間，長(zhǎng)度為40s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的擺角θ(t)，灰色曲線為繩與近似結(jié)果的擺角差θ1(t)-θ(t)，虛曲線為桿與繩的擺角差θ2(t)-θ1(t)

圖8 P1情形下的繩、桿的擺角變化關(guān)系圖橫軸為時(shí)間，長(zhǎng)度為40s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的擺角θ(t)，灰色曲線為繩與近似結(jié)果的擺角差θ1(t)-θ(t)，虛曲線為桿與繩的擺角差θ2(t)-θ1(t)

圖9 P2情形下的繩、桿的擺角變化關(guān)系圖橫軸為時(shí)間，長(zhǎng)度為40s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的擺角θ(t)，灰色曲線為繩與近似結(jié)果的擺角差θ1(t)-θ(t)，虛曲線為桿與繩的擺角差θ2(t)-θ1(t)

圖7～圖9反映了較長(zhǎng)時(shí)間(幾十個(gè)周期)內(nèi)繩、桿擺角隨時(shí)間的變化關(guān)系。由此可以看出，較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)桿和繩仍能保持近似共線，但假設(shè)嚴(yán)格共線得到的擺角變化結(jié)果卻和實(shí)際情況有所偏差。桿相對(duì)于繩越短，偏差越不明顯。這是由于繩桿復(fù)合擺實(shí)際自由度為2，假設(shè)嚴(yán)格共線我們只考慮了桿繞固定點(diǎn)擺動(dòng)一個(gè)自由度，實(shí)際上還有桿在每時(shí)刻的共線位形附近做微振動(dòng)這個(gè)自由度。由機(jī)械能守恒知桿的微振動(dòng)不改變最大擺角，但使得擺動(dòng)平均角速率減慢，所以相對(duì)于嚴(yán)格共線情況擺動(dòng)周期偏大，隨著時(shí)間的積累將會(huì)出現(xiàn)較大偏差。桿相對(duì)于繩越長(zhǎng)，桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，需要考慮的微擾效應(yīng)也就越大，該微擾效應(yīng)在改變角加速度和角速度上較明顯，擺角上的偏差則在較短時(shí)間(幾個(gè)周期)內(nèi)相對(duì)不太明顯。圖10～圖12為桿長(zhǎng)遠(yuǎn)大于繩長(zhǎng)的情況，很好地說明了這個(gè)問題。

圖10 P5情形下的繩、桿的擺角變化關(guān)系圖橫軸為時(shí)間，長(zhǎng)度為60s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的擺角θ(t)，灰色曲線為繩與近似結(jié)果的擺角差θ1(t)-θ(t)，虛曲線為桿與繩的擺角差θ2(t)-θ1(t)

圖11 P5情形下的繩、桿的角速度變化關(guān)系圖橫軸為時(shí)間，長(zhǎng)度為60s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的角速度灰色曲線為繩與近似結(jié)果的角速度差曲線為桿與繩的角速度差

圖12 P5情形下的繩、桿的角加速度變化關(guān)系圖橫軸為時(shí)間，長(zhǎng)度為60s。其中黑色曲線為假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線得到的角加速度灰色曲線為繩與近似結(jié)果的角加速度差虛曲線為桿與繩的角加速度差

4 總結(jié)

本文從一道全國(guó)中學(xué)生物理奧林匹克競(jìng)賽題目出發(fā)，研究了繩桿復(fù)合擺的問題。首先引用題目，然后簡(jiǎn)要闡述各種解法，包括牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定理、守恒定律和定理、拉格朗日力學(xué)、哈密頓力學(xué)、哈密頓原理等。接著對(duì)題目進(jìn)行拓展，重點(diǎn)分析了繩桿近似共線的問題，包括近似共線的依賴條件、假設(shè)嚴(yán)格共線的近似處理方法及其與實(shí)際情況的偏差等，并對(duì)該問題進(jìn)行了詳細(xì)的數(shù)值模擬，以及通過繪圖形象地展示了我們的結(jié)論。

通過一系列分析和驗(yàn)證，得出在繩桿復(fù)合擺系統(tǒng)中，繩和桿近似共線同步擺動(dòng)的條件為：

(1) 沖量作用點(diǎn)一定，使得繩和桿初始角速度相同；

(2) 沖量較小，使得偏轉(zhuǎn)角度較小，實(shí)際上偏轉(zhuǎn)幅度小于0.5rad時(shí)線性都比較明顯；

(3) 桿長(zhǎng)小于繩長(zhǎng)。

滿足這3個(gè)條件時(shí)，繩桿近似共線，并且在短時(shí)間內(nèi)假設(shè)繩桿嚴(yán)格共線是一個(gè)很好的近似。

值得注意的是，在以上條件下繩和桿的擺角、角速度都近似相等，并且?guī)资畟€(gè)周期內(nèi)與假設(shè)嚴(yán)格共線的近似結(jié)果符合較好。角加速度雖然與假設(shè)嚴(yán)格共線的近似結(jié)果也近似相等，但繩和桿之間可能會(huì)有相對(duì)較大的差別。特別是對(duì)于桿相對(duì)于繩較長(zhǎng)的情況，角加速度、乃至角速度的偏差會(huì)較大。在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，為了更精確地描述繩桿復(fù)合擺問題，尤其對(duì)于桿相對(duì)于繩較長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)該考慮桿在共線位形附近的微擾。