基于小波閾值的圖像信號去噪方法研究①

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(安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 安慶 246003)

0 引 言

現(xiàn)實(shí)生活中，人們接觸、采集到的圖像信號很容易受到環(huán)境、采集儀器的干擾，利用相機(jī)拍攝圖像時(shí)，會受到光電子噪聲的干擾；在圖像傳輸過程中，會受到傳輸環(huán)境以及傳輸信道的噪聲影響等[1]。噪聲會減弱信號本身的特征，給信號檢測、特征提取帶來一系列困難。當(dāng)前，對圖像信號去噪，相關(guān)方法有很多。除均值濾波、中值濾波、頻域?yàn)V波[2]等經(jīng)典方法外，基于短時(shí)傅里葉變換[3]、高階累積量[4]和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[5]的去噪方法均得到了廣泛應(yīng)用。眾多去噪方法中，小波閾值去噪能夠在對信號進(jìn)行多尺度觀察的基礎(chǔ)上，較好的區(qū)分噪聲與期望信號，并對噪聲加以抑制，算法復(fù)雜度低，對信號的局部特性損失較小，因此在實(shí)際中得到了廣泛應(yīng)用。

1 小波分析理論模型

19世紀(jì)，法國科學(xué)家傅里葉在解決熱傳導(dǎo)問題時(shí)，總結(jié)得到了傅里葉變換公式：

(1)

傅里葉變換能表征信號頻域特性，但得到的頻域表示不具有時(shí)間分辨力，為此， Gabor在1946年提出加窗傅里葉變換的思想，采用固定窗對傅里葉變換進(jìn)行了改進(jìn)，但窗函數(shù)與ω?zé)o關(guān)，窗函數(shù)給定，信號分析的時(shí)間和頻率分辨力就給定了?，F(xiàn)實(shí)中，往往希望在高頻段的時(shí)間分辨力高一些，低頻段的頻率分辨力高一些?；诖诵枰?，學(xué)者提出了小波變換理論。

小波變換是傅里葉變換、加窗傅里葉變換的一種拓展和延伸，它能夠生成一系列的標(biāo)準(zhǔn)正交基，使信號在該基下的分解具有良好時(shí)頻局部特性。這組基滿足以下“容許”條件[6]：

(2)

滿足上式的ψ(t)稱為基本小波或小波母函數(shù)，該母函數(shù)相當(dāng)于是對加窗傅里葉變換的窗函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)。實(shí)際中利用小波基進(jìn)行信號分析時(shí)，會使用伸縮因子a和平移因子b，來保證小波基函數(shù)對頻域、時(shí)域的遍歷程度。由此，可以得到連續(xù)小波變換的公式：

WTf(a,b)=〈f(t),ψa,b(t)〉=

(3)

式中，小波函數(shù)通過平移因子b，在時(shí)域上橫向移動，而尺度因子a，則保證了參數(shù)在時(shí)間維的收縮或拓展，這也對應(yīng)著頻域的收縮或拓展。

利用小波反變換進(jìn)行信號重構(gòu)的公式為：

(4)

(5)

當(dāng)a0=2,b0=1時(shí)，離散小波基就構(gòu)成了目前使用廣泛地二進(jìn)離散小波變換。

2 小波閾值去噪原理

利用小波變換去噪，本質(zhì)上是要找到期望信號與噪聲在小波域的可分離性。實(shí)際含噪信號中，期望信號的小波系數(shù)，在小波域內(nèi)分布相對集中且幅值較大；但噪聲信號分布在全小波域，即在小波域內(nèi)分布分散且幅值較小。因此，設(shè)定閾值，對小波系數(shù)幅值大于該閾值的信號予以保留，小于該閾值的予以去除，即可有效去除噪聲。其中，去除噪聲主要通過小波系數(shù)置零的方式實(shí)現(xiàn)，小波系數(shù)重新調(diào)整后，再通過小波反變換實(shí)現(xiàn)信號的復(fù)原。由此，可以得出小波去噪的基本過程：

(1) 利用合適的小波基函數(shù)并確定小波分解的具體層數(shù)m，對原始信號f(t)進(jìn)行m層小波分解；

(2)提取各層小波系數(shù)，確定閾值，依據(jù)選取閾值及小波系數(shù)調(diào)整規(guī)則對小波系數(shù)進(jìn)行重新調(diào)整；

(3)用調(diào)整后的小波系數(shù)對信號進(jìn)行重構(gòu)，即完成了小波閾值去噪的過程。

小波閾值去噪過程中，閾值函數(shù)選取及閾值估計(jì)比較關(guān)鍵。目前，小波閾值函數(shù)選取方式有兩種，即硬閾值和軟閾值，兩種閾值可分別表示為[7]：

1)硬閾值：

(6)

2)軟閾值：

(7)

兩種方法各有優(yōu)劣，硬閾值法操作簡單，但會造成在|ω|=T點(diǎn)時(shí)，η(ω)的不連續(xù)，影響信號重構(gòu)質(zhì)量；軟閾值很好解決了重構(gòu)信號不連續(xù)的問題，但|ω|≥T時(shí)，η(ω)與ω之間有恒定的偏差。實(shí)際中，可根據(jù)應(yīng)用場景進(jìn)行靈活選擇。閾值估計(jì)，也就是確定式(6)-(7)中的T值。現(xiàn)階段，閾值選取往往依賴噪聲方差σ和信號長度N，實(shí)際過程中，通過小波變換，也能夠?qū)π盘柕脑肼暦讲钸M(jìn)行很好地估計(jì)。噪聲與期望信號的混合信號中，噪聲主要集中在高頻部分，可以通過一層小波變換進(jìn)行σ的估計(jì)，估計(jì)的大概流程：

①對信號f(t)進(jìn)行小波分解：

(8)

②求取第一層小波分解的能量和，即：

(9)

③由此可得到噪聲方差估計(jì)如下：

(10)

圖1 Lena及其含噪圖像

3 圖像信號去噪模型

圖像信號去噪原理與一維信號一致，但圖像是一維信號的拓展與延伸，利用小波閾值進(jìn)行圖像去噪，首先要將圖像進(jìn)行離散化，然后估計(jì)出圖像中的噪聲電平，才能利用小波閾值進(jìn)行圖像去噪。

(1)圖像灰度離散化：對信號進(jìn)行數(shù)字化處理的第一步是對信號進(jìn)行離散化，對圖像信號來說，往往通過灰度值來對圖像信號進(jìn)行離散化，取圖像中顏色最淺和最深的兩個(gè)值，在這兩值之間用一定的量化的位數(shù)來表征不同的顏色深度，如256位量化，這是把整幅圖像的顏色區(qū)分成256個(gè)量級，每幅像素都對應(yīng)有一個(gè)量級，這樣就用灰度值實(shí)現(xiàn)了圖像信號的離散化。

(2)圖像中的噪聲水平估計(jì)：設(shè)zi表示第i幅圖像對應(yīng)的灰度值，p(zi),i=1,2,...,L，是對應(yīng)的概率直方圖，其中L為對應(yīng)的量化位數(shù)，利用下式求取該直方圖的各階中心矩：

(11)

圖2 圖像信號的db3小波分解結(jié)果

圖3 小波分析工具箱中圖像信號閾值去噪的相關(guān)界面

圖4 小波閾值去噪后的圖像信號

實(shí)際統(tǒng)計(jì)時(shí)，圖像噪聲的方差可通過圖像中某平滑部分的直方圖獲取，即選取某平滑部分圖像，利用式(11)計(jì)算其二階中心矩，即可得到圖像噪聲方差的估計(jì)。

由此，可給出利用小波閾值方法去除圖像噪聲的詳細(xì)流程，即圖像灰度離散化—圖像的小波變換——圖像噪聲方差估計(jì)——閾值求取與設(shè)定——閾值函數(shù)選取——根據(jù)選取閾值調(diào)整小波系數(shù)——圖像信號重構(gòu)。

圖像處理領(lǐng)域常采用去噪后的峰值信噪比(PSNR)衡量去噪算法的去噪效果，設(shè)圖像長度、寬度分別是M和N，灰度級為L，兩指標(biāo)計(jì)算公式為：

(12)

4 圖像信號去噪方法仿真

選用經(jīng)典的Lena及其含噪圖像進(jìn)行去噪效果仿真，原始圖像、含噪信號如圖1。

利用Matlab小波分析工具箱,選用db3小波對圖像進(jìn)行分解與重構(gòu)，分解及重構(gòu)結(jié)果如圖2所示。圖2(a)、(b)兩幅圖像中，左上角都表示原始圖像，左下角都表示重構(gòu)圖像，右下角都表示分解后的圖像。

通過圖2能夠看出，通過db3小波分解，圖像信號能夠被分解到多個(gè)層次，且分解層次越高，圖像信號被分解的越精細(xì)。以圖a為例，分解后的4幅圖像中，左上角的圖像顯示的是原圖像的低頻信息，右下角的圖像顯示的是高頻信息。通過分解圖可見，低頻圖像顯示了原圖的概貌信息，而高品圖像則顯示了原圖的細(xì)節(jié)信息。同時(shí)，通過圖2，還能夠發(fā)現(xiàn)小波分解后，圖像信號還能夠被很好的重構(gòu)，及圖像信號的原始特性在分解過程中并沒有受到破壞。

再利用工具箱對含噪信號進(jìn)行處理，小波分析工具箱進(jìn)行去噪處理的工作界面如圖3所示。從工作界面中，能夠直觀的觀察到灰度直方圖及噪聲水平的估計(jì)過程。

分別利用軟、硬閾值去噪方法進(jìn)行去噪，得到去噪后的圖像如圖4所示。

利用式(12)計(jì)算去噪后的輸出峰值信噪比，得到軟閾值去噪后的峰值信噪比為81.7db，而硬閾值去噪后的峰值信噪比為83.6db。由此看出軟硬閾值去噪均能夠有效減輕圖像受干擾程度，提升圖像質(zhì)量，軟閾值去噪后，圖像會有一定的噪聲殘留，但去噪后圖像較“平滑”，即圖像連續(xù)性得到了很好的保持；硬閾值去噪后噪聲殘留少，但圖像連續(xù)性變差。再利用均值濾波、中值濾波和頻域去噪對含噪圖像進(jìn)行去噪處理，得到圖像處理效果如圖5所示。

計(jì)算各方法去噪后的輸出峰值信噪比，結(jié)果如表1所示。

表1 不同去噪方法下的圖像輸出峰值信噪比

通過圖5和表1，能夠得出以下結(jié)論：

(1)幾種去噪方法均能夠有效的濾除噪聲，獲得較高的輸出峰值信噪比。

(2)小波閾值去噪，能夠獲得較其他去噪方法更好的去噪性能，兩種小波閾值去噪方法中，軟閾值小波去噪很好的保持了圖像的連續(xù)性，但有一定的噪聲殘留；而硬閾值去噪有較高的輸出峰值信噪比，但圖像的連續(xù)性較差。

5 結(jié) 語

小波分析理論可對信號進(jìn)行多層分解，能夠提取信號在各時(shí)、頻維度的能量信息，為混合信號的分離、濾波等提供有效手段。利用小波分析進(jìn)行圖像信號的分解與重構(gòu)，通過設(shè)定閾值的方法，實(shí)現(xiàn)期望信號與噪聲信號的分離，并通過小波系數(shù)置零，實(shí)現(xiàn)圖像信號的去噪。仿真結(jié)果表明，小波閾值去噪方法能很好的濾除噪聲信號，且去噪性能較其他傳統(tǒng)去噪方法具有更好的去噪性能。