基于二次B樣條的有限元法

秦丹丹， 商玉鳳， 黃文竹

(1.空軍航空大學 基礎(chǔ)部， 吉林 長春 130022；2.貴州醫(yī)科大學 生物與工程學院， 貴州 貴陽 550004)

0 引 言

微分方程作為一類重要的數(shù)學模型，被廣泛應用于物理、化學、生命科學和環(huán)境科學等領(lǐng)域。目前，廣大科學工作者已經(jīng)對微分方程做了深入研究，并將微分方程做了系統(tǒng)的分類。若按照未知數(shù)的個數(shù)進行分類，可以分為常微分方程(Ordinary Differential Equation， ODE)和偏微分方程(Partial Differential Equation， PDE)，其中偏微分方程又可以細分為橢圓型、拋物型和雙曲型方程。若按照方程中最高階導數(shù)的階數(shù)進行分類，可以分為一階微分方程和高階微分方程。若微分方程中算子為線性算子，此微分方程為線性微分方程，否則即為非線性微分方程，這里線性微分方程又可以細分為齊次線性和非齊次線性微分方程。大多數(shù)微分方程無法求出精確解，這就要求人們用各種數(shù)值計算方法求取方程的近似解，并分析數(shù)值方法的誤差與收斂階。常用的方法包括差分法、有限元法和有限體積元法等。可以說，微分方程的數(shù)值解法仍然是值得研究的一類問題。

樣條函數(shù)自出現(xiàn)以來就在插值逼近和偏微分方程數(shù)值解方面有廣泛應用。B樣條是樣條函數(shù)的一個重要分支。由于B樣條函數(shù)是對稱單峰值函數(shù)，并且具有光滑性好、緊支集等特點。二次B樣條的光滑性要優(yōu)于Lagrange型二次元。這兩種基函數(shù)對應的剛度矩陣規(guī)模相差懸殊，前者系數(shù)矩陣的階數(shù)遠遠低于后者，而二者的收斂精度卻相同。以B樣條為基函數(shù)的有限元法生成的系數(shù)矩陣仍然能夠保證稀疏性、對稱性和正定性，便于上機實現(xiàn)?；谝陨峡紤]，構(gòu)造了以二次B樣條為基函數(shù)的有限元法。

1 B樣條簡介

文中用到的是等距B樣條函數(shù)。

定義1m階B樣條的卷積定義式[1-3]：

m≥2

其中

B樣條具有很多優(yōu)良性質(zhì)：

1)正定性與緊支集，Sm(x)≥0，支集為[0,m]；

2)分段光滑性，Sm(x)是一個分段m-1次多項式，Sm(x)∈Cm-2(-,)；

4)成立積分遞推式

及代數(shù)遞推式

其中,m=1,2,…。B樣條其他性質(zhì)參見文獻[2]。

按照遞歸定義、積分遞推式和代數(shù)遞推式均可以計算出B樣條的表達式，二次B樣條的解析表達式如下：

2 有限元格式

考慮兩點邊值問題：

i=-2,-1,…,n-1

接下來，我們將前兩個函數(shù)換成[4-5]：

將最后兩個函數(shù)換成線性組合：

由于變換為線性運算，變換前后的兩個空間是等價的。記Uh為以二次B樣條為基函數(shù)的函數(shù)空間。為方便起見，我們?nèi)詫⒒瘮?shù)記為{φi(x)}。接下來，我們考慮的是零邊值問題，即α=β=0。

文中考慮的模型是零邊值問題，所以有限元空間Uh的基函數(shù)為:

令

則兩點邊值問題的有限元格式為[6-9]：

使得

a(uh,vh)=(f,vh), ?vh∈Uh

a(u,v)是對稱正定的雙線性形式，變分形式有唯一解。應用分部積分公式可以得到

其中

求解出ci即可得到近似解uh(x)，從而算出任意點處的函數(shù)值及一階導數(shù)值。系數(shù)ci不像Lagrange型二次元那樣直接就是整數(shù)節(jié)點和半整數(shù)節(jié)點處的函數(shù)值，但經(jīng)過簡單的計算就能夠求出相應的值。由于B樣條具有緊支集

中最多只含有三個非零項。特別地，節(jié)點xi處的函數(shù)值為

uh(xi)=ci-2φi-2(xi)+ci-1φi-1(xi)

3 數(shù)值算例

取a=0，b=1，p=0，f(x)=4π2sin(2πx)，兩點邊值問題的精確解為u(x)=sin(2πx)。應用MATLAB編程得到數(shù)據(jù)見表1。

表1 有限元格式的誤差與收斂階

表1給出了H1半范數(shù)和L2范數(shù)下的誤差，比較發(fā)現(xiàn)誤差不僅是遞減的，而且分別以2階和3階的速度收斂。這說明我們構(gòu)造的二次B樣條有限元格式是有效的。

4 結(jié) 語

構(gòu)造了基于二次B樣條的有限元格式，該方法能夠達到最優(yōu)收斂階。在H1半模和L2模下，收斂精度分別是2階和3階。我們發(fā)現(xiàn)B樣條有限元法與傳統(tǒng)有限元法一樣有較高的收斂階，還具有一些優(yōu)于傳統(tǒng)有限元法的性質(zhì)。

對于兩點邊值問題，作者分析過一至三次B樣條的有限元法和有限體積法[3]。B樣條還可以推廣到多元情形，希望未來能利用B樣條處理一些偏微分方程的數(shù)值計算問題。