從四則運(yùn)算看各種“數(shù)”的由來

張海燕

（作者單位：江蘇省海安市李堡鎮(zhèn)初級中學(xué)）

回顧從自然數(shù)開始，再加上分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無理數(shù)，直到成為實(shí)數(shù)的發(fā)展過程，可以說它很像是許多涓涓細(xì)流匯成一條大河（如圖1）.

自然數(shù)添上分?jǐn)?shù)，再添上負(fù)數(shù)就成了有理數(shù)；有理數(shù)再加進(jìn)無理數(shù)就成為實(shí)數(shù).

那么，為什么在數(shù)的世界里，要從自然數(shù)擴(kuò)大到實(shí)數(shù)呢？細(xì)細(xì)一想，這里有個一貫的原則.比如說，有一個人只知道10以內(nèi)的數(shù)：

1，2，3，…，10.

對這個人來說，即使取其中任意兩個數(shù)相加，他也有可能答不上來.如果是2+3，他知道是5；要是6+7的話，他就只好說“不知道”了.即使他知道10000以內(nèi)的數(shù)也一樣無法解答，因?yàn)?000+7000的答案不在10000以內(nèi).

因此，為了無限制地進(jìn)行“+”運(yùn)算，就必須有無限多的自然數(shù).這樣就產(chǎn)生了所謂無限多的自然數(shù)的整體想法，這就是1，2，3，……

想象有這樣一個自然數(shù)的整體，就可以自由地進(jìn)行“+”運(yùn)算了.這時，自然數(shù)的整體對于“+”來說叫做閉合.由于乘法也是自然數(shù)的相乘，是加法的重復(fù)，因此也能自由地進(jìn)行，也就是說自然數(shù)的整體對于“×”是封閉的.所以在只考慮“+”或“×”的時候，只要自然數(shù)夠用，就沒有必要再考慮新的數(shù).

圖1

可是要考慮“×”的逆運(yùn)算“÷”的時候，自然數(shù)就不再封閉了.因?yàn)槿我馊蓚€自然數(shù)作除法，結(jié)果卻不一定是自然數(shù).例如2÷3的結(jié)果就不是自然數(shù).這時自然數(shù)的范圍就太狹窄了，要想自由地進(jìn)行除法運(yùn)算，就必須增加新的數(shù)，這就是分?jǐn)?shù).在自然數(shù)與分?jǐn)?shù)合起來的更寬廣的數(shù)的范圍內(nèi)，“+”“×”“÷”就可以自由地進(jìn)行運(yùn)算.

然而，想到“+”的逆運(yùn)算“-”的時候，這個范圍又窄了，因?yàn)椴荒苡眯?shù)減去大數(shù).例如2-5，即使寫出這個式子，也得不出答案.

為了讓這個式子也能有答案，就必須想出-3這樣一個新數(shù).也就是說要自由地做“-”運(yùn)算，需要有一種新的數(shù)——負(fù)數(shù).

把數(shù)的范圍擴(kuò)大到正的自然數(shù)、負(fù)的自然數(shù)及分?jǐn)?shù)，即有理數(shù)時，“+”“-”“×”“÷”四則運(yùn)算就可以自由地?zé)o限制地進(jìn)行，換句話說，有理數(shù)對于四則運(yùn)算是閉合的.

當(dāng)數(shù)的世界擴(kuò)展到有理數(shù)時，“+”“-”“×”“÷”的計算雖然能自由地進(jìn)行，但是還不具有連續(xù)性，所以仍然不能表示直線上所有的點(diǎn).填滿這些空缺就需要無理數(shù).有理數(shù)與無理數(shù)合起來就是實(shí)數(shù).有了實(shí)數(shù)就可以表示數(shù)軸上所有的點(diǎn)（也就是同學(xué)們熟悉的實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的關(guān)系）.