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    “實(shí)數(shù)大小比較”有妙招

    2018-12-25 11:02:50蔣根林
    初中生世界·八年級(jí) 2018年12期
    關(guān)鍵詞:立方根平方根算術(shù)

    蔣根林

    數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后,數(shù)的概念范圍擴(kuò)大了,我們已步入實(shí)數(shù)的殿堂.在有理數(shù)范圍內(nèi)可以進(jìn)行數(shù)的大小比較,那么學(xué)習(xí)無理數(shù)以后,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)如何進(jìn)行數(shù)的大小比較呢?下面結(jié)合具體例題給同學(xué)們總結(jié)歸納.

    妙招1:數(shù)形結(jié)合法

    【例1】比較大?。篬-2],-2.

    【解析】我們知道邊長為1的正方形對(duì)角線長為[2],于是先在數(shù)軸上畫出表示[-2]的點(diǎn),如圖:

    由于表示-2的點(diǎn)在表示[-2]的點(diǎn)的左邊,所以-2<[-2].

    【回顧】事實(shí)上,我們還可結(jié)合勾股定理,利用數(shù)軸來比較[-5]、[-7]等的大小.

    妙招2:“回到概念”法

    由于數(shù)學(xué)概念本身有“雙向性”:“正向”與“反向”,所以,在用概念時(shí)就有“正用”和“反用”兩種方法.

    【例2】比較[-3]與[-2]的大小.

    【解析】比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小,可先比較它們的絕對(duì)值,絕對(duì)值大的反而小.由于[-3]=[3],[-2]=[2],3的算術(shù)平方根為[3],2的算術(shù)平方根為[2],因?yàn)?>2,所以[3]>[2],故[-3]<[-2].

    【回顧】我們借助平方根、立方根的意義,對(duì)它們的概念作出分析,從中悟出道理:一個(gè)較大的非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根較大;一個(gè)較大數(shù)的立方根較大.然后加以應(yīng)用,問題獲得解決.

    【例3】比較大小:

    (1)[140]與12;(2)[93]與2.5.

    【解析】(1)因?yàn)閇140]是140的算術(shù)平方根,可反用平方根概念,所以([140])2=140.

    又因?yàn)?22=144>140,所以[140]<12.

    (2)因?yàn)閇93]是9的立方根,所以反用立方根概念,([93])3=9,

    又因?yàn)椋?.5)3=15.625>9,所以[93]<2.5.

    【回顧】這里主要是對(duì)平方根、立方根的概念逆向思考.一個(gè)非負(fù)數(shù)a的平方根為:[±a],反過來,([±a])2=a(a≥0);一個(gè)數(shù)a的立方根為[a3],反過來,([a3])3=a.上面的求解就是反用概念的“平方法”或“立方法”.

    妙招3:估值法

    【例4】比較大?。篬19]+2______[51].

    【解析】由于4<[19]<5,所以6<[19]+2<7,又由于[51]>7,所以[19]+2<[51].

    【回顧】對(duì)于能直接估計(jì)出大小的兩個(gè)平方根的大小比較時(shí),我們應(yīng)該首先考慮用估值法比較兩個(gè)平方根的大小,因?yàn)檫@種大小比較的方法最直接.對(duì)于有些無理數(shù),我們可以綜合平方根或立方根的知識(shí),來一個(gè)兩頭“夾逼”,找出與這些無理數(shù)緊相鄰的兩個(gè)完全平方數(shù),確定這個(gè)無理數(shù)所在的范圍,然后再與其他數(shù)比較大小.

    妙招4:特值法

    【例5】若0

    【解析】因?yàn)?

    【回顧】特值法對(duì)于處理“直接填寫答案”的題型(包括填空、選擇題型)很有效果.對(duì)于解答題或數(shù)學(xué)研究來說,特值法是“以退為進(jìn)”策略的具體化體現(xiàn),通過賦值分析,往往能發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提示解答方向,是一種很有意義的求解策略.

    (作者單位:江蘇省南京市科利華中學(xué))

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