逼近高斯信道容量的M-APSK調(diào)制星座優(yōu)化設(shè)計*

蔣炫佑，魏以民，王 雷，彭 磊

(中國人民解放軍陸軍工程大學(xué) 通信工程學(xué)院，江蘇 南京 210000)

0 引言

當前，為了滿足與日俱增的通信用戶數(shù)量并達到用戶不斷提高的通信質(zhì)量要求，通信技術(shù)飛速發(fā)展。5G標準的實用化指日可待，為適應(yīng)其109bit/s以上的通信速度要求，不難想象接下來高階調(diào)制將逐漸成為主流的調(diào)制方式。而當下眾多的調(diào)制方式中，較為新穎的幅度和相移鍵控(APSK)調(diào)制與傳統(tǒng)調(diào)制方案中應(yīng)用最為廣泛的正交幅度調(diào)制(QAM)比較，具有更低的峰均功率比(PAPR)和更突出的頻譜效率，因此被認為是適應(yīng)于非線性信道的高效魯棒傳輸方案[1-3]。迄今為止，該調(diào)制方式已經(jīng)在標準衛(wèi)星通信系統(tǒng)中加以采用，如第二代衛(wèi)星數(shù)字視頻廣播(DVB-S2)等，但由于其相對較差的誤碼率(BER)性能，在移動通信和地面廣播系統(tǒng)中仍很少考慮APSK[4]。

與此同時，結(jié)合信息論觀點，考慮在功率約束加性高斯白噪聲(AWGN)信道傳輸，如何逼近高斯信道容量仍然是一個具有挑戰(zhàn)性的問題[5]。由于在實際中，有限的信號星座點數(shù)量必然會導(dǎo)致信號偏離最優(yōu)連續(xù)輸入分布，使得絕大多數(shù)調(diào)制方式的星座容量距離高斯信道容量都有一定差距，因此提出了結(jié)合等概率信令與星座整形的有效方法[6-7]。

傳統(tǒng)意義上，為AWGN信道設(shè)計信號星座分布的原則是在平均功率約束條件下最大化信號星座點間的最小歐幾里德距離，以此來改善相應(yīng)調(diào)制方式的誤碼率指標。在一維信號平面中，基于該原則所采用的服從于均勻分布的信號集能夠?qū)崿F(xiàn)最佳誤碼率性能，但是，倘若信號集中的點等概率，則又不能滿足高斯信道容量可實現(xiàn)的設(shè)計前提[3]。因此，在二維信號平面上滿足高斯信道容量可實現(xiàn)的APSK星座設(shè)計吸引了廣泛學(xué)者的注意。如對于等概率均勻分布的一維信號，文獻[3]中提出了能夠逼近高斯信道容量的星座構(gòu)建方案；而在文獻[4]中提出了一種特殊的具有灰度映射的APSK星座，具有較大的整形增益。

值得關(guān)注的是，近年來MERIC H提出了一種利用Box-Muller變換[8]構(gòu)建具有等概率輸入信號的APSK星座方案，給出了其在星座點的數(shù)量達到無窮大時，可以在二維信號平面上漸近實現(xiàn)高斯信道容量的數(shù)學(xué)證明，通過仿真驗證了其在DVB-S2X系統(tǒng)中具有良好的兼容性[9-10]。但由于該方案未考慮誤碼率性能，所構(gòu)建的APSK調(diào)制與傳統(tǒng)矩形QAM之間存在很大的信噪比差距。

針對以上研究背景，本文提出了一種新的APSK星座構(gòu)造方案，在滿足高斯信道容量可實現(xiàn)的前提上改善最小歐氏距離指標，統(tǒng)籌兼顧星座容量與誤碼率性能，對其實際應(yīng)用做了一定的推廣。

圖2 64APSK和64QAM星座分布對比圖

1 星座成型過程

本文信號生成過程基于文獻中方法，利用Box-Muller變換將服從均勻分布的隨機變量轉(zhuǎn)化為服從高斯分布的隨機變量。

生成過程可以簡單表述為：

首先取0到n-1的整數(shù)集合Nn={0,1,2,…,n-1}，基于如式(1)所示離散數(shù)集生成信號分布序列：

(1)

然后引入兩個在Sn均勻分布的離散隨機變量Un和Vn，單獨考慮其中每個隨機變量的特征函數(shù)時，序列(Un)n≥1和(Vn)n≥1都弱收斂于均勻分布(0，1)。

再后定義整形函數(shù)φ：(0，1)→R2，根據(jù)Box-Muller變換，可得：

(2)

Wn=φ(Un,Vn)=

(3)

其中，P為輸入信號的功率限制。

通過上述步驟，產(chǎn)生了均勻分布在R2上的n2對隨機向量Wn，星座集Cn呈現(xiàn)出高斯分布，并且均勻分布在n個同心圓上，每個圓上有n個星座點。集合Sn的映射序列確保了Un永不為零，避免了在取對數(shù)時出現(xiàn)問題。圖1所示是64點APSK調(diào)制(n=8且P=1)，由圖可知對任意星座點Wn，隨機向量Un控制模值，Vn決定相位。

圖1 64APSK信號星座圖

2 基于增大歐氏距離的優(yōu)化方案

2.1 優(yōu)化方向與意義

本小節(jié)首先給出同等階數(shù)下APSK調(diào)制與矩形QAM調(diào)制的星座對比圖，如圖2所示。

觀察分析圖2中64APSK與64QAM信號星座分布的對比，可以清楚地看到在最小歐氏距離這一指標上，64APSK并沒有傳統(tǒng)矩形64QAM星座有優(yōu)勢，這也就意味著在信道參數(shù)一致時，第1節(jié)所構(gòu)建的M-APSK調(diào)制方式會產(chǎn)生更高的誤碼率，這項指標的不理想將直接影響到該調(diào)制方式的實際應(yīng)用價值。為此，本節(jié)主要研究了基于增大最小歐氏距離的M-APSK調(diào)制星座優(yōu)化方案。

進一步觀察，圖2中64APSK信號星座在每一條經(jīng)過原點的直線上星座點都是服從高斯分布的，明顯可見在中間圈數(shù)上的星座點分布極為密集，因此針對最密集區(qū)域?qū)ψ钚W氏距離做出調(diào)整的話，就意味著在整個星座圖上做到了優(yōu)化。基于此本節(jié)提出了一種通過旋轉(zhuǎn)重構(gòu)星座圖的整形方法，增大了星座點間最小歐式距離，實現(xiàn)了該M-APSK調(diào)制方式在誤碼率性能上的改善。

2.2 星座優(yōu)化方案

優(yōu)化思想：通過對部分星座點的整體旋轉(zhuǎn)，在仍然滿足高斯分布的基礎(chǔ)上，則可以將原先密集的區(qū)域分散到鄰近閑置空間上。

根據(jù)原始星座圖的中心對稱性，考慮奇數(shù)圈星座點不變，偶數(shù)圈星座點旋轉(zhuǎn)角度θ，則θ=π/n，其星座圖如圖3所示。

圖3 偶數(shù)圈星座點旋轉(zhuǎn)整形后100APSK星座分布圖

可以觀察到，此時已經(jīng)成功將其中央圈數(shù)上的星座點再分配開，初步滿足了優(yōu)化目標。對該方案的星座容量性能仿真驗證在下一小節(jié)中給出討論。

進一步分析，由于星座圖最內(nèi)一圈的點間距是只與信號的調(diào)制階數(shù)有關(guān)的，即調(diào)制階數(shù)越高分布越密集，當調(diào)制階數(shù)取到一定大小時，則此時的星座最小歐氏距離為最內(nèi)圈點間距。故整形函數(shù)的最理想效果即為通過旋轉(zhuǎn)使得最小歐式距離大于等于最內(nèi)圈點間距。因此，事實上不必像上述優(yōu)化方案中旋轉(zhuǎn)n/2圈，而是針對幾個特定的星座圈進行旋轉(zhuǎn)整形即可達到最佳狀態(tài)。

由于構(gòu)建的星座符合圓高斯分布，中央圈數(shù)的星座點距離較近，考慮只對第l圈的星座點做旋轉(zhuǎn)整形變換，其中l(wèi)滿足：

l∈{n/2-2,n/2,n/2+2}

那么，同樣給出當星座點數(shù)量為100時，星座圖如圖4所示。

圖4 特定圈星座點旋轉(zhuǎn)整形后100APSK星座分布圖

2.3 優(yōu)化方案相關(guān)理論推導(dǎo)與證明

2.3.1優(yōu)化方案性能提升證明

由圖3、圖4顯然可以看出優(yōu)化方案提升了M-APSK信號星座的最小歐氏距離，首先將優(yōu)化方案表述為如下過程：對于原APSK信號，針對每條射線邊上的點，每奇數(shù)順序的點保持不變，每偶數(shù)順序的點統(tǒng)一(順時針或者逆時針)旋轉(zhuǎn)角度θ，其中θ為兩條相鄰射線夾角的一半。

證明：考慮如圖5所示，每條射線邊的第1、2個點，它們之間的距離代表著最小歐氏距離。如圖5所示，星座點變化前有：

d1=R-d3

對于變化后的星座點，根據(jù)三角形邊的關(guān)系公式，有：

d2>R-d3

可得：

d2>d1

圖5 證明圖示

那么由最小歐氏距離增大，顯然可以得出誤碼率性能有改善。

該處證明方法多樣，可通過解析幾何方法先求距離最近的星座點的坐標，再求兩點間距離進行比較驗證。該方法易于理解但計算過程相對繁瑣，在此不做贅述。

2.3.2優(yōu)化方案滿足前置條件證明

出于嚴謹性考慮，本小節(jié)對優(yōu)化后方案滿足原星座圖構(gòu)建方案前置定理做出補充證明。為便于證明，針對更具普遍性的方案一序列進行，因為方案二是方案一的簡化形式，若方案一滿足條件，則方案二也必然成立。

參考文獻[9]中給出了通過Box-Muller變換構(gòu)建服從高斯分布輸入信號在星座點數(shù)趨于無窮大時能夠逼近高斯信道容量的兩個前置條件：

根據(jù)第1節(jié)得出的結(jié)論：構(gòu)建星座圖序列映射中Un控制變換后信號點的幅度，Vn影響角度，則經(jīng)過整形函數(shù)后的優(yōu)化方案映射序列可以表示成如下形式：

(4)

(5)

其中k越小，對應(yīng)的點在越外圈的圓上，而序列中每一個元素的值仍在0～1之間。

證明如下：

根據(jù)前文分析，改進后APSK在映射關(guān)系上只改變了偶數(shù)點的Vn，相當于偶數(shù)點在同一個圓周上進行角度位移，對應(yīng)的幅度不變，所以并不會影響模值，即：

該證明分為以下3個步驟：

(6)

其中，

將式(4)和式(5)帶入式(6)，可得：

(7)

(8)

可以得到：

(9)

其中，ΦW*(t)是高斯變量W*的特征函數(shù)。

(10)

聯(lián)立式(7)、(9)、(10)可得：

3 優(yōu)化方案仿真驗證與分析

3.1 兩優(yōu)化方案容量差比較分析

在本小節(jié)中，給出M-APSK兩次優(yōu)化方案以及與M-QAM調(diào)制方式的比較仿真，以信道容量差作為評價指標，取信噪比SNR為20 dB，則有仿真圖6和7。可以得到如下結(jié)論：

(1)兩優(yōu)化方案在性能上沒有明顯區(qū)別，由此可見，優(yōu)化方案二基本保留了優(yōu)化方案一的性能優(yōu)勢，并且在調(diào)制過程中有相當程度的簡化；

(2)對比參考文獻，優(yōu)化方案不僅保留了原調(diào)制方案在星座點數(shù)量多時互信息量接近高斯信道容量的優(yōu)勢，還能在星座點數(shù)量較少時保持等同于M-QAM的星座容量，這大大提高了M-APSK調(diào)制方式的應(yīng)用范圍與價值；

(3)比較APSK與優(yōu)化APSK曲線，可以明顯看出優(yōu)化方案的收斂速度超過了原方案。

圖6 優(yōu)化方案一與QAM的容量差隨星座點數(shù)變化示意圖

圖7 優(yōu)化方案二與QAM的容量差隨星座點數(shù)變化示意圖

保留優(yōu)化方案二，給出4APSK、16APSK、64APSK、4 Modified APSK、16 Modified APSK以及64 Modified APSK 6種調(diào)制方式的星座容量隨信噪比變化，如圖8所示。

圖8 多種調(diào)制方式的星座容量隨信噪比變化示意圖

3.2 兩優(yōu)化方案誤比特率比較分析

如圖9所示，Modified APSK為優(yōu)化方案二的誤碼率曲線，經(jīng)比較可得出結(jié)論：旋轉(zhuǎn)整形后的星座分布，有效地增大了最小歐氏距離，在誤碼率指標上取得了明顯改善。

圖9 優(yōu)化方案與原方案誤比特率對比圖

綜合星座容量與誤碼率仿真分析結(jié)果，優(yōu)化方案較原始方案均表現(xiàn)出一定的性能優(yōu)勢，并且優(yōu)化方案二相比方案一大大減少了系統(tǒng)復(fù)雜度，降低了對收發(fā)兩端的性能要求，因此可以說優(yōu)化方案二已經(jīng)基本達到了本文的優(yōu)化目標。

4 結(jié)論

本文提出了一種新的整形函數(shù)來優(yōu)化已有的性能較好的APSK星座分布，基于高斯信道容量可實現(xiàn)的APSK星座構(gòu)造目標，通過聯(lián)合考慮最大可實現(xiàn)率和最小歐氏距離構(gòu)建出了性能更好的星座分布。通過綜合性能仿真結(jié)果驗證了所提方案在誤碼率和容量性能方面的優(yōu)勢。對于給定調(diào)制階數(shù)的信號星座，本研究認為在略微放松信號分布條件時，在APSK星座的設(shè)計中將獲得更快的收斂速度。