高中數(shù)學(xué)雙曲線問題的解決方法

劉彧瀟 湖北省武漢市洪山高級(jí)中學(xué)

雙曲線問題一直以來就是高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)難以攻克的對(duì)象，其同時(shí)也大量出現(xiàn)在各種高中數(shù)學(xué)考試中。其中所涉及的知識(shí)雖然不多，但是隨著國家對(duì)學(xué)生能力要求的逐漸提高，其考的方式越來越靈活，使得部分高中生在解答雙曲線問題的時(shí)候常常有茫然無措之感。

1 高中數(shù)學(xué)中雙曲線問題相關(guān)內(nèi)容簡介

如前所述，當(dāng)前我國高中數(shù)學(xué)中雙曲線問題所涉及到的知識(shí)不是太多，其考的重點(diǎn)在于高中生靈活運(yùn)用知識(shí)、靈活思考的能力和素質(zhì)。因此高中生就要在打牢知識(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)，平日里加強(qiáng)對(duì)雙曲線問題的訓(xùn)練，并多思多想，以提高自身靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力素質(zhì)。另外，當(dāng)前我國高中數(shù)學(xué)中的雙曲線問題雖然考地比較靈活，看起來難以摸清楚其中的規(guī)律，但是縱觀近幾年來高考中的雙曲線問題可以發(fā)現(xiàn)，其大概有三種形式，而這三種形式又是緊緊圍繞著雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的，在這一方面其常考的題目又多為求實(shí)半軸長和虛半軸長。而要求解這種題目主要有兩個(gè)思路。一是根據(jù)題目中所給的條件直接將雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長求解出來。二是根據(jù)題目中所給的條件將a＞0，b＞0）的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)出來，再構(gòu)建起關(guān)于a和b的方程組，并進(jìn)而求得雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長。

2 高中數(shù)學(xué)雙曲線問題的解決辦法

如前所述，高中數(shù)學(xué)雙曲線問題常見的有三種形式，根據(jù)這三種形式具體情況、特點(diǎn)的不同，其各自分別相應(yīng)的解決辦法為直接法、定義法、待定系數(shù)法。以下一一進(jìn)行說明。

2.1 高中數(shù)學(xué)雙曲線問題解決辦法之直接法

高中數(shù)學(xué)雙曲線問題解決辦法中的直接法就是指不把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)出來，而是直接建立方程或方程組求出雙曲線實(shí)半軸長a的值和虛半軸長b的值，其解題的主要依據(jù)是雙曲線和其相關(guān)圓錐曲線的幾何性質(zhì)。另外，需要注意的是，考慮到焦點(diǎn)的重要作用，就要先將焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸明確下來，再正式開始求解問題。

例：有一離心率為二的雙曲線，其焦點(diǎn)分別為（-4,0），（4,0），則其方程應(yīng)為＿。

由題目中所給出的焦點(diǎn)坐標(biāo)可以直接知道雙曲線焦點(diǎn)在什么位置，并得出半焦距的長c為4，然后借助題目中所給的離心率就可以將雙曲線實(shí)半軸長a和半焦距長c的關(guān)系確定下來。

解：有題目中所給條件可知，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距c=4，則有離心率e==2，可得 4=2a，則 a=2，則有，最終可得雙曲線的方程為

2.2 高中數(shù)學(xué)雙曲線問題解決辦法之定義法

定義法主要適用于雙曲線問題中求解動(dòng)點(diǎn)軌跡方程這一類型的題目。高中生在解答這類題目時(shí)，要先根據(jù)題目中所給的信息和條件，分析所求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是否為雙曲線，只有是雙曲線，才能使用此種辦法。在確定下來后，高中生就要根據(jù)題目中所給的其它相關(guān)條件和信息將雙曲線的實(shí)半軸長a和虛半軸長b弄明白，并進(jìn)而求解出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，最終實(shí)現(xiàn)求解動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的目的。

例：設(shè)有一動(dòng)圓 M 和 C1（x+2）2+y2=1、C2（x-2）2+y2=4 都為外切的關(guān)系，其則其圓心M的軌跡方程應(yīng)為＿。

根據(jù)題目中動(dòng)圓M與C1、C2均相切的條件可以得到等式|MC2|-|MC1|=1,則可知?jiǎng)訄A圓心M的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)當(dāng)為雙曲線的一支。然后據(jù)此，再結(jié)合相關(guān)條件就可以求得雙曲線實(shí)半軸長a的值和虛半軸長b的值。

解：設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則|MC1|=r+1,|MC2|=r+2。

∴|MC2|-|MC1|=1，

則動(dòng)圓圓心M的運(yùn)動(dòng)軌跡當(dāng)是以C1、C2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為一的雙曲線的一支。

2.3 高中數(shù)學(xué)雙曲線問題解決辦法之待定系數(shù)法

所謂待定系數(shù)法是指，先根據(jù)題目中所給的條件將所要求的雙曲線方程設(shè)出來，然后構(gòu)建起相應(yīng)的方程或方程組，以此來講參數(shù)求解出來。其中需要注意的是，這類問題的題干中常常隱藏有能夠與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程特征聯(lián)系起來的條件，借助于此，就可以將相應(yīng)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程或變式方程巧妙地設(shè)出來，這樣就能大大節(jié)省時(shí)間、提高解題效率。

3 結(jié)束語

雙曲線問題是高考數(shù)學(xué)中常會(huì)考到的問題，同時(shí)也是高中生解答起來比較難的一類問題。但是萬變不離其宗，雙曲線題目的變化始終離不開其基本的知識(shí)和三種形式。因此高中生要想在解決雙曲線問題時(shí)，有一個(gè)比較好的效率和準(zhǔn)確率，就要先打牢知識(shí)基礎(chǔ)，再深入掌握對(duì)應(yīng)雙曲線問題三種形式的直接法、定義法和待定系數(shù)法。

[1]張子鈺.論如何巧設(shè)雙曲線方程以簡化解題過程[J].教育,2016(12):00254-00254.

[2]聶文喜.例說“λ”法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2016(17).

[3]曹雪亮.例談雙曲線軌跡方程的幾種求解情形[J].中學(xué)生數(shù)理化:學(xué)研版, 2015(10):25-25.