淺談高中數(shù)學(xué)集合問(wèn)題

顧芷萌 湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)

1 高中數(shù)學(xué)集合問(wèn)題簡(jiǎn)介

集合是高中數(shù)學(xué)中比較基礎(chǔ)一個(gè)概念，因此其相關(guān)問(wèn)題在各種高中數(shù)學(xué)考試中就有著比較廣發(fā)的出現(xiàn)，其中也多是比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，難度為中偏高程度的題目只偶爾有出現(xiàn)。當(dāng)前我國(guó)高中數(shù)學(xué)的集合問(wèn)題，主要有三個(gè)方面的內(nèi)容。其一，高中生對(duì)數(shù)學(xué)集合的概念理解程度和對(duì)集合思想的運(yùn)用。其二，元素、集合及其各自內(nèi)部之間的關(guān)系。其三，集合的基本運(yùn)算。另外，在高中數(shù)學(xué)諸多的考試之中，集合也多與其它如方程、三角函數(shù)和幾何概型等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，組成題目。

如上所述，集合問(wèn)題相對(duì)來(lái)說(shuō)，比較簡(jiǎn)單，并無(wú)比較刁鉆古怪的考法。從這方面來(lái)講，高中生在解答集合問(wèn)題的時(shí)候，就不應(yīng)該存在太大的問(wèn)題，然而現(xiàn)實(shí)情況卻正好與設(shè)想不一樣，高中生很容易丟失掉原本能夠得到的集合問(wèn)題的分?jǐn)?shù)。集合在高中數(shù)學(xué)的整個(gè)知識(shí)體系中屬于比較基礎(chǔ)的一部分，對(duì)其相關(guān)問(wèn)題的解答，就很依賴于高中生集合相關(guān)知識(shí)的掌握程度。部分高中生之所以會(huì)丟失掉集合問(wèn)題的分?jǐn)?shù)，很大程度上就是因?yàn)槠浠A(chǔ)知識(shí)掌握地不夠牢固。

2 如何解決高中數(shù)學(xué)中的集合問(wèn)題

通過(guò)過(guò)往所積累的解答集合問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)可知，高中生因?yàn)榛A(chǔ)知識(shí)掌握程度不夠而導(dǎo)致集合問(wèn)題解答成果不理想主要有沒(méi)有考慮集合所具有的“互異性”、沒(méi)有考慮0，{0}，φ，{φ}之間的關(guān)聯(lián)、沒(méi)有考慮空集的特殊性質(zhì)和沒(méi)有考慮數(shù)集與點(diǎn)集之間的差異四個(gè)具體的表現(xiàn)。以下就將從這幾個(gè)方面分別詳細(xì)分析應(yīng)當(dāng)如何解決高中數(shù)學(xué)中的集合問(wèn)題。

2.1 對(duì)集合的“互異性”缺乏考慮

所謂互異性，即是指在集合中的任意兩個(gè)元素都不相同。

例：假設(shè)有一集合為{a+2,（a+1）2，a2+3a+3}，已知其中有一元素為一，則實(shí)數(shù)a的數(shù)值應(yīng)當(dāng)是＿。

此題中，高中生要想解答問(wèn)題、求解出實(shí)數(shù)a的值，就要運(yùn)用討論這種數(shù)學(xué)思想，將關(guān)于a的一元一次方程和一元二次方程分別構(gòu)建出來(lái)。值得注意的是，由于這個(gè)討論、解答的過(guò)程比較復(fù)雜，高中生在解答的時(shí)候，就很容易忽視了集合的“互異性”。

解：當(dāng)a+2=1時(shí)，a=-1，則有a2+3a+3=1，明顯違背了集合的互異性，∴a+2=1不成立。

當(dāng)（a+1）2=1時(shí)，有a=0和a=-2兩種情況，當(dāng)a=0時(shí)，a+2=2，a2+3a+3=3,符合相關(guān)要求。

當(dāng)a=-2時(shí)，a+2=0，a2+3a+3=1，不滿足集合的互異性要求。

當(dāng)a2+3a+3=1的時(shí)候，有a=-1和a=-2兩種情況，當(dāng)a=-1時(shí)，a+2=1，不符合相關(guān)要求，當(dāng)a=-2時(shí)，a+2=0，a+1）2=1，亦不符合相關(guān)要求。

綜合上述條件，可知，a=0。

2.2 對(duì) 0，{0}，φ，{φ}之間的關(guān)系缺乏考慮

0只是一個(gè)自然數(shù)，并不是集合，{0}才是集合，其只有0一個(gè)元素。而φ是一種集合，但是其沒(méi)有任何元素，{φ}也是一個(gè)集合，其只有唯一的元素φ。由此可知，φ∈{φ}，同時(shí)因?yàn)榭占奶厥庑钥芍ㄟ^(guò)這一番表述可以看出，φ和{φ}之間可以使用∈、等符號(hào)中的任意一個(gè)來(lái)連接，但是二者之間的連接卻不可以通過(guò)“=”來(lái)實(shí)現(xiàn)。對(duì)這種知識(shí)點(diǎn)的考察通常出現(xiàn)在概念理論類的集合問(wèn)題中，高中生要想能夠解答好這類問(wèn)題，重點(diǎn)就在于要明確各種符號(hào)的使用范圍和各種特殊集合之間的關(guān)系。

2.3 對(duì)φ的特殊性質(zhì)缺乏考慮

空集是一個(gè)十分特殊的集合，其具有十分獨(dú)特的性質(zhì)，在各種對(duì)集合問(wèn)題的考察中常有出現(xiàn)。然而部分高中生在解答題目的時(shí)候，常常會(huì)因?yàn)槭韬龅?，而忽視了其的特殊性?/p>

例：假設(shè)有一集合為A={x|x2-8x+15=0}，另有一集合為B={x|ax-1=0}，如果那么實(shí)數(shù)a的值應(yīng)當(dāng)是？

在這道題目中，首先由題目中所給條件可得，A有兩個(gè)元素，分別為3,5。很多高中生在解答的時(shí)候，都沒(méi)有考慮到B為空集的可能，從而求得實(shí)數(shù)a的數(shù)值為，最終也就不能得到所有的分?jǐn)?shù)。

2.4 對(duì)數(shù)集、點(diǎn)集之間的差異缺乏考慮

高中生在解答集合問(wèn)題的時(shí)候，常常會(huì)在點(diǎn)集的書(shū)寫(xiě)上出現(xiàn)很大錯(cuò)誤，如將點(diǎn)集 （{1,2）}寫(xiě)成{1,2}或者{x=1，y=2}。另有部分高中生在點(diǎn)集的認(rèn)識(shí)上也出現(xiàn)了一些問(wèn)題，如將集 合{y|y=x2+1,x∈R}等 同 于 （{x，y）|y=x2+1,x∈R}或{x|y=x2+1,x∈R}。而且還有部分高中生，在進(jìn)行補(bǔ)集操作的時(shí)候，沒(méi)有對(duì)前提條件進(jìn)行充分的考慮。

高中生在解答這一題目的時(shí)候，常常會(huì)犯兩種錯(cuò)誤，一是認(rèn)為全集是所有實(shí)數(shù)的集合，一是缺乏對(duì)全集U的考慮，其最終所得的C∪A={x|x≤10}。但是將全集U考慮進(jìn)來(lái)后，因?yàn)閁={x|x≥7}，最終所得到結(jié)果就應(yīng)該為C∪A={x|7＜x＜10}。

3 結(jié)束語(yǔ)

集合問(wèn)題雖然比較基礎(chǔ)，其一般難度也不高，但是其中卻有著許許多多的陷阱。而高中生在解答集合問(wèn)題時(shí)，要想有一個(gè)比較好的解答效率和結(jié)果，就要避開(kāi)這些陷阱。具體來(lái)說(shuō)，高中生一要牢牢掌握基礎(chǔ)的知識(shí)，二在解答的時(shí)候，要特別注意解答思路的周全。

[1]蔡勇全.問(wèn)診集合問(wèn)題中的若干典型錯(cuò)解[J].理科考試研究:高中版, 2017, 24(5):24-26.