Huang族校正電容層析成像圖像重建算法

陳宇　李洪宇

摘要：針對電容層析成像（ECT）技術(shù)中的“軟場”效應(yīng)和病態(tài)問題，提出了一種Huang族校正的電容層析成像圖像重建算法。首先依據(jù)ECT系統(tǒng)的基本原理，推導(dǎo)出ECT問題中Huang族校正的校正公式，其次給出校正后用于ECT反問題求解仿真實驗的迭代公式。最后，采用數(shù)字仿真模擬實驗方式，驗證提出方法的有效性。實驗結(jié)果表明，Huang族校正方法對于極低位、低位、核心流而言，圖像誤差分別降到2439%、2581%和4091%，均低于LBP、Landweber、SD和CG方法；對于極低位、低位及柱狀流而言，迭代次數(shù)分別為12、12、27次，比Landweber算法和SD法都要低，綜合分析，可知Huang族校正方法實驗效果良好。

關(guān)鍵詞：

電容層析成像； Huang族校正；圖像重建

DOI：10.15938/j.jhust.2018.05.014

中圖分類號： TN 91173

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2018）05-0080-06

Abstract：To solve the ‘softfield nature and the illposed problem in electrical capacitance tomography technology， a Huang clan correction image reconstruction algorithm for electrical capacitance tomography is presented Firstly，according to the basic principles of the Electrical Capacitance Tomography system， the formula of Huang clan correction in the problem of capacitance tomography is derived Secondly， the iterative formula for simulation experiment is given after the correctionFinally， the validity of the proposed method is verified by digital simulationThe simulation experiment results show that the error of the image for extremely low layer flow，low layer flow and core flow dropped to 2439%，2581% and 4091% respectively Results were lower than Linear Back Projection method，Landweber method，Steepest Descent method and Conjugate Gradient method In addition，the number of iterations were maintained at 12，12 and 27times，also less than the Landweber method and the Steepest Descent method The results of the analysis show that the effect of the Huang Clan Correction Image Reconstruction Algorithm are good

Keywords：electrical capacitance tomography； Huang clan correction； image reconstruction

0引言

過程層析成像技術(shù)簡稱為（process tomography，PT）技術(shù)。其包括電容層析成像技術(shù)（electrical capacitance tomography， ECT）、電阻層析成像技術(shù)（electrical resistance tomography，ERT）和電磁層析成像技術(shù)（electromagnetic tomography，EMT）。他們分別依據(jù)測量不同的電學特性，來進行相關(guān)信息的重建工作。其中ECT技術(shù)就是利用傳感器測量得到的電容信號，依照某種算法重建出介質(zhì)內(nèi)部的介電常數(shù)分布情況。

ECT技術(shù)作為PT技術(shù)的一種，相比其他PT技術(shù)而言， 擁有諸多優(yōu)點。如成本低、可靠性高、簡單易實現(xiàn)等[1-2]。另外ECT的非侵入性、高安全性和高速度性使其在解決連續(xù)相非導(dǎo)電物質(zhì)的兩相流、多相流成像問題中產(chǎn)生很好的效果。ECT技術(shù)的適用范圍廣泛，現(xiàn)已在化工、石油和醫(yī)藥等眾多兩相流和多相流檢測領(lǐng)域有相應(yīng)的應(yīng)用[3]。

自從ECT技術(shù)出現(xiàn)以后，大量的圖像重建算法被國內(nèi)外的眾學者所提出。Isaksen O在1996年就對ECT的各種圖像重建算法進行過一次綜合表述[4]。近些年，Tikhonov正則化方法[5]、正則化的GaussNewton方法[6]、快速模擬退火全局優(yōu)化算法[7]、遺傳算法[8]、支持向量機法等一系列新的ECT圖像重建算法又被提出。

目前，對于ECT圖像重建最常用幾種方法[9]有直接算法中的LBP（linear back projection）法[10]和Tikhonov正則化法，迭代算法中的共軛梯度（conjugate gradient ，CG）法[11]和Landweber迭代法[12]。

ECT圖像重建是一個高度非線性問題，因ECT技術(shù)具有的“軟場”特性，該問題屬于病態(tài)問題求解。采用針對與該非線性問題“鄰近”的線性問題的解法不斷逼近要得到的解的這樣一種思想是簡單而有效的。

ECT技術(shù)是否可以成功應(yīng)用關(guān)鍵取決于ECT反問題求解的精度與速度的優(yōu)劣[13]。LBP算法的成像速度非?？欤涑上窬壬蠀s有很大的不足[14]。CG算法在復(fù)雜流型上的成像精度并不特別理想。模擬退火算法、遺傳算法和支持向量機法在某方面的優(yōu)越性上有所強化，但卻以犧牲其它性能作為代價，因此只能在特定領(lǐng)域中有所應(yīng)用。

電容層析成像技術(shù)要實現(xiàn)滿足工業(yè)實際應(yīng)用需求的目標，緊緊地依賴于ECT圖像重建算法的效果，所以尋找優(yōu)秀的ECT圖像重建算法是值得一直研究的目標。

本文提出了一種基于Huang族校正的電容層析成像圖像重建算法，目的是獲得更好的電容層析成像圖像重建效果。仿真實驗結(jié)果證明該算法可以達到研究目的。在與采用LBP、經(jīng)典Landweber、CG以及SD（steepest descent）方法的仿真實驗的重建圖像、誤差率和迭代次數(shù)進行對比后，可以發(fā)現(xiàn)本文提出的基于Huang族校正的電容層析成像圖像重建方法顯示出了其自身精度和速度上的優(yōu)勢。

1電容層析成像系統(tǒng)及ECT技術(shù)原理概要

在ECT研究中，常用的有6、8、12、16電極的ECT系統(tǒng)。這里來討論典型12電極的ECT系統(tǒng)。12電極ECT系統(tǒng)主要組成部分有：電容傳感器、測量與數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和成像計算機[15-18]，如下圖1所示。

ECT技術(shù)的原理就是，根據(jù)不同相元素介電常數(shù)各不相同的特性，用電容傳感器上的電極板對被測流體施加電壓后，經(jīng)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)測得的流體流動產(chǎn)生的變化的電容值，通過ECT圖像重建算法，得到不同相元素的介電常數(shù)的分布，得到被測流體的截面重建圖像[19-20]。

通常，一個 N 電極ECT系統(tǒng)中，獨立電極對的總數(shù)M滿足以下公式：

M=C2N=N（N-1）/2（1）

首先以這12 個極板的中某個極板為起點，依次對這 12 個極板進行編號。在測量過程中，首先編號為1的電極板被選擇為源極板，即公共電極。然后為源極板加一固定電壓值 U，再依次選取電極板

2、3、…、12 作為檢測電極板，分別對電極板對 1-2、1-3、…1-12之間的電容值進行測量，且在每次測量時，都將其它閑置電極接地。接下來，繼續(xù)選擇電極 2作為公共電極，同理測出電極對2-3、2-4、…、2-12的電容值。依此類推，直至完成電極對 11-12 的電容值測量。此時，共能得到 66 個獨立的測量電容值。

現(xiàn)今，大部分的ECT圖像重建算法都是基于介電常數(shù)到電容映射的線性模型。經(jīng)過離散化、線性化和歸一化的模型[21-22]如式（2）所示：

C=SG（2）

式中，C∈Rm表示歸一化電容向量，S∈Rm×n表示系數(shù)矩陣（靈敏度矩陣），G∈Rn表示歸一化介質(zhì)分布圖像向量。其中，ECT圖像重建的任務(wù)就是由給定的電容值C最終求解得到介電常數(shù)分布G。

2基于Huang族校正方法的電容層析成像反問題求解

有這樣一個目標函數(shù)：f（x），設(shè)f∶Rn→R在開集DRn上二次連續(xù)可微，f在xk+1附近的二次近似為：

f（x）≈f（xk+1）+gTk+1（x-xk+1）+

12（x-xk+1）Lk+1（x-xk+1）（3）

對其求導(dǎo)則有：

g（x）≈gk+1+Lk+1（x-xk+1）（4）

令x=xk，yk=gk+1-gk，zk=xk+1-xk，那么將有：

L-1k+1yk≈zk（5）

現(xiàn)在，設(shè)Tk是第k次迭代的Hesse逆近似。矩陣Tk滿足

Tk+1yk=γzk（6）

其中γ是一個參數(shù)。Huang族算法應(yīng)用于二次函數(shù)時，產(chǎn)生共軛方向，具有二次終止性。所有Huang族校正公式都產(chǎn)生相同的迭代點列。對于非二次函數(shù)，Huang族校正公式所產(chǎn)生的點列僅依賴于參數(shù)γ[23]。

設(shè)Huang族校正公式為：

Tk+1=Tk+ΔM（7）

（6）式稱為廣義擬牛頓條件。為了滿足我們（6），我們假定式（7）中的ΔM為zk與Tkyk的線性組合。即可以簡單表示為：

ΔM=zkpTk+TkykqTk（8）

其中，pk和qk是待定的n維向量。pk和qk滿足下列條件：

pTkyj=0，j=0，1，…，k-1；ρ，j=k，（9）

qTkyj=0，j=0，1，…，k-1；-1，j=k，（10）

選擇pk和qk為zk與Tkyk的線性組合，式（9）式（10）將得到滿足。如下：

pk=m11zk+m12TTkyk （11）

qk=m21zk+m22TTkyk（12）

適當選擇pk和qk滿足

pTkyk=γ（13）

qTkyk=-1（14）

那么，我們得到Huang族校正公式為：

Tk+1=Tk+zkpTk+TkykqTk（15）

其中pk和qk分別由式（11）式（12）給出，并且滿足式（13）和式（14）。所以，可知在式（15）中，有五個參數(shù)，分別為γ和mrc，這五個參數(shù)中有三個為自由參數(shù)，Huang族校正公式依賴于這三個參數(shù)。

令γ=1，并使Tk對稱，這時m12=m21，我們讓m11為自由參數(shù)，這時，

m12=m21=1-m11sTkykyTkHkyk（16）

m22=-（1+m12sTkyk）yTkHkyk（17）

在ECT問題中，有：

zk=ΔG=Gk+1-Gk（18）

yk=STS（Gk+1-Gk）（19）

令

ρ=m11（ΔGTSTSΔG）2-ΔGTSTSΔG（STSΔG）TTkSTSΔG（20）

所以此時式（15）將寫成：

Tk+1=Tk+ΔGΔGTΔGTSTSΔG

-TkSTSΔG（STSΔG）TT（STSΔG）TTkSTSΔG+ρrkrTk（21）

其中

rk=STSΔGTTkSTSΔG12ΔGΔGTSTSΔG

TkSTSΔGSTSΔGTTkSTSΔG（22）

下面把ECT問題使用Huang族校正來進行計算：

1）令ek=-Tkgk；

2）沿方向ek進行線性搜索，則有：

Gk+1=Gk+φkek；

3）對Tk根據(jù)Huang族校正公式進行校正，將得到Tk+1；

初始的Hesse取為單位矩陣，并且在正定矩陣STS后加上帶系數(shù)的單位矩陣以解決在具有不適定性和病態(tài)性的ECT反問題中當靈敏度矩陣S奇異時，迭代收斂到一個非駐點的問題，所以我們最終得到的ECT反問題求解的迭代公式為下式：

Gk+1=（STS+kH+Tk）（STC-STSGk）+Gk（23）

3仿真與實驗結(jié)果

基于以上理論，進行模擬仿真實驗來驗證算法求解ECT圖像重建這一反問題的效果。針對極低位層流、低位層流、小半徑核心流以及柱狀流這四種流型進行預(yù)設(shè)置并采用MATLAB配合12電極的ECT系統(tǒng)來進行仿真實驗。實驗環(huán)境設(shè)定在配置Intel（R） Core（TM） i76700 @ 34GHz處理器，安裝內(nèi)存40GB，64位操作系統(tǒng)的計算機上。

依據(jù)以上實驗條件，根據(jù)本文中提出的Huang族校正方法進行ECT圖像重建，得到實驗結(jié)果后，將其與LBP（線性反投影）法、經(jīng)典Landweber法、CG（共軛梯度）法和SD（最速下降）法的圖像重建結(jié)果進行對比。

ECT反問題求解中良好的精度與合理的速度是ECT技術(shù)能夠成功應(yīng)用的關(guān)鍵。在該仿真實驗中，實驗精度的確定依靠空間圖像誤差來判定。誤差計算公式（24）如下：

ε=∑ni=1gi（img）-gi（init）∑ni=1gi（init）（24）

式中：n表示成像區(qū)域單元總數(shù)；gimg表示重建圖像向量；ginit表示介質(zhì)分布原型圖像向量；i表示成像區(qū)域剖分單元索引。

實驗速度則依照實驗過程中的迭代次數(shù)來判定。迭代次數(shù)N越大，表示ECT圖像重建的時間花銷越大。設(shè)定實驗產(chǎn)生的迭代誤差滿足公式（25）即停止迭代。

‖SGk-C‖<ξ（25）

Huang族校正算法（簡寫為Huang）成像結(jié)果與其它算法成像結(jié)果對比以及分析如下：

從上面的成像結(jié)果對比可以看出，這幾種算法重建的圖像可以說在形狀上均大體接近原始流型，但與標準原始圖像對比上的視覺誤差各不相同。其中，對于極低位層流，Landweber方法和Huang族校正方法的成像效果相對更好，且Huang族校正方法的成像效果更佳。很明顯，對于低位層流和核心流，Huang族校正方法最接近原始圖像。

表2展示了各種方法重建的圖像與原始圖像的誤差百分比。I 、II 、III 、IV分別代表極低位層流、低位層流、核心流以及柱狀流?？梢詮闹锌闯?，對于I 、II 、III這3種流型，采用Huang族校正方法所成圖像的誤差率均為最低，與表1中所顯示結(jié)果基本一致。

從表3可看出，對于I、II、IV 3種流型，Huang族校正方法的成像迭代次數(shù)均比Landweber方法和SD方法要少，且結(jié)合表2，可以發(fā)現(xiàn)，對于這3種流型，Huang族校正方法的成像誤差百分比也是這3種方法中最低的。在流型I、II和III上，Huang族校正方法與CG法相比較，雖然迭代步數(shù)均有增加，但綜合表2我們發(fā)現(xiàn)，這3種流型成像的誤差百分比卻明顯要比CG法低，特別對于流型II，CG法和Huang族校正方法的成像迭代次數(shù)明顯低于Landweber方法和SD方法，且成像誤差百分比也均低于其它方法，Huang族校正方法的迭代次數(shù)只比CG法的迭代次數(shù)增加了很少的幾步，但是在成像誤差百分比上卻又有所下降。

綜合以上分析，可以知道采用該種Huang族校正方法來進行ECT圖像重建是一種值得考慮的方法。其在圖像重建的精度與速度上均有其優(yōu)勢。

目標算法與其他算法的范數(shù)殘量誤差比較如下：

圖2分別針對于以上實驗的4種流型，來對經(jīng)典Landweber、 SD、CG及Huang族校正算法的0～20步迭代的2范數(shù)殘量誤差進行比較，其中藍色曲線表示Huang族校正方法的范數(shù)殘量誤差曲線。由圖中信息可得知，對于極低位層流、層流這兩個流型，Huang族校正方法在迭代約第3步的時候就已經(jīng)得到最好的范數(shù)殘量誤差，且對于極低位層流，整體上Huang族校正方法的范數(shù)殘量誤差都要小于經(jīng)典Landweber方法和CG法；對于低位層流，Huang族校正方法的范數(shù)殘量誤差在一定范圍內(nèi)是最小的。對于核心流，Landweber方法、SD法以及Huang族校正方法，范數(shù)殘量誤差均整體在05以下，明顯要穩(wěn)定于CG法。對于柱狀流，Huang族校正方法在迭代一開始，其范數(shù)殘量誤差比其他3種方法的范數(shù)殘量誤差均要小，隨著迭代步數(shù)的增加，逐漸接近于經(jīng)典Landweber方法，并保持在其附近范圍。

綜合以上分析，可以知道采用該種Huang族校正方法來進行ECT圖像重建是一種值得考慮的方法。其在圖像重建的精度與速度上均有其優(yōu)勢。

4結(jié)論

本文依據(jù)ECT圖像重建這一反問題的病態(tài)性提出了一種運用Huang族校正的方法來解決ECT圖像的重建的問題。詳細給出了該種校正方法在ECT圖像重建這一反問題中的校正公式。最后依照利用Huang族校正公式而得到的ECT反問題求解迭代公式而進行仿真實驗。仿真實驗及其結(jié)果證明了此Huang族校正方法是在解決ECT圖像重建問題上是一個有效的方法。在與LBP、經(jīng)典Landweber、CG以及SD方法的重建圖像、誤差率和迭代次數(shù)的對比上，基于Huang族校正的方法顯示出了其自身精度和速度上的優(yōu)勢。該方法高效且簡單，是一種解決ECT圖像重建問題的有效方法。

參 考 文 獻：

[1]吳新杰，何在剛，李惠強，等利用多準則Hopfield網(wǎng)絡(luò)對ECT進行圖像重建[J]電機與控制學報，2016，20（8）：98-104

[2]陳德運，高明，李偉，等新型ECT數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)設(shè)計與實現(xiàn)[J]電機與控制學報，2013，17（5）：87-92

[3]田海軍，周云龍電容層析成像技術(shù)研究進展[J]化工自動化及儀表，2012，39（11）：1387-1392

[4]ISAKSEN OA Review of Reconstruction Techniques for Capacitance Tomography[J]Measurement Science and Technology，1996，7（3）：325-337

[5]FANG W，CUMBERBATCH EMatrix Properties of Data from Electrical Capacitance Tomography[J]Eng Math， 2005，51（2）：127-146

[6]SOLEIMANI M，LIONHEART W R B Nonlinear Image Reconstruction for Electrical Capacitance Tomography Using Experimental Data[J] Measurement Science and Technology，2005，16（10）：1987-1996

[7]ORTIZALEMAN C，MARTIN R，GAMIO J C，et al Reconstruction of Permittivity Images from Capacitance Tomography Data by Using Very Fast Simulated Annealing[J]Measurement Science and Technology，2004，15（7）：1382-1390

[8]陳德運，鄭貴濱，于曉洋，等基于遺傳算法電容層析成像圖像重建算法的研究[J]電機與控制學報，2003，7（3）：207-211

[9]于金平，陳德運，張云龍，等一種電容層析成像局部方差的圖像融合方法[J]哈爾濱理工大學學報，2015，20（4）：116-121

[10]XI Shaolin，ZHAO FengzhiComputation Methods for Optimization[M]ShAnghai，Shanghai Scientifie & Technical Publishers，1983：113-117

[11]周云龍，衣得武，高云鵬基于INGA的電容層析成像圖像重建算法的研究[J]制造業(yè)自動化，2012，34（6）：81-86

[12]YANG W Q，PENG L HImage reconstruction algorithms for electrical capacitance tomography[J]Measurement Science and Technology，2003，14（1）： R1～R3

[13]于金平，陳德運，王莉莉一種基于禁忌搜索的電容層析成像圖像重建算法[J]哈爾濱理工大學學報，2016，21（1）：51-56

[14]林甲楠，陳德運，姚玉梅等一種分解型QuasiNewton電容層析成像圖像重建算法[J]哈爾濱理工大學學報，2014，19（6）：44-47

[15]王莉莉，陳德運，于曉洋等電容層析成像系統(tǒng)傳感器優(yōu)化設(shè)計[J]儀器儀表學報，2015，36（3）：515-522

[16]孫犇淵，王化祥，王丕濤基于內(nèi)部陣列電極的電容層析成像系統(tǒng)[J]傳感技術(shù)學報，2013，26（6）：820-824

[17]郭志恒，律德才，邵富群基于差分靈敏度模型的電容層析成像圖像重建方法[J]中國電機工程學報，2012，32（23）：75-82

[18]曹海燕，王化祥電容層析成像系統(tǒng)傳感器仿真研究[J]計算機工程與應(yīng)用，2012，48（15）：207-211

[19]許聞楷，陳德運，高明，等電容層析成像三維傳感器結(jié)構(gòu)設(shè)計及圖像重建[J]哈爾濱理工大學學報，2016，21（5）：34-39

[20]吉洪駐，陳德運，高明.等電容層析成像系統(tǒng)三維傳感器結(jié)構(gòu)分析[J]哈爾濱理工大學學報，2016，21（5）：107-112

[21]陳宇，陳德運基于改進RungeKutta型landweber的電容層析成像圖像重建算法[J]電機與控制學報，2014，18（7）：107-112

[22]陳宇，孫帆，張健基于自適應(yīng)權(quán)重粒子群的電容層析成像邊界灰度補償算法[J]哈爾濱理工大學學報，2010，15（3）：44-49

[23]袁亞湘，孫文瑜最優(yōu)化理論與方法[M]北京：科學出版社，1997：219-259

[24]張云龍，陳德運，王莉莉一種基于期望最大化條件的電容層析成像圖像重建算法[J]哈爾濱理工大學學報，2016，21（2）：13-19

（編輯：關(guān)毅）