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——對(duì)“正切函數(shù)圖象和性質(zhì)”教學(xué)的設(shè)計(jì)與反思

侯正衛(wèi)

（湖北襄陽(yáng)東風(fēng)中學(xué)，湖北 襄陽(yáng)）

曾子曰：“吾日三省吾身?！睘榱诉M(jìn)一步提高自己的教學(xué)質(zhì)量，減少失誤和紕漏，多年以來(lái)，反思是我教學(xué)工作的重要組成部分，在不斷反思和與同事探討的過(guò)程中，我提高了自身的教學(xué)水平，形成了自己的教學(xué)風(fēng)格。下面結(jié)合“正切函數(shù)圖象和性質(zhì)”教學(xué)，談一談對(duì)本節(jié)課教學(xué)的設(shè)計(jì)與反思。

本節(jié)課常規(guī)教學(xué)是首先復(fù)習(xí)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，利用單位圓畫(huà)出正切函數(shù)的圖象，其次，根據(jù)圖象發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，做一些習(xí)題加以鞏固。在反思以往教學(xué)的基礎(chǔ)上我做了如下設(shè)計(jì)：

一、設(shè)置情境

①前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

回憶如何用幾何法和5點(diǎn)法畫(huà)圖象，從哪些方面去研究它們。

②常見(jiàn)的三角函數(shù)還有正切函數(shù)，對(duì)正切函數(shù)，我們已經(jīng)知道了什么？（定義、誘導(dǎo)公式、和差角公式、簡(jiǎn)單應(yīng)用。）

③測(cè)旗桿、古塔高度。

④世界上最早使用正切函數(shù)的是：中國(guó)唐代天文學(xué)家一行（683年—727年）《大衍歷》的九服晷影算法及其正切函數(shù)表。

二、探索研究

僅僅有這些知識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，這節(jié)課我們就利用研究正、余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)的方法引出正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

下面我們也將利用單位圓中的正切線(xiàn)來(lái)繪制y=tanx的圖象。

（1）用正切線(xiàn)作正切函數(shù)圖象

分析一下正切函數(shù)y=tanx是否為周期函數(shù)？

∴y=tanx是周期函數(shù)，π是它的一個(gè)周期。

我們還可以證明，π是它的最小正周期。類(lèi)似正弦曲線(xiàn)的作法，我們先作正切函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象，下面我們利用正切線(xiàn)畫(huà)出函數(shù)的圖象。

作法：①作直角坐標(biāo)系，并在直角坐標(biāo)系y軸左側(cè)作單位圓。

②把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線(xiàn)。

③描點(diǎn)。（橫坐標(biāo)是一個(gè)周期的8等分點(diǎn)，縱坐標(biāo)是相應(yīng)的正切線(xiàn)）

④連線(xiàn)。（Flash動(dòng)畫(huà)展示畫(huà)圖全過(guò)程）

根據(jù)正切函數(shù)的周期性，我們可以把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)的圖象，并把它叫做正切曲線(xiàn)。

（2）在現(xiàn)實(shí)生活中像正切曲線(xiàn)形狀的例子有“瀑布”、舞蹈動(dòng)作。

（3）畫(huà)正切曲線(xiàn)簡(jiǎn)圖的方法：3點(diǎn)2線(xiàn)法。

（4）正切函數(shù)的性質(zhì)。

請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合正切函數(shù)圖象研究正切函數(shù)的性質(zhì)：定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性。

②值域：R

③周期性：正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是π。

④奇偶性：tan（-x）=-tanx，∴正切函數(shù)是奇函數(shù)，正切曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)。

強(qiáng)調(diào)：a.不能說(shuō)正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)。

b.正切函數(shù)在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)。

三、例題分析

略。

四、學(xué)生練習(xí)

課本 79 頁(yè)：2、3、5 題。

五、課堂小結(jié)

（1）這節(jié)課我們采用類(lèi)比的思想方法來(lái)學(xué)習(xí)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

（2）正切函數(shù)的作圖是利用平移正切線(xiàn)得到的，當(dāng)我們獲得一個(gè)周期上圖象后，再利用周期性把該段圖象向左右延伸、平移。

（3）畫(huà)正切函數(shù)的簡(jiǎn)圖：3點(diǎn)2線(xiàn)法。

（4）正切函數(shù)的性質(zhì)（正切函數(shù)的圖象把整個(gè)坐標(biāo)平面分成無(wú)數(shù)部分）。

在本節(jié)課的教學(xué)中，至少體現(xiàn)了七大創(chuàng)新，這些都是平時(shí)學(xué)習(xí)和反思的結(jié)果：

1.復(fù)習(xí)時(shí)測(cè)旗桿、古塔高度，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，懂得了數(shù)學(xué)的一個(gè)重要功能：很有用。

2.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)史的挖掘：世界上最早使用正切函數(shù)的是中國(guó)唐代天文學(xué)家一行（683年—727年)，他著書(shū)《大衍歷》，創(chuàng)造了九服晷影算法，不知不覺(jué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行了愛(ài)國(guó)主義教育，做到了潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲。

3.在學(xué)生動(dòng)手作圖的基礎(chǔ)上，多媒體展示單位圓作正切函數(shù)的全過(guò)程，既節(jié)約時(shí)間，又很好地利用現(xiàn)代化技術(shù)展示了精確的圖形。

4.得出正切函數(shù)的圖象后，要求學(xué)生用肢體語(yǔ)言展示，以加深印象。

5.發(fā)現(xiàn)自然界中的正切函數(shù)圖象：瀑布，并用古詩(shī)《望廬山瀑布》“日照香爐生紫煙，遙看瀑布掛前川。飛流直下三千尺，疑是銀河落九天。”引出。由于學(xué)生對(duì)此情景十分熟悉，當(dāng)用多媒體展示出來(lái)后，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣就更濃了。

7.正切函數(shù)的性質(zhì)還有一個(gè)書(shū)本上沒(méi)寫(xiě)，那就是：正切函數(shù)的圖象把整個(gè)坐標(biāo)平面分成無(wú)數(shù)部分，這樣和直線(xiàn)分平面的問(wèn)題就聯(lián)系起來(lái)了。

對(duì)本節(jié)課教學(xué)的七大創(chuàng)新是自我經(jīng)歷積累的結(jié)果；是從學(xué)生身上學(xué)習(xí)的結(jié)果；是和同事交流的結(jié)果；也是不斷學(xué)習(xí)新理論并應(yīng)用的教學(xué)實(shí)踐的結(jié)果。所有這些都是在不斷反思中取得的。