通過極點配置方法設計分流揚聲器

柳維瑋， 毛崎波,2

(1. 南昌航空大學 飛行器工程學院，南昌 330063； 2. 揚州大學 機械工程學院，江蘇 揚州 225127)

管道噪聲控制通常采用主動控制手段和阻尼材料隔聲吸聲的被動控制手段[1-2]。然而，龐大的控制系統(tǒng)和復雜的算法阻礙了主動控制噪聲的發(fā)展，運用隔聲吸聲材料的被動控制的效果隨噪聲頻率的降低隨之減弱的缺點也使得這種控制方式受到限制[3-4]。

近年來，壓電分流阻尼控制技術在結構振動控制領域受到了廣泛關注。

Fleming等[5]首先提出把分流阻尼技術推廣應用于噪聲控制，即在揚聲器電極兩端與分流電路相連接，通過設計分流電路使得分流揚聲器吸聲峰值的頻率改變。這種分流揚聲器技術的主要優(yōu)點在于控制系統(tǒng)不需要誤差傳感器，也不需要主動控制技術中的功放，結構簡單，調(diào)節(jié)參數(shù)方便，適于工程實踐推廣應用。Zhang等采用分流揚聲器主動控制對低頻的管道噪聲抑制展開了研究。Tao等采用了分流揚聲器和微穿孔板組合的方式對寬頻的管道噪聲控制取得良好的控制效果。Lissek等[6]為分流揚聲器設計了寬頻的分流電路。但是這些研究對分流揚聲器參數(shù)設計，特別是分流揚聲器最佳位置的選擇并沒有詳細闡述。

本文從建立分流揚聲器和管道的數(shù)學模型出發(fā)，提出極點配置方法設計分流揚聲器。推導出分流揚聲器RLC并聯(lián)電路的最佳參數(shù)值，以及分流揚聲器的最佳位置。并且通過數(shù)值計算驗證所設計的分流揚聲器控制管道噪聲的效果。

1 模型建立

1.1 管道揚聲器耦合模型

假設有一個長為Lx的管道，側邊裝有一個作為控制的揚聲器。揚聲器與分流電路相連接，相當于將壓電阻尼系統(tǒng)中的壓電換能器換為揚聲器，由此將這個揚聲器命名為分流揚聲器。管道和揚聲器的布置方式如圖1所示。

管道內(nèi)的模態(tài)壓力可以表示為[7]

(1)

式中:ρ0和c0分別為空氣密度和聲速；ζn為管道第n階聲模態(tài)的阻尼比；ωn為第n階固有頻率；Pn為對應第n階模態(tài)坐標下的聲壓系數(shù)；Fsh,n為由分流揚聲器在第n階所產(chǎn)生的模態(tài)壓強

(2)

式中：xsh為分流揚聲器紙盆表面的位移；Xsh為分流揚聲器的坐標位置；Ssh為分流揚聲器紙盆的面積；Ωn為第n階歸一化的聲模態(tài)函數(shù)

(3)

1.2 分流揚聲器模型

揚聲器的機械模型如圖2所示，揚聲器運動方程可表示為[8-9]

(4)

式中：Mm，Cm和Km分別為揚聲器的移動質(zhì)量，阻尼和剛度；Bl為音圈的力電耦合因數(shù)；I為電流；p為作用在紙盆上的壓強

(5)

圖2 揚聲器的機械模型Fig.2 Mechanical model of loudspeaker

式中：pF和pR分別為紙盆前面和背面的壓強；Vsh為揚聲器背腔體積。

然而式(4)中的揚聲器輸入電流I并不能直接得到，揚聲器等效電路原理圖如圖3所示。根據(jù)揚聲器的等效電路原理可以得到揚聲器的輸入電壓Vin與電流I的關系[10-11]

(6)

式中：Lm和Rm是揚聲器自身的電感和電阻；Bl為音圈的力電耦合因數(shù)。

對于所提出的分流揚聲器，由于沒有外接電源，所以Vin為分流電路兩端電壓，可以將其電壓定義為

Vin=-ZshI

(7)

式中：Zsh為分流電路的阻抗。

設計分流電路目的是通過改變分流電路的元件參數(shù)，調(diào)節(jié)揚聲器等效質(zhì)量、阻尼和剛度，從而改變揚聲器的固有頻率和阻尼比。為此選擇采用如圖3所示的分流電路?；舅悸窞? 首先通過集成運放實現(xiàn)負電阻和負電感來抵消揚聲器自身的電阻值及電感值，再加入一組并聯(lián)的RLC電路，使得揚聲器的固有頻率和阻尼比可以獨立調(diào)節(jié)。

由圖3所示電路元件的連接方式可以得到分流電路的等效阻抗為

(8)

式中：Cs，Rs和Ls分別為分流電路中并聯(lián)的電容、電阻和電感。

圖3 分流電路原理圖Fig.3 Shunt circuit schematic

將式(4)和式(6)～式(8)聯(lián)立求解，整理后可以得到

(9)

從式(9)可以發(fā)現(xiàn)，分流電路中的電容Cs、電阻Rs和電感Ls分別改變的是分流揚聲器的等效質(zhì)量、等效阻尼和等效剛度。當預想調(diào)節(jié)分流揚聲器的固有頻率時，可以通過調(diào)節(jié)分流電路的電容值Cs，也可以通過調(diào)節(jié)分流電路的電感值Ls使分流揚聲器固有頻率改變。這里假設電容值Cs為定值，通過調(diào)節(jié)分流電路的電感值Ls使其固有頻率改變。

2 極點配置方法

考慮作為輸出量的聲壓系數(shù)Pn，將式(9)代入式(1)中，并對其進行拉式變換，整理可以得到極點的特征方程

(10)

式中:Msh=Mm+(Bl)2·Cs;Csh=Cm+(Bl)2/Rs;Ksh=KT+(Bl)2/Ls。

通過式(10)的形式可以知道特征方程在復平面有兩對共軛復根。假設這兩對共軛復根為s1,2=A1±iB1，s3,4=A2±iB2， 其中A1和A2是負實數(shù)。由文獻[12]可知，對于系統(tǒng)的動態(tài)響應，極點離虛軸越遠動態(tài)分量衰減越快，并且起主導作用的是離虛軸最近的主導極點。定義主導極點與虛軸距離為rd=min{|Re(si)|}。因此，對分流電路的優(yōu)化即是將主導極點與虛軸距離rd最大化。也就是說，只有當A1=A2=A，B1=B2=B時，rd的值最大。所以可以把式(10)重新表示為

(s2-2sA+A2+B2)2=0

(11)

將式(11)展開表示為

s4+(-4A)·s3+(6A2+2B2)·s2+
(-4A3-4AB2)·s+(A2+B2)2=0

(12)

若要使rd的值最大，則式(10)必須滿足式(12)的形式，由此得到4個代數(shù)方程

(13)

由于前面假設電感值Cs為定值，即Msh為定值。通過求解式(13)即可得到分流揚聲器的最佳等效阻尼以及最佳等效剛度,再將其代入式(10)中，即可以得到分流電路的最佳電阻值以及最佳電感值

(14)

(15)

從式(14)可以看出，最佳電阻值不僅與所控制的頻率有關，還與分流揚聲器的位置Xsh有關。

3 數(shù)值計算

根據(jù)第2節(jié)所建立的揚聲器-管道模型，假設管道及揚聲器參數(shù)如表1及表2所示。通過MATLAB軟件編程計算得到管道噪聲的前四階固有頻率分別為: 147 Hz, 289 Hz, 431 Hz, 574 Hz?，F(xiàn)在設計揚聲器分流電路，分別控制管道的前四階噪聲，選用電容值為Cs=100 nF，運用極點配置方法，通過式(15)可得分流電路參數(shù)的最佳電感值分別為: (Ls)opt1=0.002 8 H，(Ls)opt2=6.574×10-4H， (Ls)opt3=2.911×10-4H， (Ls)opt4=1.633×10-4H。

表1 管道參數(shù)表Tab.1 Duct parameters

表2 揚聲器參數(shù)表Tab.2 Loudspeakers parameters

當分流揚聲器位于Xsh=0.8 m時，由式(14)可知，控制前四階模態(tài)時的最佳電阻值分別為(Rs)opt1=5.086 Ω，(Rs)opt2=4.978 Ω，(Rs)opt3=2.103 Ω，(Rs)opt4=4.775 Ω。所得控制效果如圖4所示，從圖4可以發(fā)現(xiàn)，本文所提出的分流揚聲器的設計方法能夠有效控制所針對的模態(tài)。

為了進一步分析分流揚聲器的控制效果，通過改變分流揚聲器的位置Xsh，得到分流揚聲器不同位置時，控制前四階管道噪聲模態(tài)的最佳電阻值曲線圖，如圖5所示。

通過前面的分析可知，分流電路中的電阻值與分流揚聲器的等效阻尼密切相關。而最佳電阻值的選取與分流揚聲器的位置有關，這就表示分流揚聲器的位置對管道噪聲的控制效果有很大影響。并且從圖5可以發(fā)現(xiàn)，對于控制管道噪聲的不同模態(tài)，最佳電阻值的選取也隨之變化，這說明控制管道噪聲的不同模態(tài)，布置分流揚聲器的最佳位置不同。

圖4 管道噪聲控制效果圖Fig.4 Duct noise control effect diagram

圖5 分流揚聲器不同位置時最佳電阻值曲線圖Fig.5 Optimal resistance value curve of different shunt loudspeaker position

分別取管道噪聲的前四階固有頻率的±50 Hz的頻帶作為研究對象。將分流揚聲器的位置作為變量，將控制前管道噪聲的聲壓均方與控制后管道噪聲的聲壓均方之差比上激勵源聲壓均方的值作為目標衰減值，作出曲線，如圖6所示。從圖中可以看出，分流揚聲器控制效果基本沿著X方向?qū)ΨQ分布?？刂乒艿涝肼暤谝浑A模態(tài)時，最佳分流揚聲器位置在管道的端口處；控制管道噪聲第二階模態(tài)時，最佳分流揚聲器位置位于管道中間處；控制管道噪聲第三階模態(tài)時，最佳分流揚聲器位置位于2/3管道長度位置或端口處；而控制管道噪聲第四階模態(tài)時，最佳位置可以選擇為1/4倍數(shù)管道長度位置處。這是因為，當分流揚聲器位于模態(tài)節(jié)線位置時，控制效果很差，而當分流揚聲器位于目標模態(tài)的最大幅值最大值位置時，控制效果最好。

圖6 分流揚聲器控制管道噪聲的評價控制效果Fig.6 The evaluation control effect of shunt loudspeaker control duct noise

4 實驗研究

根據(jù)前面所述的方法搭建實驗平臺，其管道以及揚聲器的參數(shù)同數(shù)值計算中表1和表2所用參數(shù)一致。采用均布的五個檢測麥克風來測試管道內(nèi)的聲壓。實驗圖片如圖7所示。

圖7 實驗圖片F(xiàn)ig.7 Material photo of experiment

選擇第一階模態(tài)作為控制對象。根據(jù)前面數(shù)值計算分析的結果，最優(yōu)的分流揚聲器位置位于管道端口處Xsh=0，分流電路的最佳電感值與最佳電阻值分別為(Ls)opt1=0.002 8 H， (Rs)opt=3.705 8 Ω。選擇與第一階固有頻率相同的147 Hz單頻噪聲源信號進行激勵，其控制結果如圖8所示。

從圖8中可以看出，檢測麥克風輸出量明顯下降。由于是手動開關控制，所以響應圖略帶毛刺，而系統(tǒng)的響應速度快?？刂坪蟮穆晧杭s為控制前聲壓的35%。這驗證了所設計的分流揚聲器控制管道噪聲的可行性以及對其數(shù)值計算的正確性。

圖8 第一階固有頻率噪聲控制效果圖Fig.8 First natural frequency noise control effect diagram

5 結 論

通過建立分流揚聲器以及管道-揚聲器耦合的數(shù)學模型出發(fā)，得到控制系統(tǒng)的極點特征方程。運用主導極點決定系統(tǒng)動態(tài)衰減快慢的特性，假設分流電路所采用的電容值為一定值，從極點特征方程中求解得到分流揚聲器的最佳等效阻尼和最佳等效剛度，從而計算出最佳電感值以及最佳電阻值。通過分析不同的分流揚聲器位置，得到最佳電阻值曲線，并且計算得到不同模態(tài)下的管道噪聲的平價控制效果，從而得到最佳的分流揚聲器位置處于模態(tài)最大值處。采用數(shù)值計算和實驗檢驗所設計的分流揚聲器對管道噪聲的控制效果，結果表明: 采用極點配置方法所設計的分流揚聲器控制管道噪聲的效果良好。