基于MARKOV切換拓?fù)渫ㄐ挪呗缘淖灾鬈囮?duì)控制

吳利剛，喬 棟，周 倩

(1.山西大同大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山西大同037003；2.山西大同大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院，山西大同037003；3.山西大同大學(xué)商學(xué)院，山西大同037009)

隨著城市化進(jìn)程的快速發(fā)展，道路擁擠問題已成為中國各大城市面臨的主要交通問題，每年由交通擁擠、交通事故及環(huán)境污染所造成的損失耗資達(dá)數(shù)十億美元。僅僅通過增加道路面積來提升道路的通行能力，是指標(biāo)不治本的。通過智能交通系統(tǒng)中的自主車隊(duì)控制（控制車輛以隊(duì)列的形式自主安全行駛）來增加交通流量，減少交通事故是首選方法[1-3]。

關(guān)于自主車隊(duì)的控制研究已經(jīng)取得大量的成果[4-5]，但現(xiàn)有的研究大多忽視了以下兩個(gè)方面：（1）在已有的研究成果中，大多是基于領(lǐng)頭車-前車通信策略的前提，對(duì)車輛的網(wǎng)絡(luò)受限進(jìn)行研究的，這在實(shí)際中是難以應(yīng)用的；（2）車輛間通訊問題不僅僅是只于前車或領(lǐng)頭車有關(guān)系，應(yīng)考慮整個(gè)車隊(duì)間的車輛通信，來最大限度的增大道路的通行能力。

針對(duì)上述兩個(gè)問題，本文采用動(dòng)態(tài)的通訊策略，且車輛間的網(wǎng)絡(luò)通訊策略的切換可用Markov過程描述，并將自主車隊(duì)控制系統(tǒng)建模為Markovian跳變系統(tǒng)，并為跟隨車輛設(shè)計(jì)了分布式切換控制器。

1 車隊(duì)建模和基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 圖論

車輛間的相互關(guān)系，可以用有向圖G(υ,ε,Λ)建模，頂點(diǎn)υ∈{υ1,…,υN}代表N輛車組成的集合，邊ε?υ×υ表示車輛間通訊關(guān)系的集合，Λ=[aij]表示權(quán)重連接矩陣。例如，(υi,υj)∈ε，aij＞0表示車輛i可以接收到車輛j的狀態(tài)信息；否則(υi,υj)?ε和aij=0。對(duì)于網(wǎng)絡(luò)化自主控制車隊(duì)，aii=0成立。邊(υi,υj)中，υj表示頭節(jié)點(diǎn)，υi表示尾節(jié)點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)邊序列 (υi,υk)，(υk,υl)，…，(υm,υj)稱為從車輛i到車輛j的一條有向路徑。如果根節(jié)點(diǎn)(只有子節(jié)點(diǎn)，沒有父節(jié)點(diǎn))到其他節(jié)點(diǎn)都有一條有向路徑，則稱這個(gè)圖具有一個(gè)有向生成樹，也就是說領(lǐng)頭車的狀態(tài)信息通過一條有向的通信路徑傳送到跟隨車輛。υi的鄰節(jié)點(diǎn)可用Ni=(υj∈υ：(υi,υj)∈ε)表示，節(jié)點(diǎn)υi的入度表示為，入度矩陣為Δ=diag{d1,…dN}，拉普拉斯矩陣為L(zhǎng)=Δ-ΛT。相應(yīng)的出度為，出度矩陣為，拉普拉斯列矩陣Lo=Δo-ΛT。如果某節(jié)點(diǎn)的入度等于出度，則這個(gè)點(diǎn)是平衡的。當(dāng)且僅當(dāng)有向圖含有一個(gè)有向生產(chǎn)樹，則0是La?placian矩陣L的單一特征值，其它特征值都具有正實(shí)部。矩陣L的重要特征值是每行元素的和為0，所以1是0特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。

1.2 Markov切換拓?fù)?/h3>

在每個(gè)采樣瞬時(shí)k，車輛間的通訊關(guān)系可用有向生成樹表示，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)代表每一輛車，而車輛間的通訊關(guān)系用邊來表示。本文采用的通信拓?fù)涫遣淮_定的，而且是隨機(jī)切換的。假設(shè)切換拓?fù)渫ㄟ^一個(gè)圖的集合而且切換信號(hào)用{θ(k),k∈N+}表示。這里，假設(shè){θ(k),k∈N+}是一個(gè)有限集合的 Markov鏈，θ(k)∈S={1,…,q}，轉(zhuǎn)移概率Pr o{θ(k+1)=v|θ(k)=l}=πl(wèi)v，且 Pr o(θ(k)=l)=πl(wèi)(k)。這里 Pr o(θ(0)=l)=π0l，π0l是圖Gl，?l∈S的初始概率。Π0=[π01,…,π0q]T是初始概率分布。πl(wèi)(k)是圖Gl在k時(shí)刻的轉(zhuǎn)移概率，Π(k)=[π1(k),…,πq(k)]T是拓?fù)淠Ｊ皆趉時(shí)刻的轉(zhuǎn)移概率。πl(wèi)v是從模式l到模式v的但不轉(zhuǎn)移概率，且，?l∈S。 π=[πl(wèi)v]q×q是轉(zhuǎn)移概率矩陣。因此，Π(k+1)=πTΠ(k)成立。矩陣 Λ(θ(k))的鄰接矩陣和圖G(θ(k))的拉普拉斯矩陣分別定義為Λ(θ(k)) ∈{Λ1,Λ2,…Λq} 和L(θ(k)) ∈{L1,L2,…Lq} 。

注1：由于θ(k)∈S={1,…,q}是一個(gè)有限狀態(tài)的Markov鏈，平穩(wěn)分布總是存在的。而且，對(duì)于Mar?kov鏈至少存在一個(gè)正回歸閉集。由于每一個(gè)拓?fù)涠己幸粋€(gè)有向生成樹，因此Markov鏈?zhǔn)遣恍枰闅v的，則要求Markov鏈?zhǔn)潜闅v的。對(duì)于遍歷性的放寬，使得本文對(duì)于切換拓?fù)涞氖褂酶邔?shí)用性。

1.3 奇異系統(tǒng)的基本概念

對(duì)于奇異系統(tǒng)Ex(k+1)=Ax(k)，令E，A∈Rn×n，則

定義1：當(dāng)?s∈C，det(sE-A)≠0時(shí)，則矩陣束(E,A)是正則的；

定義2：對(duì)于任意的?s∈C，并且 deg(d et(sE-A))=rank(E)成立時(shí)，則矩陣束(E,A)是因果的。

定義3：如果矩陣束(E,A)是正則的、因果的且漸近穩(wěn)定的，則(E,A)是可接受的。

引理1：矩陣束(E,A)是可接受的，當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣P∈Rn×n滿足ETPE≥0和ATPA-ETPE＜0。

1.4 車隊(duì)建模

對(duì)于網(wǎng)絡(luò)化車隊(duì)控制系統(tǒng)，奇異的跟隨車輛動(dòng)態(tài)模型為：

其中，i=1,2,…,N，xi(k)∈Rn和ui(k)∈Rm是車輛i的狀態(tài)向量與控制輸入，g(xi,k)∈Rn×n是連續(xù)的非線性項(xiàng)，A∈Rn×n和B∈Rn×m為定常矩陣，E∈Rn×n，且rank(E)=r＜n，xi(0)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

假設(shè) 1：如果存在矩陣M∈Rn×n，對(duì)于x，y∈Rn，不等式

成立，則g(x,k)滿足Lipschitz條件。

假設(shè)2：系統(tǒng)(1)是Y-可控的，當(dāng)且僅當(dāng)

成立。

本文的目標(biāo)是為跟隨車輛設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)如下形式的控制律

達(dá)到期望的車間距誤差。其中K(θ(k))是需要設(shè)計(jì)的控制器增益矩陣。

定義4：網(wǎng)絡(luò)化自主車隊(duì)控制系統(tǒng)，在任意初始狀態(tài)xi(0)和控制律(4)的作用下，且車輛間通訊的Markov切換拓?fù)錆M足集合，能夠達(dá)到均方一致性(AMS-consensus)和正則和因果的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于i，j=1,2,…,N，

成立。

2 穩(wěn)定性分析及控制器設(shè)計(jì)

問題1：對(duì)于切換Markov通訊策略的網(wǎng)絡(luò)化自主車隊(duì)控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)控制器律(4)使得車隊(duì)控制系統(tǒng)達(dá)到AMS-consensus。

通過求解問題1，本文首先獲得網(wǎng)絡(luò)化自主車隊(duì)控制系統(tǒng)（1）AMS-consensus穩(wěn)定的一個(gè)充分條件。基于上述條件，給出了控制器設(shè)計(jì)算法。

令I(lǐng)k={x(t),θ(t),t=0,1,2,…k}，則車隊(duì)控制系統(tǒng)(1)在控制律(4)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)為：

通過下面的引理2，可以獲得本文的主要結(jié)果。

引理2：給定矩陣

其中，T0是IN的正交補(bǔ)矩陣且滿足=I。類似的變換，對(duì)于有向圖的拉普拉斯oN-1矩陣L∈RN×N、矩陣L0和矩陣LTL有

根據(jù)引理2，可以用如下的關(guān)系進(jìn)行狀態(tài)變量之間的轉(zhuǎn)換。

通過引理2，很容易獲得矩陣T是正交矩陣，而且通過矩陣?yán)碚摰南嚓P(guān)知識(shí)可知，矩陣的正交變換并不改變其范數(shù)。基于上述的討論，為了將系統(tǒng)(6)的一致性問題轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)(9)和(10)的穩(wěn)定性問題，需要下述的定義。

成立，對(duì)于k=0,1,…，任意的X?2(0)和β≥1，0＜ζ＜1。

本文的主要結(jié)果如下。

定理1：對(duì)于網(wǎng)絡(luò)化自主車隊(duì)控制系統(tǒng)(1)在控制律(4)的作用下，且通信策略滿足Markovian切換拓?fù)?，達(dá)到均方穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣Pl＞0、Pl∈R(N-1)n×(N-1)n、Q＞0、R＞0和l∈S，使得

證明：為了證明系統(tǒng)(9)和(10)的穩(wěn)定性，定義隨機(jī)Lyapunov函數(shù)：

其中，θ(k)∈S={1,…,q}。

令θ(k)=l，θ(k+1)=v和l,v∈S，可得

其中，Ψl=IN-1?A+Φl?BKl。

如果(12)成立，可得

通過(14)和(15)，可以獲得：

從而λmax(Fl)＜λmax(Pl)和0＜ζ＜1成立。

同理，為了獲得定義5的均方穩(wěn)定性條件，可得等式：

根據(jù)條件均值平滑特性的概念，通過(17)可得

通過遞歸(16)、(17)和(18)，可得

其中，β=λmax(Pθ(0))/λmin(Pθ(0))＞1和0＜ζ＜1。

通過定義5可知，系統(tǒng)(9)和(10)指數(shù)均方穩(wěn)定，所以網(wǎng)絡(luò)化自主車隊(duì)控制系統(tǒng)(1)在控制律(4)的作用下，且通信策略滿足Markovian切換拓?fù)洌_(dá)到均方穩(wěn)定。

下面給出了控制律(4)的設(shè)計(jì)方法，通過定理1和舒爾補(bǔ)定理可以獲得隨機(jī)控制器增益存在的充分條件。

定理2：對(duì)于網(wǎng)絡(luò)化自主車隊(duì)控制系統(tǒng)(1)在控制律(4)的作用下，且通信策略滿足Markovian切換拓?fù)?，達(dá)到均方穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣正定Pl、Ml∈R(N-1)n×(N-1)n滿足線性矩陣不等式

對(duì)于定理2的條件中存在許多矩陣的求逆約束，不能直接的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的線性矩陣不等式求解方法，可以通過錐互補(bǔ)線性的方法來求解不等式(20)和以下的控制算法。

MS-consensus算法：

步驟1：對(duì)于所有的l∈S，尋找可行集合滿足不等式(20)，否則退出。

步驟3：如果‖fk-fk-1‖＜δ成立，且δ設(shè)定的懲罰參數(shù)，可以獲得可行解K1，并且退出算法。否則，設(shè)置k=k+1，更新返回到步驟2。

注2：在實(shí)際應(yīng)用中，本小節(jié)所提出的協(xié)同式控制算法，相比文獻(xiàn)[6]，降低了對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型和通訊拓?fù)涞囊螅@得結(jié)果實(shí)用性更強(qiáng)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

通過MATLAB仿真軟件，使用Simulink搭建了由4輛車所組成的網(wǎng)絡(luò)化自主車隊(duì)控制系統(tǒng)，并將本文所提出的控制算法應(yīng)用到所搭建的模型中。

車輛的基本參數(shù)設(shè)置參照文獻(xiàn)[5]。車輛間通訊信息的傳輸可用三個(gè)有向圖={G1,G2,G3}表示，且每個(gè)有向圖代表了一個(gè)生產(chǎn)樹，見圖1。

圖1 有向圖集合

圖2 切換的馬爾科夫通訊拓?fù)湫蛄?/p>

通過MS-consensus算法，可以獲得控制器增益：

K1=[-0.1272 -0.5001]

K2=[-0.1241 -0.4878]

K3=[-0.1088 -0.4281]

圖3 相鄰車輛的車間距誤差

從仿真圖3可以看出，通過本章所設(shè)計(jì)的控制器，基于動(dòng)態(tài)Markov切換拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)通信的自主車隊(duì)控制系統(tǒng)，4輛跟隨車輛能夠與其直接前車達(dá)到期望的車間距。

4 結(jié)語

網(wǎng)絡(luò)化自主車隊(duì)中關(guān)于車輛狀態(tài)信息的交換問題，車輛間網(wǎng)絡(luò)通信不再是簡(jiǎn)單的前車或者領(lǐng)頭車通信策略，而且可以用動(dòng)態(tài)的Markov切換拓?fù)溥M(jìn)行描述。