雜波與色噪聲條件下彈載雷達(dá)波形設(shè)計(jì)*

鄭家毅,翁木云,何 麗,李 偉

(1 空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院,西安 710077;2 空軍電磁頻譜管理中心,北京 100800)

0 引言

隨著科技水平的進(jìn)步,導(dǎo)彈目標(biāo)向更小體積,更輕重量,更快速度發(fā)展[1],這就要求彈載雷達(dá)具有更高制導(dǎo)精度,而彈載雷達(dá)對目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能是制約導(dǎo)彈制導(dǎo)精度的關(guān)鍵因素之一。基于認(rèn)知理論,從優(yōu)化彈載雷達(dá)發(fā)射波形入手可有效提升彈載雷達(dá)對目標(biāo)的參數(shù)估計(jì)能力,為提升導(dǎo)彈對目標(biāo)檢測性能奠定基礎(chǔ)[2-3]。

圍繞雷達(dá)波形優(yōu)化設(shè)計(jì),Bell[4]首次提出了基于互信息量(MI)準(zhǔn)則的雷達(dá)波形設(shè)計(jì)方法;文獻(xiàn)[5-6]綜述了認(rèn)知雷達(dá)關(guān)鍵技術(shù)及目標(biāo)檢測的最優(yōu)波形設(shè)計(jì)方法;文獻(xiàn)[7]討論了MIMO雷達(dá)在MI和MMSE兩種準(zhǔn)則下的波形設(shè)計(jì),并指出在相同發(fā)射功率約束下,以這兩種準(zhǔn)則優(yōu)化波形能得到相同的效果;針對雜波、噪聲條件下雷達(dá)波形設(shè)計(jì)問題,文獻(xiàn)[8]利用信噪比(SNR)和互信息準(zhǔn)則(MI)研究了信號(hào)相關(guān)干擾條件下針對確定和隨機(jī)擴(kuò)展目標(biāo)的波形優(yōu)化問題;文獻(xiàn)[9]研究了色噪聲條件下基于MI和MMSE準(zhǔn)則的波形優(yōu)化,并指出波形優(yōu)化結(jié)果與目標(biāo)特征向量和色噪聲特征向量有關(guān);文獻(xiàn)[10]研究了基于MI準(zhǔn)則的MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)方法,并給出了目標(biāo)、雜波特征向量與噪聲特征向量間的匹配順序。雖然文獻(xiàn)[8-10]等為雜波、噪聲條件下雷達(dá)波形優(yōu)化提供了很多有價(jià)值的方法,且優(yōu)化效果良好,但由于前述研究僅限于目標(biāo)信息已知的波形優(yōu)化和優(yōu)化效果分析,且大多適用于MIMO雷達(dá),前述研究難以應(yīng)用于采用單天線的彈載雷達(dá)上。

針對上述問題,文中提出了雜波與色雜聲條件下基于線性最小均方誤差準(zhǔn)則(LMSE)的彈載雷達(dá)波形設(shè)計(jì)方法。該方法通過理論分析和推導(dǎo),在彈載雷達(dá)信號(hào)發(fā)射功率限制下,利用注水定理分配信號(hào)頻域能量,求解出優(yōu)化波形頻域能量分布具體表達(dá)式,從而提高彈載雷達(dá)對目標(biāo)參數(shù)估計(jì)及檢測性能。

1 彈載雷達(dá)制導(dǎo)信號(hào)模型

彈載雷達(dá)回波模型如圖1所示。雷達(dá)發(fā)射信號(hào)s(t)能量有限,觀測時(shí)間為[0,T],帶寬為W,其傅里葉變換為S(f);h(t)為某持續(xù)時(shí)間有限的隨機(jī)擴(kuò)展目標(biāo),傅里葉變換為H(f),與s(t)卷積得到目標(biāo)散射回波z(t),其傅里葉變換為Z(f);n(t)為高斯色噪聲,均值為0,傅里葉變換為N(f),功率譜密度為Snn(f);c(t)為雜波沖擊響應(yīng),采用零均值高斯隨機(jī)過程描述,傅里葉變換為C(f),功率譜密度為Scc(f),與信號(hào)s(t)卷積得到雜波d(t),其傅里葉變換為D(f)。h(t)、c(t)、n(t)相互間統(tǒng)計(jì)獨(dú)立;y(t)為彈載雷達(dá)接收數(shù)據(jù),對應(yīng)的傅里葉變換為Y(f)。

圖1 雷達(dá)回波模型

時(shí)域信號(hào)模型為:

y(t)=s(t)*h(t)+s(t)*c(t)+n(t)

(1)

頻域信號(hào)模型為:

Y=SH+SC+N

(2)

h(t)表征某隨機(jī)目標(biāo),持續(xù)時(shí)間為Th,其脈沖響應(yīng)均值為0,平均能量為:

(3)

(4)

E[|z(t)|2]=E[|s(t)*h(t)|2]

(5)

值得注意的是,E[|h(t)|2]可被看作是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程與一個(gè)矩形窗相乘得到,而E[|z(t)|2]是由一個(gè)時(shí)間有限的隨機(jī)脈沖響應(yīng)與一個(gè)時(shí)間有限的波形的卷積得到的,因此,E[|z(t)|2]在[0,T+Th]內(nèi)是非平穩(wěn)的,不能用平均功率去描述,因此利用能量譜方差來描述E[|z(t)|2]:

(6)

(7)

(8)

同理,雜波采樣點(diǎn)方差為:

(9)

εN(Fk)=Snn(f)TΔf

(10)

采樣點(diǎn)方差為:

(11)

2 基于線性最小均方誤差準(zhǔn)則(LMSE)的波形優(yōu)化算法

將認(rèn)知理論應(yīng)用于彈載雷達(dá)并根據(jù)某種特定準(zhǔn)則設(shè)計(jì)最優(yōu)波形可有效提升彈載雷達(dá)檢測[11-12]、識(shí)別及跟蹤等性能。目前波形設(shè)計(jì)大多在目標(biāo)信息已知的條件下開展研究,而彈載雷達(dá)剛開機(jī)時(shí)往往不具備充足的目標(biāo)信息,因此提出一種針對目標(biāo)最優(yōu)估計(jì)波形設(shè)計(jì)方法是必要的。以目標(biāo)參數(shù)估計(jì)值與真實(shí)值間線性最小均方誤差[13]為準(zhǔn)則(LMSE)來優(yōu)化波形能夠?qū)δ款l率響應(yīng)進(jìn)行貝葉斯估計(jì),且該估計(jì)方法僅需目標(biāo)與觀測值的前二階矩統(tǒng)計(jì)知識(shí),在實(shí)際工作中容易滿足,所以得到廣泛應(yīng)用。根據(jù)圖1回波模型,采樣點(diǎn)線性最小均方誤差估計(jì)子表達(dá)式為:

(12)

由于H與N為相互獨(dú)立且不依賴于發(fā)射信號(hào)的零均值高斯隨機(jī)變量,則有

(13)

上式對a求導(dǎo)并令其為0得:

E[2a-2H+bY]=0

(14)

故a=0。

對b求導(dǎo)并令其為零得:

E[2bY2-2HY]=0

(15)

(16)

在2ΔfT個(gè)采樣點(diǎn)上的總均方誤差為:

(17)

當(dāng)Δf→0時(shí),上式可利用積分得到線性均方誤差:

(18)

因此波形優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為以雷達(dá)發(fā)射機(jī)能量為限制,求目標(biāo)估計(jì)誤差最小值問題:

(19)

利用拉格朗日乘子法:

(20)

式中λ為拉格朗日乘子,對式(20)關(guān)于|S(f)|2求偏導(dǎo),令其結(jié)果為0,解得彈載雷達(dá)發(fā)射波形能量譜為:

(21)

(22)

令

(23)

(24)

(25)

(26)

考慮到發(fā)射信號(hào)能量譜非負(fù),優(yōu)化后信號(hào)能量譜可表示為:

(27)

3 仿真分析

仿真試驗(yàn)中,設(shè)彈載雷達(dá)發(fā)射信號(hào)載頻為fc=35 GHz,帶寬為W=10 MHz,彈載雷達(dá)觀測時(shí)間為1 ms,雷達(dá)接收機(jī)端采樣率為fs=20 MHz,根據(jù)多點(diǎn)散射模型產(chǎn)生目標(biāo)沖擊響應(yīng),雜波、色噪聲均為零均值高斯隨機(jī)過程,彈載雷達(dá)初始發(fā)射信號(hào)為線性調(diào)頻信號(hào),初始發(fā)射功率為P=10 W。

3.1 雜波色噪聲條件下波形優(yōu)化

圖2、圖3展示了目標(biāo)、雜波及色噪聲功率譜密度,最終優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。

圖2 目標(biāo)及雜波功率譜密度

圖3 色噪聲功率譜

圖4 優(yōu)化信號(hào)能量譜

由圖4可以看出,優(yōu)化后的波形主要將能量分配在目標(biāo)頻率響應(yīng)相對較大且雜波、色噪聲相對較小的頻段內(nèi),而在雜波、色噪聲較大的頻段處,發(fā)射信號(hào)能量分配較少甚至不分配能量。由前文分析可知,在雜波,色噪聲較強(qiáng)處,目標(biāo)頻率響應(yīng)真值與估計(jì)值間誤差較大,發(fā)射信號(hào)在該處分配較少的能量會(huì)降低總體均方誤差,該仿真結(jié)果與理論分析一致。

圖5 發(fā)射功率對均方誤差的影響

彈載雷達(dá)的參數(shù)估計(jì)性能往往受到信號(hào)發(fā)射功率限制。如圖5所示,隨著彈載雷達(dá)信號(hào)發(fā)射功率的增大,均方誤差逐漸減小,最后趨于穩(wěn)定。當(dāng)發(fā)射功率較小時(shí),優(yōu)化前后彈載雷達(dá)估計(jì)目標(biāo)頻率響應(yīng)的均方誤差相差較小,這是由于此時(shí)目標(biāo)回波與色噪聲、雜波相比較小,目標(biāo)頻率響應(yīng)難以估計(jì);隨著發(fā)射功率的提升,優(yōu)化前后均方誤差的差值逐漸增大,此時(shí)目標(biāo)回波增強(qiáng),且優(yōu)化后的發(fā)射信號(hào)能夠自適應(yīng)的調(diào)整發(fā)射信號(hào)能量譜密度,減小總體均方誤差,而LFM信號(hào)沒有利用環(huán)境信息;當(dāng)發(fā)射功率足夠大時(shí),色噪聲相比目標(biāo)回波較小,對估計(jì)誤差的影響可以忽略不計(jì),優(yōu)化前后性能差異逐漸縮小,因此總估計(jì)誤差趨于一個(gè)定值,即

該結(jié)論與圖5的仿真結(jié)果一致。綜上所述,相比優(yōu)化前信號(hào),以LMSE準(zhǔn)則設(shè)計(jì)彈載雷達(dá)波形能夠更精確的估計(jì)目標(biāo)頻率響應(yīng)。

3.2 波形優(yōu)化前后檢測性能分析

以LMSE為準(zhǔn)則優(yōu)化的發(fā)射信號(hào)相比LFM信號(hào)不僅能提升彈載雷達(dá)對目標(biāo)頻率響應(yīng)的估計(jì)精度,同時(shí)可有效改善雜波及色噪聲條件下對目標(biāo)的檢測性能。根據(jù)前文建立的彈載雷達(dá)信號(hào)模型,構(gòu)建一種合理的檢測準(zhǔn)則以檢測目標(biāo)是否出現(xiàn),則目標(biāo)檢測問題可描述為在兩種假設(shè)中進(jìn)行選擇:H0(目標(biāo)不存在)或H1(目標(biāo)存在)。該假設(shè)可進(jìn)一步表示為:

(28)

由于在真實(shí)場景中不能準(zhǔn)確獲取H信息,因此式(28)中H值可采用式(12)的估計(jì)值代替真實(shí)值。針對上述二元假設(shè)檢驗(yàn)問題可根據(jù)Neyman-Pearson準(zhǔn)則構(gòu)建最優(yōu)檢測器[12],而能夠表征該檢測器性能的一個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)為信雜噪比(SCNR)。波形優(yōu)化前后彈載雷達(dá)接收機(jī)端信雜噪比如圖6所示。

圖6中所示,以LMSE準(zhǔn)則優(yōu)化后的信號(hào)相比優(yōu)化前LFM信號(hào)能夠顯著提高彈載雷達(dá)接收機(jī)信雜噪比。值得注意的是,當(dāng)信號(hào)發(fā)射功率達(dá)到一定值時(shí),噪聲對信雜噪比的影響可忽略不計(jì),雷達(dá)接收機(jī)端信噪比趨于穩(wěn)定,即

LFM信號(hào)相比優(yōu)化信號(hào)信雜噪比提升速率更低,但最終也會(huì)達(dá)到相同的定值。在此基礎(chǔ)上,優(yōu)化前后彈載雷達(dá)對目標(biāo)檢測性能如圖7所示。

圖6 優(yōu)化波形與LFN波形SCNR

圖7 優(yōu)化波形與LFM波形檢測性能

圖7中展示了虛警概率分別為Pfa=10-2,Pfa=10-4及Pfa=10-6條件下,彈載雷達(dá)對目標(biāo)檢測概率隨發(fā)射功率變化趨勢。從圖中可以看出,當(dāng)虛警概率為Pfa=10-2,發(fā)射功率為250 W時(shí),彈載雷達(dá)發(fā)射優(yōu)化信號(hào)可最先達(dá)到最高檢測概率,而此時(shí)發(fā)射LFM信號(hào)的檢測概率僅為0.7,若要得到最高檢測概率,發(fā)射功率需達(dá)到500 W甚至更高;當(dāng)發(fā)射功率相同時(shí),隨著虛警概率的增大,彈載雷達(dá)發(fā)射優(yōu)化信號(hào)與LFM信號(hào)間檢測概率差異如表1所示:

表1 發(fā)射功率為500 W時(shí)檢測概率對比

從表1中可以看出,當(dāng)發(fā)射功率相同時(shí),虛警概率由Pfa=10-2變化到Pfa=10-6時(shí),發(fā)射信號(hào)優(yōu)化后檢測概率隨虛警概率變化下降0.2,而發(fā)射LFM信號(hào)后檢測概率變化0.71;當(dāng)虛警概率相同時(shí),發(fā)射優(yōu)化信號(hào)的檢測概率均高于LFM信號(hào)。綜上所述,相比LFM信號(hào),優(yōu)化信號(hào)能顯著提高彈載雷達(dá)對目標(biāo)的檢測概率且檢測性能更穩(wěn)定。

4 結(jié)論

導(dǎo)彈飛行速度快,信息獲取實(shí)時(shí)性要求高,如何能夠快速準(zhǔn)確的獲取目標(biāo)信息直接制約著導(dǎo)彈制導(dǎo)精度。針對以上問題,文中提出了一種在雜波與色噪聲條件下面向隨機(jī)擴(kuò)展目標(biāo)的彈載雷達(dá)波形優(yōu)化方法。該方法建立信號(hào)模型,基于認(rèn)知理論以線性最小均方誤差為準(zhǔn)則,采用注水法在頻域內(nèi)優(yōu)化彈載雷達(dá)發(fā)射信號(hào)能量分配,提升彈載雷達(dá)對目標(biāo)頻率響應(yīng)的估計(jì)能力。結(jié)果表明,算法可針對目標(biāo)頻率響應(yīng)、雜波及色噪聲的相對強(qiáng)度合理分配發(fā)射信號(hào)的頻域能量,提高目標(biāo)估計(jì)精度,進(jìn)一步提升彈載雷達(dá)對目標(biāo)檢測性能。