利用二次函數(shù)求解高中物理極值問題

張文正

摘要：高考物理考點涉及內(nèi)容廣泛，綜合性較強(qiáng)，能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求解物理過程可以充分體現(xiàn)高中學(xué)生的能力。可以說，物理使得數(shù)學(xué)具有實踐意義，而數(shù)學(xué)是解決物理問題的常用工具。當(dāng)需要解釋一個物理過程時，我們經(jīng)常會運(yùn)用一些數(shù)學(xué)模型，從而用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，如果該方法能夠被成功運(yùn)用，由此得以驗證數(shù)學(xué)理論的正確性。在高中物理的學(xué)習(xí)過程中，我們經(jīng)常遇到求極值的問題，二次函數(shù)在其中的運(yùn)用，不僅體現(xiàn)了學(xué)科間的互通，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實用性。

關(guān)鍵詞：高中物理；二次函數(shù)；運(yùn)用

高中物理習(xí)題中經(jīng)常出現(xiàn)“恰好”、“最大”、“至少”等類似字眼，這些詞正是暗示我們需要求極值解題。所謂極值，就是某個變量在一過特定程中的最大值和最小值。物理這門學(xué)科正是研究物體發(fā)展變化的規(guī)律，往往物理過程的研究需要劃定一定范圍，這一范圍就是我們要求的極值。極值問題在平時習(xí)題以及高考試卷中屢見不鮮，此類問題往往綜合性強(qiáng)，經(jīng)常難倒不少同學(xué)。通常情況下，我們可以用二次函數(shù)法、均值不等式法、三角函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、求導(dǎo)、物理分析等方法，本文將重點介紹二次函數(shù)法。

一、二次函數(shù)概述

二次函數(shù)的一般表達(dá)式： （其中a≠0），

其常用形式還有： ，

當(dāng)a>0時，函數(shù)圖像即拋物線開口向上，當(dāng)x=- 時，函數(shù)有最小值 ；

當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，當(dāng)x=- 時，函數(shù)有最大值 。

以上是二次函數(shù)的基本性質(zhì)，也是我們利用二次函數(shù)求解物理問題的基本知識點。除了公式內(nèi)容我們要做到爛熟于心以外，對于基礎(chǔ)不扎實的同學(xué)來說，需要經(jīng)常練習(xí)畫函數(shù)圖像，以此來熟練基本知識。

二、應(yīng)用實例

在學(xué)習(xí)高中物理的過程中，我們經(jīng)常會遇到運(yùn)用二次函數(shù)求極值的問題，這種情況下，我們一般都是先根據(jù)題目設(shè)出未知數(shù)，解題過程中將相關(guān)物理量用含有此未知數(shù)的表達(dá)式表示出來，聯(lián)立方程組，然后再用配方法或結(jié)合二次函數(shù)的圖像求出此極值，從而解決問題。下面以例題具體分析。

如右圖所示，用相同導(dǎo)體制成的金屬框abcd上放有一金屬桿MN，金屬框bc邊與x軸重合，其中b為坐標(biāo)原點，金屬框長2L，寬為L，單位長度電阻記為R，在與金屬框垂直的方向上有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，這時，金屬桿MN受到沿x軸正向的外力，其從金屬框左端開始，以速度v勻速向右運(yùn)動，不計摩擦阻力。（1）試確定在金屬桿運(yùn)動過程中，桿中電流與坐標(biāo)的關(guān)系；（2）試確定作用在金屬桿MN上的外力最大值與最小值。

解：（1）設(shè)在MN桿運(yùn)動的過程中，任一時刻MN所處位置的坐標(biāo)為x，設(shè)桿左側(cè)部分金屬框的總電阻為R1，而右側(cè)部分金屬框的總電阻為R2，因此有：

當(dāng)桿運(yùn)動起來切割磁感線時，其相當(dāng)于電源，根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得

MN切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=BLv

所以，桿中電流為： .

（2）由受力平衡可知，作用在桿上的外力大小等于桿受的安培力。結(jié)合二次函數(shù)的極值可知，當(dāng)x=L時，外電路總電阻最大，MN中的電流最小， 則其所受的安培力也最小，此時，最小電流 ，最小力 ；同理，當(dāng)x=0或x=2L時，可得 ， 。

在解答本道例題的過程中中，不少同學(xué)感到棘手，其實從這道例題來看，物理過程相對來說難度并不大，還是把電磁感應(yīng)作為基本考點，只是涉及到的函數(shù)形式復(fù)雜了一些，我們只要把每個物理量的表達(dá)式清楚地寫出來，然后結(jié)合數(shù)學(xué)知識，先利用已知條件構(gòu)造出二次函數(shù)，如本題中關(guān)于電阻的二次函數(shù)形成以后，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)圖像開口向下，所以極大值在頂點處取得，至此，本道題目得以解出。

三、結(jié)語

綜上所述，當(dāng)題目中遇到“界”、“最大值”、“最小值”等字眼時，求極值成為必由之路。利用二次函數(shù)求解物理題目的過程中，我們都是先設(shè)出未知數(shù)，其次利用物理過程構(gòu)造出二次函數(shù)，最后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)找出極值。在此過程中，尤其需要注意看清一元二次方程的結(jié)構(gòu)組成，正確判斷函數(shù)圖像的開口方向。此外，求極值我們也可以參考利用三角函數(shù)、均值不等式等方法，各種方法融會貫通才能做到活學(xué)活用。最后，筆者認(rèn)為，掌握這類問題的特點，加強(qiáng)這方面的練習(xí)，有助于我們理解、推理、分析能力的提升。

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