例析2018年高考萬有引力試題

摘要：就2018年全國卷及京、津、瓊、蘇四省市高考萬有引力部分題從模型構(gòu)建、思路點撥等角度作了分析.

關(guān)鍵詞：萬有引力；高考試題

作者簡介：胡小波（1979-），男 ，安徽桐城人，碩士，中學一級教師，研究方向：中學物理學科教學.

萬有引力定律是高中物理力學部分的重要定律，以萬有引力定律與牛頓運動定律相結(jié)合為背景命制的試題在歷年高考中屢屢出現(xiàn)，可見作為經(jīng)典力學中最基本的定律之一的萬有引力定律是高考的必考點，2018年全國卷和部分自主命題的省份也不例外.

1萬有引力部分的考查形式、考查內(nèi)容及試題分布

表1

全國卷1全國卷2全國卷3北京卷天津卷海南卷江蘇卷

考查形式多項選擇題單項選擇題單項選擇題單項選擇題不定項選擇題單項選擇題單項選擇題

題號分布20（全卷）、7（物理部分）15（全卷）、3（物理部分）15（全卷）、2（物理部分）17（全卷）、5（物理部分）621

考查內(nèi)容雙星系統(tǒng)維持天體穩(wěn)定運動的最小密度計算衛(wèi)星運動參數(shù)（周期）比較月地檢驗衛(wèi)星相關(guān)物理量的計算火星和土星運動參數(shù)比較人造衛(wèi)星運動參數(shù)比較

所占分值6666643

對2018年全國卷及京、津、瓊、蘇四省市高考萬有引力試題的統(tǒng)計分析不難發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：一是考查的題型都是選擇題，其中全國卷1為多選題，天津卷為不定項選擇題，其余均為單項選擇題；二是題目分布從第一題至第七題不等.其中江蘇卷設(shè)置在全卷的第一題，難度較低，全國卷1設(shè)置在物理部分的第7題，即物理部分選擇題的倒數(shù)第2題，有一定的難度；三是考查內(nèi)容有衛(wèi)星的運行參數(shù)比較（如全國卷3、江蘇卷和海南卷）、月地檢驗（北京卷、天體自轉(zhuǎn)不解體的最小密度計算（全國卷2）及雙星系統(tǒng)（全國卷1）；四是考查的類型均以單獨考查某個知識點為主；五是分值在3到6分之間.

2試題剖析

21衛(wèi)星運動參數(shù)的比較、計算

【真題再現(xiàn)】

例1（2018江蘇）我國高分系列衛(wèi)星的高分辨對地觀察能力不斷提高.今年5月9日發(fā)射的“高分五號”軌道高度約為705km，之前已運行的“高分四號”軌道高度約為36 000km，它們都繞地球做圓周運動.與“高分四號冶相比，下列物理量中“高分五號”較小的是

A.周期B.角速度

C.線速度D.向心加速度

例2（2018海南）土星與太陽的距離是火星與太陽距離的6倍多.由此信息可知

A.土星的質(zhì)量比火星的小

B.土星運行的速率比火星的小

C.土星運行的周期比火星的小

D.土星運行的角速度大小比火星的大

例3（2018全國卷3）為了探測引力波，“天琴計劃”預(yù)計發(fā)射地球衛(wèi)星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍.P與Q的周期之比約為

A.2∶1 B.4∶1C.8∶1D.16∶1

例4（2018天津）2018年2月2日，我國成功將電磁監(jiān)測試驗衛(wèi)星“張衡一號”發(fā)射升空，標志我國成為世界上少數(shù)擁有在軌運行高精度地球物理場探測衛(wèi)星的國家之一.通過觀測可以得到衛(wèi)星繞地球運動的周期，并已知地球的半徑和地球表面處的重力加速度.若將衛(wèi)星繞地球的運動看作是勻速圓周運動，且不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以計算出衛(wèi)星的

A.密度B.向心力的大小

C.離地高度D.線速度的大小

【模型構(gòu)建】將人造地球衛(wèi)星繞地球運動（或行星繞太陽運動）看成是勻速圓周運動.

【思路點撥】人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時，由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供向心力，設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星的線速度、角速度、周期、向心加速度和軌道半徑分別為v、ω、T、a、r

則由GMmr2=mv2r=mω2r=m（2πT）2r=ma得，v=GMr∝1r，ω=GMr3∝1r3，T=4π2r3GM∝r3，a=GMr2∝1r2；由此可知，軌道越低（r越?。?，線速度越大，角速度越大，向心加速度越大，周期越小，這可作為圓軌道衛(wèi)星運行快慢判定的二級結(jié)論，在選擇題或填空題中可直接利用，大大節(jié)約解題時間，提高解題效率.

【試題解析】

例1和例2：由圓軌道的衛(wèi)星軌道半徑越小，線速度、角速度、向心加速度越大，周期越小易得例1選A，例2選B；

由例3，衛(wèi)星的周期TPTQ=r3pr3Q=（16R）3（4R）3=81得

TPTQ=r3pr3Q=（16R）3（4R）3=81，式中R為地球半徑，故例3選C.

由例4，萬有引力提供向心力GMmr2=m（2πT）2r，結(jié)合黃金替換GM=gR2易求出衛(wèi)星的軌道半徑r=3gR2T24π2，衛(wèi)星的高度h=r-R隨之求出；因衛(wèi)星的軌道半徑與衛(wèi)星運行速度一一對應(yīng)，可由GMmr2=mv2r確定出衛(wèi)星運動的速度大小，故例4選CD.因衛(wèi)星本身質(zhì)量、體積均無法得知，故衛(wèi)星所受向心力和密度均無法求出，排除AB.

22月地檢驗

【真題再現(xiàn)】

例5（2018北京）若想檢驗“使月球繞地球運動的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規(guī)律，在已知月地距離約為地球半徑60倍的情況下，需要驗證

A.地球吸引月球的力約為地球吸引蘋果的力的1/602

B.月球公轉(zhuǎn)的加速度約為蘋果落向地面加速度的1/602

C.自由落體在月球表面的加速度約為地球表面的1/6

D.蘋果在月球表面受到的引力約為在地球表面的1/60

【模型構(gòu)建】月球繞地球的運動看作勻速圓周運動，地面上的物體受地球的萬有引力等于重力（忽略物體隨地球自轉(zhuǎn)需要的向心力）.

【思路點拔】 月球繞地球的運動需要向心力，其來源為地球?qū)υ虑虻奈?，其向心加速度由引力產(chǎn)生，同樣，在地面附近使蘋果下落的力仍來源于地球的吸引，其下落的重力加速度由地球的吸引力產(chǎn)生，若要證實這兩個力是同種性質(zhì)的力（都與距離的平方成反比），只要驗證月球運動的向心加速度與蘋果下落的重力加速度的大小關(guān)系即可.

【試題解析】

設(shè)有一質(zhì)量為m的蘋果在月球的軌道上繞地球做勻速度圓周運動，由地球?qū)ζ渥饔昧μ峁┫蛐牧Φ茫篎1=mg向，再設(shè)同樣的蘋果在地球表面附近自由下落，地球?qū)ζ渥饔昧礊槠涫艿降闹亓Γê雎噪S地球自轉(zhuǎn)需要的向心力）有：F2=mg，若能得出F1F2=a向g=（Rr）2，式中R、r分別是地球半徑和月球的軌道半徑，即若能通過觀測計算出月球軌道上蘋果的向心加速度與地球表面處的重力加速度之比等于它們各自到地心距離的平方反比，則驗證了使月球（月球軌道上的蘋果）繞地球運動的力和使地面附近蘋果下落的力是同一種性質(zhì)的力（都具有與距離的平方成反比這一性質(zhì)），因r=60R，故只要滿足月球公轉(zhuǎn)的加速度約為蘋果下落的加速度的（160）2，本題選B.

23天體穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的密度約束

【真題再現(xiàn)】

例6（全國卷2）2018年2月，我國500m口徑射電望遠鏡（天眼）發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318+0253”，其自轉(zhuǎn)周期T=5.19ms，假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為667×10-11N·m2/kg2.以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為

A.5×109kg/m3B.5×1012kg/m3

C.5×1015kg/m3D.5×1018kg/m3

【模型構(gòu)建】假定脈沖星為質(zhì)量分布均勻的球體，自轉(zhuǎn)時繞自身軸做勻速圓周運動

【思路點撥】星球自轉(zhuǎn)時，如若自身轉(zhuǎn)動的角速度不斷加快，則赤道處的物體最先因引力不足以提供其隨星球轉(zhuǎn)動所需向心力，便離星球而去，即被星球“甩”出去（對星球而言，會最先從赤道處開始瓦解），因而對于每個以確定角速度自轉(zhuǎn)的星球，星球?qū)Τ嗟捞幍奈矬w的引力必須大于或等于其隨星球轉(zhuǎn)動需要的向心力，臨界情況取等于，故對星球的質(zhì)量體積均有一定的要求，即對星球的密度有一定的大小約束.

【試題解析】

設(shè)脈沖星的質(zhì)量、半徑分別為M、R，脈沖星赤道處有一質(zhì)量為m的物體，其受到脈沖星對其萬有引力的大小為GMmR2，其效果有兩個，一是提供隨脈沖星轉(zhuǎn)動需要的向心力，大小為F向=m（2πT）2R，方向指向球心，二是物體在赤道處的重力，大小為mg，方向指向球心，顯然有GMmR2=m（2πT）2R+mg，星球穩(wěn)定運行時必有GMmR2≥m（2πT）2R，因星球可看作均勻的球體，密度ρ=MV=M43πR3，由此兩式可得ρ≥3πGT2，代入相關(guān)參數(shù)得ρ≥5×1015kg/m3，取最小值5×1015kg/m3，本題選 C.

24雙星系統(tǒng)

【真題再現(xiàn)】

例7（全國卷1）2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波.根據(jù)科學家們復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100s時，它們相距約400 km，繞二者連線上的某點每秒轉(zhuǎn)動12圈，將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星

A.質(zhì)量之積B.質(zhì)量之和

C.速率之和D.各自的自轉(zhuǎn)角速度

【模型構(gòu)建】 兩顆行星均繞它們連線上的一點做勻速圓周運動，具有相同的運行周期和角速度

【思路點撥】兩顆行星做勻速圓周運動所需的向心力是由它們之間的萬有引力提供的，故兩行星做勻速圓周運動的向心力大小相等. 兩顆行星做勻速圓周運動的半徑r1和r2與兩行星間距L的大小關(guān)系：r1+r2=L.

【試題解析】

設(shè)兩星質(zhì)量分別為m1、m2，都繞連線上的O點做周期為T的勻速圓周運動，星球1和星球2離O點的距離分別為r1和r2 ，由萬有引力提供向心力，對m1有：

Gm1m2L2=m1（2πT）2r1①

對m2有

Gm1m2L2=m2（2πT）2r2②

兩者圓周運動的半徑r1和r2的關(guān)系為

r1+r2=L.③

由①②③解得

r1=m2m1+m2L

r2=m1m1+m2L

m1+m2=4π2L3GT2

速率之和

v1+v2=ωr1+ωr2=2πLT

故BC選項正確.

3小結(jié)與反思

通過對2018年全國卷及京、津、瓊、蘇四省市萬有引力部分的高考試題的分析，不難發(fā)現(xiàn)有這樣一些特點.

31模型構(gòu)建

七道題無一例外地都考查到了天體的圓周運動問題（如衛(wèi)星繞行星運動、行星繞太陽運動、天體的自轉(zhuǎn)、雙星系統(tǒng)問題），都將衛(wèi)星或行星的運動簡化為完美的理想化的運動模型——勻速圓周運動，都依托在萬有引力定律和牛頓運動定律兩大基本定律的基礎(chǔ)上解決問題，由此可見，以衛(wèi)星繞行星轉(zhuǎn)動或行星繞恒星轉(zhuǎn)動這一基本圓周運動模型為背景來命制試題是2018年高考萬有引力類問題的特色.七道高考題所涉及到的天體均直接或間接地簡化成了質(zhì)量分布均勻的球體，其實質(zhì)也是模型的構(gòu)建，這樣便于處理天體的密度問題和地面附近物體的萬有引力的距離問題.

32衛(wèi)星問題處理思路

為方便分析，先做一約定，約定衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動中的地球或行星繞太陽做勻速圓周運動中的太陽稱之為中心天體，那么衛(wèi)星繞地球勻速圓周運動模型中的衛(wèi)星和行星繞太陽運動中的行星稱之為環(huán)繞天體.環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運動，處理的基本方法是萬有引力等于向心力（雙星系統(tǒng)也不例外），只不過對一般的繞行系統(tǒng)，G=Mmr2=mv2r=vω2r=m（2πT）2r=ma，式中G為引力常量，M為中心天體的質(zhì)量，v、ω、T、a、r分別表示環(huán)繞天體的線速度、角速度、周期、向心加速度和軌道半徑，而對雙星系統(tǒng)，則GMmL2=m（2πT）2r，式中M、m、L、T分別表示雙星系統(tǒng)中雙星的質(zhì)量、距離和周期，r則表示其中一顆質(zhì)量為m的星體的軌道半徑.

33星體表面及附近處的物體問題處理思路

其實，七道高考題中除繞行運動外，北京卷中的月地檢驗、全國卷2中星體穩(wěn)定自轉(zhuǎn)問題、天津卷中衛(wèi)星相關(guān)參數(shù)計算中用到的黃金替換均涉及到另一類研究對象，即天體表面附近或赤道處的物體.

對地球表面處質(zhì)量為m的物體而言，物體受地球的萬有引力GMmR2是遠大于其隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力mω2R的，因而一般認為，在地面附近的物體受到的萬有引力就等于其所受重力即GMmR2=mg，變形得GM=gR2便為黃金替換，通常將其適用范圍擴大為任一天體.

對星體穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的密度約束問題，則首先考慮赤道處的物體（注意赤道處的物體相比其他處同質(zhì)量的物體所需向心力最大）是否會“飄”起來或星球從赤道處先行瓦解，研究的思路則完全不同于前者的黃金替換類問題，如若星體自身轉(zhuǎn)動的角速度不斷加快（赤道處的物體所所需要向心力隨之變大），則赤道處的物體最先因引力不足以提供其隨星球轉(zhuǎn)動所需的向心力，便離星球而去，即被星球“甩”出去（對星球而言，會最先從赤道處開始瓦解），故而有穩(wěn)定運行的條件為GMmR2≥m（2πT）2R.

34未來考查可能

尚未考查到諸如橢圓軌道問題、衛(wèi)星變軌問題、衛(wèi)星追趕問題、萬有引力中的能量問題和宇宙速度問題，盡管沒有考查到，便不是說這部分不重要，不會考，一線教師在組織復(fù)習時不能抱有僥幸心理，不講或略講尚未考查到的知識點，來年也許會考查到.