圓系方程法更甚“一寵”
2018-12-19 11:09:04李紅梅
讀與寫·上旬刊 2018年12期
李紅梅
摘要：求經(jīng)過直線和圓的交點的圓的方程，常使用待定系數(shù)法，它是一種基本的方法，但計算量甚大，為此，以下例子采用4種方法：待定系數(shù)法、直接法、幾何法、圓系方程法，經(jīng)對比分析，圓系方程法最優(yōu)，說明靈活巧妙地運用合適的方法，有達(dá)到事半功倍的效果。
關(guān)鍵詞：圓的方程；待定系數(shù)法；直接法；幾何法；圓系方程法
中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）34-0137-01
前言
圓是一種完美的圖形，生活中無處不見，應(yīng)用廣泛。求圓的方程屬于高中教材課表必修模塊二，是解析幾何中的內(nèi)容。學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程后便可用于求某些限制條件下圓的方程。例求經(jīng)過直線和圓的交點的圓的方程，常使用待定系數(shù)法，它是一種基本的方法，但計算量甚大，有沒有更好的方法呢？為此，以下例子采用4種方法：待定系數(shù)法、直接法、幾何法、圓系方程法，經(jīng)對比分析，可發(fā)現(xiàn)靈活巧妙地運用合適的方法，有達(dá)到事半功倍的效果。
例：求過直線x-2y+4=0和圓x2+y2-2x+10y-24=0 的交點，且圓心在直線x+y=0 上圓的方程.
方法一： （待定系數(shù)法）
思路：先假設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，有三個未知數(shù)，再將兩個交點和圓心在直線x+y=0上列出三個式子求出未知數(shù)。
解：聯(lián)立方程組x-2y+4=0x2+y2-2x+10y-24=0解得交點為 A（0，2），B（-4，0）
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+a）2+（y-b）2=r2
由題意知：a+b=0（0-a）2+（2-b）2=r2（-4-a）2+（0-b）2=r2 解得 a=-3b=3r2=10
∴ 圓的方程為（x+3）2+（y-3） 2=10
點評： 待定系數(shù)法是一種基本、萬能的求圓的方程的方法，缺點：未知數(shù)有三個，運算量較大.
方法二： （直接法）
思路：先求出直線和圓的交點A（0，2） ，B（-4，0），再根據(jù)圓心在直線x+y=0 上用一個未知數(shù)假設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓的半徑相等|OA|=|OB| 列等式解出該未知數(shù)。
解：由方法一聯(lián)立方程組得交點為A（0，2），B（-4，0）
∵圓心在直線x+y=0 中 ∴ 設(shè)圓心O（x，-x）
由|OA|=|OB| 即（-4-x）2+x2=x2+（-x-2）2 解得x=-3
∴圓心O（-3，3） 半徑r=|OA| =（-3-0）2+（3-2）2=10
∴圓的方程為 （x+3）2+（y-3）2=10
點評： 若圓心在一條直線上， 可根據(jù)直線用一個未知數(shù)表示出圓心坐標(biāo)， 從而簡化運算.
方法三： （幾何法）
思路：利用直線x-2y+4=0 的中垂線必過圓心且圓心在直線x+y=0上，聯(lián)立方程組求出圓心坐標(biāo)，再利用兩交點求出圓的半徑。
解： 由上知聯(lián)立方程組得交點為A（0，2），B（-4，0）
∵直線x-2y+4=0 的中垂線必過圓心，
直線x-2y+4=0 的中垂為：2x+y+3=0
由2x+y+3=0x+y=0 解得x=-3y=3 ∴圓心O（-3，3）
半徑r=|OA|=（-3-0）2+（3-2）2 =10
∴ 圓的方程為 （x+3）2+（y-3）2=10
點評： 幾何法使得運算量更少.
方法四： （圓系方程法）
思路：根據(jù)圓系方程假設(shè)出圓的一般方程（一個未知數(shù)）， 寫出含有未知數(shù)的圓心坐標(biāo)， 再根據(jù)圓心在直線x+y=0上， 求出該未知數(shù)。
解 設(shè)經(jīng)過直線和圓交點的圓的方程為：x2+y2-2x+10y-24+λ（x-2y+4）=0 （λ∈R）， 即x2+y2+（λ-2）x+（10-2λ） y+4λ-24=0
∴ 圓心為（2-λ2，2λ-102） 代入x+y=0，解得λ=8
∴圓的方程為：x2+y2+6x-6y+8=0
點評： 運用圓系方程可減少設(shè)待定系數(shù)， 避開求交點， 減少運算量.
歸納： 對以上4種方法的對比， 發(fā)現(xiàn)圓系方程法在求經(jīng)過直線和圓的交點的圓的方程（或經(jīng)過兩圓交點時）是一種罕見、靈活的方法， 正所謂： 不識廬山真面目，只緣身在此題中。
參考文獻(xiàn)：
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