軟土地基一維非線性固結(jié)簡化解法研究

(浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，杭州 310002)

1 研究背景

Terzaghi[1](1924)基于土體滲透性和壓縮系數(shù)在固結(jié)過程中不變的假設(shè)，提出了飽和土體的一維固結(jié)理論和有效應(yīng)力原理，建立了土體的一維固結(jié)理論，奠定了土力學(xué)的基礎(chǔ)。工程實(shí)際中土體為多相體，土體的固結(jié)變形規(guī)律比較復(fù)雜，Terzaghi在一系列假定基礎(chǔ)上，建立了飽和土體的一維固結(jié)理論。Terzaghi固結(jié)理論中假定多數(shù)是對(duì)實(shí)際情況的理想化處理，對(duì)于浙江沿海海相淤泥質(zhì)軟土，其孔隙率大、壓縮性高、含水量大，特別是吹填土，若仍采用Terzaghi固結(jié)理論計(jì)算固結(jié)度，其計(jì)算結(jié)果與實(shí)際將存在較大差異。

對(duì)于高孔隙率的淤泥質(zhì)軟土的一維非線性固結(jié)理論的研究，由Davis等[2](1965)基于線性的e-lgσ′關(guān)系，通過假定滲透系數(shù)kv和體積壓縮系數(shù)mv同步變化，得到固結(jié)系數(shù)Cv為恒定值，進(jìn)而得到了瞬時(shí)加載情況下的固結(jié)解析解。

Barden等[3](1965)根據(jù)e-lgσ′關(guān)系、kv與超靜孔隙水壓u的簡單函數(shù)關(guān)系，采用有限差分法得到了相應(yīng)的一維非線性固結(jié)曲線。Mesri等[4](1974)根據(jù)目前公認(rèn)的e-lgσ′和e-lgkv關(guān)系，同樣采用有限差分法得到了一維非線性固結(jié)曲線。

Mikasa[5](1965)首先提出一維大變形固結(jié)理論，Mikasa[5](1965)和Gibson等[6](1967)在考慮土體的材料非線性、幾何非線性、自重固結(jié)、滲透性等因素變化影響下分別對(duì)一維大應(yīng)變固結(jié)理論進(jìn)行研究。此后眾多學(xué)者分別從數(shù)值分析、室內(nèi)試驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)等多方面對(duì)Gibson理論進(jìn)行更深入和細(xì)致的研究。

同樣對(duì)于豎井地基非線性固結(jié)，Hansbo等[7](1981)考慮滲透系數(shù)在固結(jié)過程中的非線性，認(rèn)為水力梯度和滲透速度之間采用指數(shù)關(guān)系；Lekha等[8]利用近似法對(duì)一維非線性固結(jié)微分方程進(jìn)行了求解，但最大相對(duì)誤差仍相對(duì)比較大，影響工程實(shí)際應(yīng)用。

Indrarantna等[9](2005)引入e-lgσ′ 和e-lgkv關(guān)系式分別推求了豎井地基中的壓縮系數(shù)Cc和水平方向滲透系數(shù)kh的變化關(guān)系，并給出了理想豎井地基非線性固結(jié)近似解析解。

國內(nèi)學(xué)者黃朝煊等[10]將扁矩形排水板等效為形狀接近的扁橢圓柱體，給出了相應(yīng)的排水板處理地基固結(jié)解析解，此外黃朝煊等[11-15]給出了排水板處理地基考慮井阻非線性影響下的固結(jié)解析解。溫介邦等[16]基于差分法，給出了軟土地基非線性固結(jié)的若干計(jì)算表格，但部分表格數(shù)據(jù)值得進(jìn)一步探討。吳建等[17]、黃杰卿等[18]利用有限元軟件FLEXPDE對(duì)飽和土一維非線性固結(jié)特性進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算比較。謝康和等[19]采用Fortran語言編制計(jì)算程序，并利用該程序?qū)紤]應(yīng)力歷史影響的飽和土一維非線性固結(jié)的特性進(jìn)行了分析。劉忠玉等[20]在考慮土體變形非線性的基礎(chǔ)上，引入描述非Darcy滲流的Hansbo方程，修正飽和黏土一維固結(jié)方程，并采用有限差分法對(duì)該方程進(jìn)行求解。

基于此，本文考慮軟土地基一維非線性固結(jié)中土體滲透系數(shù)和壓縮性非線性變化的影響， 給出無量綱化的非線性固結(jié)控制方程，引入權(quán)重因子λ將非線性偏微分方程簡化為線性方程，其中權(quán)重因子λ可取小數(shù)(0<λ<1)，進(jìn)而結(jié)合邊界條件給出了考慮權(quán)重因子λ變化下的簡化解析解，以期便于工程實(shí)際應(yīng)用。

2 非線性固結(jié)物理模型

2.1 物理問題描述

根據(jù)Mikasa[5]，假設(shè)孔隙比e、滲透系數(shù)kv和有效應(yīng)力σ滿足經(jīng)驗(yàn)公式：

(1)

(2)

式中：Cc和Ck分別為土體的壓縮指數(shù)和滲透指數(shù)；e0，σ0′，kv0分別為e-lgkv和e-lgσ′曲線上初始孔隙比、初始有效應(yīng)力和初始滲透系數(shù)。

圖1 e-lgkv 和e-lgσ′ 關(guān)系曲線Fig.1 Curves of e-lgkv and e-lgσ′

根據(jù)式(1),式(2)知滲透系數(shù)kv和壓縮系數(shù)mv分別為：

(3)

(4)

式中mv0為初始?jí)嚎s系數(shù)。

根據(jù)眾多學(xué)者大量試驗(yàn)研究，認(rèn)為Cc/Ck滿足0.5≤Cc/Ck≤2。

一維飽和土體的連續(xù)方程為

(5)

式中：v為孔隙水的滲流流速；z為深度方向的坐標(biāo)；t為時(shí)間。

在均布荷載qu(t)作用下的總應(yīng)力σ為

(6)

式中u為孔隙水壓。

假設(shè)附加應(yīng)力的分布沿深度方向不變，則可得

(7)

2.2 控制方程推導(dǎo)

根據(jù)Darcy定律可知水力梯度i為

(8)

大面積堆載時(shí)，附加應(yīng)力p隨深度是常數(shù)分布，更一般的附加應(yīng)力可以采用二次多項(xiàng)式形式等效。

將式(8)代入連續(xù)方程可得

(9)

式中γw為水的重度。

式(9)求解邊界條件為：

式中H為土層厚度。

(10)

式(10)滿足的邊界條件為：

式(10)為非線性偏微分方程，其解析解求解十分困難。由于W=Nσ1-Cc/Ck，其取值是有界的，Lekha等[8]采用近似法轉(zhuǎn)換為一般線性拋物形偏微分方程求解。

基于此，本文考慮不同權(quán)重的影響，因此，引入權(quán)重因子λ，效仿Lekha等的方法，可將式(10)近似等效為

式中權(quán)重因子λ可取0.1，0.3，0.5，0.7，0.9等。

(12)

式(12)滿足邊界條件：

(1)z=0時(shí)，頂面排水，Y=0。

采用分離變量法求解，根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)的完備性，以及頂面排水邊界條件，可假設(shè)待求函數(shù)為

(13)

將式(13)代入式(12)可得

-AMm2T(Tv)=T(Tv)′。

(14)

進(jìn)而可得

T(Tv)=exp(-AMm2Tv) 。

(15)

式(15)代入式(13)，并結(jié)合邊界條件可知

Y=(1-Nσ1-Cc/Ck)·

(16)

得待求函數(shù)W的解析式為

W=Nσ1-Cc/Ck+(1-Nσ1-Cc/Ck)·

(17)

進(jìn)而可以給出深度z、時(shí)間為t時(shí)的固結(jié)度為

總平均固結(jié)度U為

(19)

3 計(jì)算分析

3.1 數(shù)值計(jì)算對(duì)比分析

本文采用MATLAB軟件編程計(jì)算其數(shù)值解，并與考慮不同權(quán)重因子λ簡化解對(duì)比，權(quán)重因子λ可取0.1，0.3，0.5，0.7，0.9等。

計(jì)算工況為：

(1)參數(shù)Cc/Ck=0.5，且Nσ=2，4，8時(shí)；

(2)參數(shù)Cc/Ck=2，且Nσ=4，8時(shí)。

不同工況下，本文考慮不同權(quán)重因子λ簡化解與基于MATLAB軟件的差分?jǐn)?shù)值解對(duì)比關(guān)系見圖2和圖3。

圖2 參數(shù)Cc/Ck=0.5時(shí)本文解與數(shù)值解對(duì)比Fig.2 Comparison between the proposed analytical solution and numerical solution when parameterCc/Ck=0.5

圖3 參數(shù)Cc/Ck=2時(shí)本文解與數(shù)值解對(duì)比Fig.3 Comparison between the proposed analytical solution and numerical solution when parameter Cc/Ck=2

通過以上不同工況下的數(shù)值計(jì)算對(duì)比可知：

(1)Lekha等研究成果是本文權(quán)重因子λ=0.5時(shí)的特例，權(quán)重因子λ=0.5時(shí)與數(shù)值解存在一定誤差，其中最大相對(duì)誤差可達(dá)19%。

(2)當(dāng)Cc/Ck<1時(shí)，在非線性固結(jié)前期，數(shù)值解與較大的權(quán)重因子(λ=0.9)時(shí)簡化解較為接近(且λ越大，初期固結(jié)速率越慢)；而在非線性固結(jié)中期，數(shù)值解與權(quán)重因子λ=0.5時(shí)簡化解較為接近；而在非線性固結(jié)后期，數(shù)值解與較小權(quán)重因子(λ=0.1)時(shí)簡化解較為接近。

(3)當(dāng)Cc/Ck>1時(shí)，在非線性固結(jié)前期，數(shù)值解與較大的權(quán)重因子(λ=0.9)時(shí)簡化解較為接近(且λ越大，初期固結(jié)速率越快)；而在非線性固結(jié)中期，數(shù)值解與權(quán)重因子λ=0.5時(shí)簡化解較為接近；而在非線性固結(jié)后期，數(shù)值解與較小權(quán)重因子(λ=0.1)時(shí)簡化解較為接近。

基于以上數(shù)值分析，在工程實(shí)際應(yīng)用中可以根據(jù)以上研究規(guī)律，采用3種權(quán)重因子λ組合情況下的簡化解作為參考，這樣精度將比Lekha等權(quán)重因子λ=0.5時(shí)的單一解精度更高，便于工程實(shí)際應(yīng)用。

3.2 分段綜合加權(quán)簡化解法

通過上文數(shù)值計(jì)算研究得出的規(guī)律可知，對(duì)于一般飽和軟土地基一維非線性固結(jié)計(jì)算，可以采用對(duì)固結(jié)時(shí)間分段采用不同權(quán)重因子λ組合情況下的簡化解作為參考，為了驗(yàn)證本文提出的分段權(quán)重簡化解法，取Cc/Ck=0.5，Nσ=4時(shí)的一維非線性固結(jié)進(jìn)行對(duì)比數(shù)值驗(yàn)證。參數(shù)Cc/Ck=0.5，Nσ=4時(shí)本文解法驗(yàn)證對(duì)比如圖4所示。

圖4 參數(shù)Cc/Ck=0.5、Nσ=4時(shí)本文解法驗(yàn)證對(duì)比Fig.4 Comparison and validation of the proposed solution when parameters Cc/Ck=0.5 and Nσ=4

由圖4可知：

(1)對(duì)于固結(jié)初期(無量綱時(shí)間因子Tv<0.06時(shí))，采用權(quán)重因子λ=0.9時(shí)的解析解等效。

(2)當(dāng)無量綱時(shí)間因子0.06

(3)對(duì)于固結(jié)中期(無量綱時(shí)間因子0.2

(4)當(dāng)無量綱時(shí)間因子0.4

(5)對(duì)于固結(jié)后期(無量綱時(shí)間因子0.7

通過以上計(jì)算對(duì)比分析，采用Lekha等近似解與差分法數(shù)值解的總平均固結(jié)度最大相對(duì)誤差高達(dá)19%，而采用本文分段不同權(quán)重因子λ組合法下的最大相對(duì)誤差減小至3.5%，滿足工程設(shè)計(jì)要求。

4 結(jié) 論

本文基于飽和軟土地基一維非線性固結(jié)理論，考慮軟土滲透系數(shù)和壓縮性在固結(jié)過程中的非線性影響，對(duì)軟土地基一維非線性固結(jié)理論進(jìn)行了探討，主要結(jié)論如下：

(1)考慮軟土滲透系數(shù)和壓縮性在固結(jié)過程中的非線性影響， 給出無量綱化的非線性固結(jié)控制方程，借鑒Lekha等近似解法原理，引入權(quán)重因子λ將非線性偏微分方程簡化為線性方程，其中權(quán)重因子λ可取小數(shù)(0<λ<1)，進(jìn)而結(jié)合邊界條件給出了考慮權(quán)重因子λ變化下的簡化解析解，并給出總平均固結(jié)度的計(jì)算式。

(2)通過MATLAB軟件數(shù)值編程計(jì)算對(duì)比，認(rèn)為Lekha等近似解法是本文權(quán)重因子λ=0.5時(shí)的特例，Lekha等近似解與差分法數(shù)值解最大相對(duì)誤差可達(dá)19%，采用本文變重因子λ法的簡化解精度更高，并且便于軟土非線性固結(jié)理論在工程實(shí)際中的應(yīng)用。

基于飽和軟土地基一維非線性固結(jié)的復(fù)雜性，本文可能有不足之處，筆者將利用數(shù)學(xué)中Lie群理論對(duì)軟土地基非線性固結(jié)進(jìn)行深入的后續(xù)研究。