兩面投影三角形的形體構(gòu)形分析

張春艷，李玉梅

（蚌埠學(xué)院 機械與車輛工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

兩面投影三角形的形體構(gòu)形是創(chuàng)造性三維構(gòu)形的重點與難點之一，現(xiàn)有教材和研究文獻都作了不同程度的論述，如：三視圖中若有兩個視圖的外形輪廓為三角形，該基本體為“錐"[1]；含有同面點集的兩面單框三角形的最大公共點群域是四棱錐體[2]；垂直于同一軸線的兩面對應(yīng)投影直線被定義為同面點集，同面點集為可構(gòu)投影[3]。但是，由于“教"與“研"之間銜接不良、三角形組合之間構(gòu)圖方式的不斷變化和創(chuàng)新，對現(xiàn)有部分構(gòu)形設(shè)計的規(guī)律提出了更高的挑戰(zhàn)，結(jié)果直接影響了構(gòu)形設(shè)計質(zhì)量和效率。這里選擇含有平線（與投影軸平行或垂直）的兩面投影三角形作為分析對象，對兩面單框三角形、多框三角形組合與形體之間的互譯，進行邏輯推理并結(jié)合“大膽假設(shè)，小心求證[4]"的過程分析，系統(tǒng)梳理兩面投影三角形的形體構(gòu)形分析依據(jù)，提高文獻資料之間的互動性，并在此基礎(chǔ)上總結(jié)規(guī)律，達到以不變應(yīng)萬變、舉一反三的目的。

1 兩面單框三角形的形體構(gòu)形

1.1 含有同面點集的兩面單框三角形的形體構(gòu)形

圖1所示三組V-W投影均由兩條平線和一條斜線組成的直角三角形圖框，其中處于水平位置的一對平線垂直于oz坐標軸，構(gòu)成一對同面點集，則該兩面投影的空間最大點集域是以處于水平面的長方形（含正方形）A1B1C1D1為錐底，并以三角形圖框的第三個頂點為錐頂?shù)乃睦忮F，如圖1（a）中的B-A1B1C1D1、圖1（b）中的C-A1B1C1D1和圖1（c）中的A-A1B1C1D1。

圖1 V-W投影直角三角形對應(yīng)的四棱錐和三棱錐

根據(jù)左右、前后空間方位關(guān)系，在含有四個點的底平面A1B1C1D1內(nèi)，構(gòu)成棱椎體的幾何元素至少包含其中三個點（只有兩個點時對應(yīng)空間二維三角形）。依次用排除法去掉某一個點后可以構(gòu)造出互補成四棱錐的三棱錐，如圖1（a）中的BA1B1C1D1=B-A1B1D1+B-B1C1D1=B-A1B1C1+B-A1C1D1，均完全符合題設(shè)條件，則H面投影反映了底平面的實形及其點A1、B1、C1和D1之間的排列組合位置關(guān)系。同理，圖1（b）和圖1（c）中的互補三棱錐都滿足題設(shè)條件。B-A1B1C1D1、C-A1B1C1D1和AA1B1C1D1為同一結(jié)構(gòu)形狀卻處于不同位置的四棱錐 ，B-A1B1D1、B-B1C1D1、C-A1C1D1、C-A1B1C1、AA1C1D1、A-A1B1C1，B-A1C1D1、C-A1B1D1和A-B1C1D1為同一結(jié)構(gòu)形狀卻處于不同位置的三棱錐，BA1B1C1、C-B1C1D1和A-A1B1D1亦處于不同位置卻是同一結(jié)構(gòu)形狀的三棱錐。

將同面點集對應(yīng)的空間矩形或三角形具有可構(gòu)性的邊線由直線轉(zhuǎn)換為含有凹凸形狀特征的曲線，也可以構(gòu)成一系列含有凹凸面的椎體如圖2。

圖3（a）所示V-H投影[5]等腰三角形的一對右邊線長度相等且垂直于ox坐標軸，對應(yīng)空間最大點集域是以處于側(cè)平面的正方形為錐底的四棱錐見圖3（b），則同一結(jié)構(gòu)形狀三棱錐的位置特征見圖3（c）～（f）。同理，對含有同面點集的側(cè)平面進行平曲、凹凸組合可構(gòu)造出含有曲面的椎體如圖4（a）～（e）。

1.2 不含有同面點集的兩面單框三角形形體構(gòu)形

圖2 同面點集范圍內(nèi)凹凸形狀特征構(gòu)形

圖3 V-H投影等腰三角形對應(yīng)的棱錐體

圖4 同面點集對應(yīng)含有曲面的部分椎體

圖5（a）可以看作是將一平面正方形沿其對角線拆分而成的V-W投影三角形，形成兩對平線和一對互相平行的斜線，其空間分析模型屬于正方體，但一定不含有端點B、C、C1和D1，且一定含有鉛垂線AA1、正垂線AD和側(cè)垂線A1B1，△ADA1是側(cè)平面，△AA1B1是正平面，則題設(shè)中的對應(yīng)三角形圖框是形體上兩個不同外表面的投影（平行面）；斜線d'b1'和d"b1"為正方體中的體對角線DB1，斜線（a'）d'b1'與三角形圖框a"d"b1"對應(yīng)，斜線d"（a1"）b1"與三角形圖框d'（a1'）b1'對應(yīng)，則包含一般位置直線DB1的△ADB1和△A1DB1分別為正垂面和側(cè)垂面。因此滿足投影條件的形體表面的類屬形狀和位置均屬定形投影，即唯一確切地表達四面體ADB1A1。

圖6（a）所示V-H投影等腰三角形中含有一對平線和兩對斜線。平線對應(yīng)鉛垂線EE1和正垂線GF，其端點E、E1、G和F分別為定點，唯一確定空間四個三角形平面的性質(zhì)和位置，即分別有兩個鉛垂面△GEE1和△FEE1，以及兩個正垂面△GFE和△GFE1，這就決定了四面體EE1FG為定形投影如圖6（b），因此題設(shè)中的對應(yīng)三角形圖框是四面體中兩個外表面的投影且具有可逆性。

分析兩面單框三角形的形體構(gòu)形，可得如下結(jié)論：

（1）棱柱體、棱錐體成為兩面投影三角形的形體構(gòu)形中重要的兩種分析模型；任何一平線可能對應(yīng)模型表面中的棱線（垂直線）、面對角線（平行線）或平行面的投影，而任意一斜線的空間位置或類型可能對應(yīng)模型的面對角線（平行線）、體對角線（一般直線）或垂直面的投影。

（2）同面點集對應(yīng)錐底平面中的端點和邊線的位置和數(shù)目均可構(gòu)，對應(yīng)錐底平面的位置特征和形狀特征具有可構(gòu)性，錐面形狀隨錐底平面或

圖5 不含有同面點集時的V-W投影直角三角形的形體構(gòu)形

圖6 不含有同面點集時的V-H投影等腰三角形的形體構(gòu)形

平行線實形特征的變化亦具有可構(gòu)性，但錐曲面中凹凸形狀特征的投影不能在三角形圖框內(nèi)產(chǎn)生線；三角形圖框?qū)?yīng)椎面的實形、類似形或同一個外表面投影、兩個外表面的投影組合，且待構(gòu)形的形體可以是處于不同空間位置同一個錐體。

（3）在含有平線但不含有同面點集的條件下，兩面單框三角形具有可逆性且均為平面體。

2 兩面多框三角形構(gòu)圖方式及其形體構(gòu)形

2.1 同形兩面多框三角形組合的形體構(gòu)形

2.1.1 形狀和方向均相同的兩面多框三角形

圖7（a）所示V-H投影[6]的外輪廓為正方形，左右兩邊線作為大小相等且相互平行的同面點集，對應(yīng)空間最大點群域為正方體；方向相同且與同面點集兩端點相交的一對斜線將正方形分成兩對三角形圖框，構(gòu)成形狀、方向和大小均相同的兩面兩框三角形組合，其形體構(gòu)形應(yīng)在正方體內(nèi)，根據(jù)投影特性判斷斜線的空間位置或類型：（1）斜線作為正方體的面對角線如圖7（b），滿足投影條件；（2）當(dāng)斜線作為正方體的體對角線時，含有該斜線且公用正方體棱線和面對角線的三角形圖框，一定含有投影面垂直面，其中存在同一三面投影對應(yīng)兩個以上切割體，這是由于截交線位置特征和形狀特征的投影重合形成的可構(gòu)三視圖[7]如圖7（c）～（f），則V-H投影為類似形互補[8]或類似形與實形構(gòu)成的三角形組合。因此，同面點集對應(yīng)的空間二維幾何形均具有平曲、凹凸形狀特征的可構(gòu)性。

圖8所示V-W投影的外輪廓為三角形，內(nèi)部嵌套相交另一對三角形圖框，且分別含有一對同面點集，內(nèi)外斜線均與兩對同面點集相交，其形體構(gòu)形一般應(yīng)作為內(nèi)圖框切割外圖框而成的切割體如圖7（a）～（c），或內(nèi)外圖框疊加組成的疊加體如圖7（d）～（e）。

圖7 V-H投影中斜線方向相同時對應(yīng)的部分平面切割體

圖8 V-W內(nèi)外三角形嵌套相交時對應(yīng)的部分形體

2.1.2 形狀相同且互為倒置的兩面多框三角形

圖9所示V-W投影[9]在oz坐標軸方向?qū)ΨQ，即斜線雖然分別與同面點集的兩個端點相交，但斜線作為投影外輪廓正方形的對角線方向是相反的，其形體構(gòu)形與圖7中判斷斜線的過程類似，得到待構(gòu)形的部分切割體如圖9（a）～（e）。但不同的是，作為同面點集對應(yīng)正方形下邊線中的直線A1B1和A1D1為可逆幾何元素，與其相關(guān)聯(lián)的△A1B1B和△A1D1D分別是不可構(gòu)的投影面平行面；其余邊線或切割體的表面具有平曲、凹凸形狀特征的可構(gòu)性。

圖10所示V-W投影[10]的外輪廓正方形內(nèi)部的兩條相交斜線將V面投影正方形分成左、中、右三個三角形圖框，而對應(yīng)W面投影正方形分為后、中、前三個三角形圖框，把V、W投影分別按“左對應(yīng)（組合）后”、“中對應(yīng)（組合）中”、“右對應(yīng)（組合）前”的投影方位對應(yīng)關(guān)系，得到部分平面切割體如圖10（a）～（e）。對應(yīng)一系列含有錐曲面特征的部分形體如圖10（f）～（j）。此時，不含有同面點集的內(nèi)部三角形——“中對應(yīng)（組合）中”具有位置特征和形狀特征的可構(gòu)性。

2.2 同類形兩面多框三角形組合的形體構(gòu)形

2.2.1 圖框數(shù)目相等的同類形兩面多框三角形

圖11中的V面投影外輪廓為正方形，W面投影外輪廓為上大下小的等腰梯形，斜線分別與兩對同面點集相交，構(gòu)成V-W投影中分別含有三個三角形圖框。其中，上邊線存在一對大小相等的同面點集，而下邊線為一對大小不等的同面點集。因此其形體構(gòu)形與圖10中按照投影方位對應(yīng)組合關(guān)系，構(gòu)造出的平面切割體如圖11（a），同面點集對應(yīng)形狀特征變化的部分切割體如圖11（b）～（e）。

圖12所示V-H投影由三對三角形圖框組成，且外輪廓的左右兩邊線含有兩對同面點集，具有平曲、凹凸形狀特征的可構(gòu)性。點C在外輪廓對應(yīng)最大空間點集域為四棱柱的最上、右、后，平線對應(yīng)斜線ef，則E1F1為水平線且具有可逆性，CE1和CF1均為一般位置直線且亦具有可逆性。因此，△ce1f1和雖然屬于對應(yīng)三角形圖框，但屬于定形投影且為一般位置平面。其余兩對三角形圖框中均含有同面點集，與一般位置直線CE1和CF1公用的平面可能是垂直面或一般位置面，結(jié)合四棱柱中的平行面、棱線和面對角線，截交線均為直線的部分平面切割體如圖12（a）～（e）。

2.2.2 圖框數(shù)目不等的同類形兩面多框三角形

圖13（a）所示V-H投影[11]外輪廓為正方形且含有兩對同面點集，其中V面投影有三個三角形圖框，H面投影有四個三角形圖框?！鱡fc對應(yīng)平線，則△EFC為水平面，反映實形且為不可構(gòu)表面；為對應(yīng)三角形圖框，為一般位置平面亦為不可構(gòu)表面，其余兩對對應(yīng)三角形圖框均含有同面點集。因此，在同面點集范圍內(nèi)進行位置特征、形狀特征構(gòu)形的部分形體如圖13（b）～（f）。

圖9 V-W投影中斜線方向相反時的部分切割體

圖10 形狀相同且互為倒置的V-W多框三角形構(gòu)形

圖11 V-W投影中三對三多框三角形對應(yīng)的部分切割體

圖14所示V-W投影中下邊線含有一對同面點集，空間對應(yīng)的最大公共點群域是五邊形；W面投影的外輪廓平線e"f"對應(yīng)V面投影一個點e'（f'），則EF是正垂線，因此含有該正垂線的兩個相交平面，對應(yīng)V面投影中的兩個相交斜線均為正垂面，平線為兩條鉛垂線EE1和FF1的投影重合。對同面點集中的空間幾何元素進行排列組合及其形狀特征構(gòu)形，得到如圖14（a）～（e）所示的部分形體。

2.3 兩面多框含三角形組合的形體構(gòu)形

圖15所示形狀相同且互為倒置的V-W投影中，外輪廓的上、下兩邊線為兩對相互平行的同面點集，內(nèi)部含有兩對斜線，構(gòu)成一對三角形圖框和一對五邊形圖框。對應(yīng)三角形圖框的下邊線為一對同面點集，但在可見性相同的條件下不符合投影面垂直面和一般位置面中類似形圖框的規(guī)律，則該對三角形圖框不是同一個斜面的類似形投影，而是兩個平行面的投影。當(dāng)封閉圖框代表的是形體上投影面平行面時，該封閉圖框亦為不可構(gòu)表面[12]。對應(yīng)五邊形圖框因為含有定線A1E和A1F在內(nèi)共五條平行線，則該對五邊形圖框?qū)?yīng)空間一般位置面，因此同面點集對應(yīng)平行面的邊線除了不可構(gòu)直線A1B1和A1D1外，其余邊線的形狀特征具有可構(gòu)性的部分形體如圖15（a）～（e）。

圖12 V-H投影中三對三多框三角形對應(yīng)的部分平面切割體

圖13 V-H投影中三對四多框三角形對應(yīng)的部分形體

圖14 V-H投影中二對三多框三角形對應(yīng)的部分形體

圖16（a）所示形狀相同且互為倒置的V-H投影[13]由兩對三角形圖框和一對菱形圖框組成，外輪廓中雖存在一對等長平線但不含有同面點集，該對平線是側(cè)垂線D1C1的投影，待構(gòu)形的形體表面中含有正平面△ED1C1和水平面△E1D1C1，包含正平線D1E、C1E的△FD1E和△GC1E是正垂面，包含水平線D1E1、C1E1的△FD1E1和△GC1E1是鉛垂面，且分別為定形投影；對應(yīng)菱形圖框的四個邊分別與定形圖框公用，則該對菱形圖框為側(cè)垂平面亦為不可構(gòu)表面。因此滿足投影條件的形體具有可逆性如圖16（b）。

圖17所示V-H多框投影外輪廓為正方形中含有三對子圖框，包括兩對三角形圖框和一對梯形圖框。其形體構(gòu)形應(yīng)以大帶小的方式，即先從圖7（a）中確定滿足圖投影條件的切割體后，再進行具體的細節(jié)構(gòu)形。圖7（e）和（f）均符合題設(shè)形體構(gòu)形的原型，在此基礎(chǔ)上經(jīng)過進一步的細節(jié)構(gòu)形，部分平面體如圖17（b）～（f）。同樣在含有同面點集的平面主體和局部結(jié)構(gòu)中可以構(gòu)成一系列含有曲面的形體。

圖15 形狀相同且互為倒置的V-W投影中含有同面點集的多框含三角形組合構(gòu)形

圖18（a）所示V-H投影的外輪廓為正方形，兩對相互平行的斜線與同面點集相交，將V面投影分成上（三角形）、中（平行四邊形）、下（三角形）三個圖框，而H面投影分為后（三角形）、中（平行四邊形）、前（三角形）三個圖框，按“上對應(yīng)（組合）后”、“中對應(yīng)（組合）中”、“下對應(yīng)（組合）前”的投影方位對應(yīng)關(guān)系，常見平面體如圖18（b）～（f），且同面點集具有曲面可構(gòu)性。

圖16 形狀相同且互為倒置的V-H投影中不含有同面點集的多框含三角形組合構(gòu)形

圖17 形狀、方向均相同的V-H多框含兩對三角形組合中以大帶小的方式構(gòu)造出的部分平面體

圖18 形狀、方向均相同的V-H投影中含有同面點集的多框含三角形組合構(gòu)形

3 小結(jié)

在不考慮形體表面的曲率變化以及輪廓線包圍區(qū)的曲面構(gòu)形時，含有同面點集的兩面單框三角形具有可構(gòu)性，三角形圖框?qū)?yīng)椎面的實形、類似形；兩面多框三角形組合既與兩面單框三角形相關(guān)又有獨立性，其形體構(gòu)形一般以切割體為主，根據(jù)圖框具有的性質(zhì)及其之間的關(guān)聯(lián)性，可構(gòu)自由度減少甚至具有可逆性，而可逆性的三角形圖框卻具有可構(gòu)性的情況；不含有同面點集的兩面投影三角形均為平面體且具有可逆性。將棱柱體、棱錐體作為兩面投影三角形的形體構(gòu)形中的兩種分析模型，根據(jù)同面點集對應(yīng)空間幾何元素的位置、數(shù)目和類屬形狀進行形體構(gòu)形設(shè)計，對于快速分析圖框之間的投影方位對應(yīng)關(guān)系、正確判斷圖框的可構(gòu)性與可逆性、構(gòu)思形體結(jié)構(gòu)形狀的多樣性與唯一性表達都具有一定指導(dǎo)意義。