動態(tài)價格下Logistic生長模型的捕獲問題*

張 廣，張 敏，宋冰潔

(1．天津商業(yè)大學 理學院，天津 300134；2．天津商業(yè)大學 經(jīng)濟學院，天津 300134)

1 引 言

近年來，如何有效利用魚類、蝦類這樣的漁業(yè)資源，實現(xiàn)可持續(xù)開采、較好經(jīng)濟效益的同時不造成勞動成本的浪費，一直是生物學家和經(jīng)濟學家關(guān)注的熱點問題. 早先就有著名的生物學家Malthus(1798)和P.F.Verhulst(1938)對生物種群數(shù)量的變化過程進行了研究，建立了眾所周知的Malthus模型和Logistic模型. 此類模型均描述的是種群在自然環(huán)境下的增長規(guī)律，未考慮種群受人類開發(fā)這個因素. 而在現(xiàn)實生活中，尤其漁業(yè)資源是受人類開發(fā)利用的. M.B.Schaefe最早提出了金槍魚的一般生產(chǎn)模型，即對金槍魚的開發(fā)利用模型. 在此基礎(chǔ)上，1954年Gordon[1]提出了新的經(jīng)濟理論——凈利潤等于總收入減去總成本，把價格成本引入了生物經(jīng)濟模型,并假定所收獲的單位生物量價格和捕撈成本是常數(shù). 1969年Smith提出了一種新的數(shù)學模型，它利用凈利潤來描述人類行為與種群開發(fā)的動態(tài)關(guān)系，即漁業(yè)賺錢，捕魚者增多(種群開發(fā)增強)，自然捕獲量也增多. 魚多了價錢就會下降，進而漁業(yè)沒錢可賺，捕魚者隨之減少(種群開發(fā)減弱). 也就是說種群的密度(或數(shù)量)和捕獲努力量(種群開發(fā)程度)之間是一個自反饋控制，即開放式漁場的自反饋捕獲模型. 在文獻[2-4]中都對開放式漁場的自反饋捕獲模型進行詳細的定性分析和研究，并且文獻[3]從經(jīng)濟角度出發(fā)，開始將價格作為變量處理. 而事實上，市場價格一成不變顯然是不可能的. 所捕獲魚的價格與消費者的需求量，魚的市場供給量有密切的關(guān)系. 在此基礎(chǔ)上，2001年王克，范猛等[5]在借鑒文獻[2，6]的基礎(chǔ)上對價格進行新處理——受供求關(guān)系影響的代數(shù)形式的價格. 而后大量文獻[7-15]從經(jīng)濟效益角度出發(fā)研究捕獲問題，里面的價格均以代數(shù)形式處理. 與此同時也有文獻[16]和文獻[17]分別以最大可持續(xù)量為目標對帶有周期系數(shù)單種群和經(jīng)濟效益最大時種群的捕獲時間進行研究. 綜上可以看出有眾多文獻對種群捕獲問題都進行了研究，經(jīng)濟效益是大家所普遍關(guān)注的重點問題，進而價格問題也顯得尤其重要. 雖然已有的文獻可以反映出價格是受供求關(guān)系影響的，但是經(jīng)濟系統(tǒng)是動態(tài)的，經(jīng)濟變量是隨時間變化而改變的，故價格以代數(shù)形式處理并不符合市場規(guī)律，文獻[18]中建立了由微分方程刻畫的非線性價格調(diào)整模型. 根據(jù)價格理論，需求曲線是向右下方傾斜的，表示商品的需求量和價格是反方向變動的關(guān)系. 同樣供給曲線是向右上方傾斜的，表示商品的供給量和價格是同方向變動的規(guī)律. 需求曲線和供給曲線是線性或非線性的，在不影響結(jié)論的前提下，為簡化分析，經(jīng)濟學中大多采用線性處理. 本文以下也將按線性處理.

本文基于價格受市場供求關(guān)系的變化，首先建立一種新型的動態(tài)價格下的捕獲模型. 其次計算出均衡點并對穩(wěn)定性進行了證明和動力學分析. 再次，做了數(shù)值模擬且從生物經(jīng)濟學角度進行了解釋. 最后得出結(jié)論給出建議.

2 模型的建立

開放式漁場的自反饋捕獲模型[1]為：

(1)

其中，s表示t時刻某類魚種群的密度或數(shù)量，E表示t時刻捕獲努力量，p表示價格，w表示單位投入成本，v是正常數(shù)，表示捕獲努力量與凈利潤的大小成正比.

模型(1)中，價格p是常數(shù). 在實際的市場經(jīng)濟中，市場需求和市場供給決定了市場的出清價格. 這里假設(shè)需求曲線是線性的，即qd=a+bp，其中b<0. 供給曲線是線性的，即qs=c+dp，其中d>0. 市場價格時刻受供給量和需求量的影響，當需求量大于供給量時，則價格上升；當供給量大于需求量時，則價格下降．文獻[18]也討論了相同的價格問題．在文獻[2]中有：

(2)

結(jié)合供給曲線和需求曲線，式(2)變成

(3)

進而得到新的動態(tài)價格下的捕獲模型：

(4)

這里Logistic規(guī)律刻畫生物種群增長. 其中，系數(shù)r代表種群內(nèi)生增長率，k代表環(huán)境的最大承載量(或飽和水平)，即代表著棲息地可以容納的最大種群數(shù)量.

3 均衡點及其穩(wěn)定性分析

定理1假設(shè)a>c,b<0，d>0，那么模型(4)有且僅有一個正均衡點.

證明由

可解得：

E*=(s*,E*,p*).

其中，

證畢.

定理2定理1的條件成立，那么均衡點E*(s*,E*,p*)是局部漸近穩(wěn)定的.

證明

模型(4)的雅克比矩陣為

在均衡點E*(s*,E*,p*)處相應的特征方程為：

a0λ3+a1λ2+a2λ+a3=0，

其中，

這里

其中，a0=1>0，因為b<0,d>0故而-β(b-d)>0，又加上r,k,s*均大于0，因此a1>0. 因為v,w,r均大于0且s*0.

Δ2=

證畢.

4 全局動力學分析

繪制均衡捕獲努力量的傾斜面、均衡種群數(shù)量的曲平面、均衡價格的水平面，見圖1．

根據(jù)圖1分別從三個均衡面進行分析：

分析后得出在八個卦限中，生物種群數(shù)量、捕獲努力量和價格水平的增減性見表1．

圖1 (a)、(b)分別表示捕獲努力量、種群數(shù)量及價格均衡空間視圖及其旋轉(zhuǎn)圖

sEpsEp一 ↑↑ ↓ 二 ↓ ↑ ↓三 ↓ ↓ ↓ 四↑ ↓ ↓五 ↑ ↑ ↑ 六 ↓ ↑ ↑七 ↓ ↓ ↑ 八 ↑ ↓ ↑

為了體現(xiàn)模型(4)在經(jīng)濟意義下的優(yōu)勢，現(xiàn)將新型動態(tài)價格下的模型(4)和開放式漁場常數(shù)價格下的模型(1)進行比較，選取模型(4)均衡價格處的截面圖與模型(1)常數(shù)價格下的二維圖，并將這兩個圖畫在同一坐標系下，見圖2. 從圖2中可以看出，在有相同的種群數(shù)量和捕獲努力量的前提下，均衡價格下和常數(shù)價格下，經(jīng)過一系列的循環(huán)，都能達到各自的均衡點處，但均衡點是不一樣的．在捕獲生物種群相同數(shù)量S3時，均衡價格下的捕獲努力量要低于常數(shù)價格下的捕獲努力量，這對于如何控制捕撈行業(yè)的捕撈成本是有一定參考價值的.

5 數(shù)值模擬與生物經(jīng)濟學解釋

接下來考慮具體系統(tǒng)

來說明捕獲努力量、種群數(shù)量、價格三者變化情況.

圖2 表示均衡價格、常數(shù)價格下生物經(jīng)濟圖，其中常數(shù)價格來源于模型(1)

這里r=3,k=5,α=0.5,v=1,w=3,β=1,a=4,c=1,b=-1/2,d=1/2，故v>0,β>0,a>c,b<0,d>0滿足條件. 按照介紹的計算法可以計算出正均衡點E*(2,3.6,3)并且可以得出是局部漸近穩(wěn)定的(這里以初值s0=2,E0=4,p0=4，在第二卦限為例做具體詳細說明). 用Matlab仿真結(jié)果證明最后趨近于正均衡點，見圖3．

圖3 (a)、(b)表示系統(tǒng)初值在第二卦限不帶均衡面、帶均衡面的仿真模擬結(jié)果

生物經(jīng)濟學解釋：

初值分別在八個卦限的Matlab仿真對比結(jié)果見圖4．

從圖4中可以看出，初值在八個卦限時最終都趨近于了正均衡點E*(2,3.6,3). 說明捕獲努力量、種群數(shù)量、價格三者無論初值在哪個象限，是否存在利潤的情況下最終都將趨于均衡點.

圖4 (a)～(h)分別表示系統(tǒng)初值在第一、二、三、四、五、六、七、八卦限仿真模擬結(jié)果

6 結(jié) 論

本文從價格理論角度出發(fā)，考慮市場價格受供給和需求的影響，建立了一種新的動態(tài)價格下的捕獲模型，進而理論證明了系統(tǒng)僅有一個正均衡點且是漸進穩(wěn)定的，并從數(shù)值模擬和生物經(jīng)濟學兩個角度出發(fā)，驗證了無論初值在哪個卦限最終都趨向于均衡點，來進一步說明均衡點的穩(wěn)定性. 更重要的是發(fā)現(xiàn)如果捕獲相同數(shù)量的生物種群，那么在均衡價格下的捕撈努力量要低于常數(shù)價格下的捕撈努力量，這將為捕獲問題的優(yōu)化管理提供有價值的理論借鑒.