高考中一類抽象函數(shù)不等式解法的探究

摘 要：以微專題的形式對(duì)一類抽象函數(shù)不等式解法進(jìn)行歸納復(fù)習(xí)，透析知識(shí)點(diǎn)背后的本質(zhì)，探索這類試題的通性、通法，從而提高學(xué)生的解題能力.

關(guān)鍵詞：抽象函數(shù)不等式；函數(shù)單調(diào)性；構(gòu)造函數(shù)

基金項(xiàng)目：本文是福建教育學(xué)院2017年基礎(chǔ)教育研究立項(xiàng)課題“微專題視角下的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略研究”（編號(hào)JYYB-2017001）的階段性研究成果.

作者簡(jiǎn)介：康曉全（1969-），男，福建龍海人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育研究.

縱觀近幾年的高考試卷，有關(guān)抽象函數(shù)不等式的題目考頻較高.作為考查函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用的有效載體，它已成為高考命題的熱點(diǎn).因此，本文把一類抽象函數(shù)不等式解法作為一個(gè)微專題，探究此類問題的一般解法.

解抽象函數(shù)不等式本質(zhì)上是函數(shù)單調(diào)性質(zhì)的一個(gè)應(yīng)用，根據(jù)教材對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的敘述（以單調(diào)增函數(shù)為例），可以得到函數(shù)單調(diào)性質(zhì)：若f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增，對(duì)任意x1，x2∈I，且f（x1）>f（x2），則x1>x2.性質(zhì)可改寫成：（1）單調(diào)增函數(shù)f（x）；（2）f（x1）>f（x2）（x1，x2∈I）；（3）x1>x2.則由（1），（2）（3）.

下面分別根據(jù)條件（1），（2）的三種不同呈現(xiàn)方式做歸納總結(jié).

一、條件（1）呈現(xiàn)為：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的條件是顯性的

例1 （2017全國Ⅰ卷，理5）函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f（1）=-1，則滿足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范圍是（ ）.

A.[-2，2] B.[-1，1] C.[0，4] D.[1，3]

解析 因?yàn)?1≤f（x-2）≤1，且f（x）為奇函數(shù)，所以f（1）≤f（x-1）≤f（-1）結(jié)合單調(diào)性可知-1≤x-2≤1所以1≤x≤3.

例2 （2016天津，理13）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在（-∞，0）單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f（2a-1）>f（-2），則a的取值范圍是.

解析 由題意f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，又f（x）是偶函數(shù)，f（2a-1）>f（-2）轉(zhuǎn)化為f（2a-1）>f（2），結(jié)合單調(diào)性可知2a-1<2，所以a-1<12.解得12

解法感悟 函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)變式為不單調(diào)，常結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)考查，利用偶函數(shù)對(duì)稱性再數(shù)形結(jié)合去掉“f”，解不等式.

二、條件（1）呈現(xiàn)為：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的條件是隱性的

例3 （2017江蘇卷，理11）已知函數(shù)f（x）=x3-2x+ex-1ex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若f（a-1）+f（2a2）≤0，則a的取值范圍是.

解析 易證f（-x）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函數(shù)，又f ′（x）=3x2-2+ex+1ex≥3x2-2+2ex·1ex=3x2≥0，所以f（x）在R上單調(diào)遞增.

因?yàn)閒（a-1）+f（2a2）≤0，所以f（a-1）≤-f（2a2）即f（a-1）≤f（-2a2）所以a-1≤-2a2.

解得-1≤a≤12.

例4 （2015全國Ⅱ，文12）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+|x|），則使得f（x）>f（2x-1）成立的x的取值范圍是（ ）.

A.13，1 B.-∞，13∪（1，+∞）

C.-13，13D.-∞，-13∪13，+∞

解析 由f（x）=ln（1+|x|）-11+x2可知f（x）是偶函數(shù)，且在[0，+∞）是增函數(shù).

所以f（x）>f（2x-1）f（|x|）>f（|2x-1|）|x|>|2x-1|13

解法感悟 雖然條件中給出具體函數(shù)解析式 ，但不要代入函數(shù)使不等式具體化，而是要通過探究函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再數(shù)形結(jié)合去掉“f”，解不等式.

三、條件（1），條件（2）為隱性呈現(xiàn)

需根據(jù)所給條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，再利用新函數(shù)單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，或數(shù)形結(jié)合思想，去掉“f”，解不等式.

例5 （2015全國Ⅱ，理12）設(shè)函數(shù)f ′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf ′（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（ ）.

A（-∞，-1）∪（0，1）

B （-1，0）∪（1，+∞）

C （-∞，-1）∪（-1，0）

D （0，1）∪（1，+∞）

解析 記函數(shù)g（x）=f（x）x，則g′（x）=xf ′（x）-f（x）x2.

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，xf ′（x）-f（x）<0，故當(dāng)x>0時(shí)，g′（x）<0，所以g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；

又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，故函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，所以g（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，且g（-1）=g（1）=0.

當(dāng)00，則f（x）>0；當(dāng)x<-1時(shí)，g（x）<0，則f（x）>0.

綜上所述，使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，1）.故選A.

解法感悟 在熟悉基本求導(dǎo)法則和公式的基礎(chǔ)上，所給條件往往會(huì)給我們提供構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)的依據(jù)，考查輔助函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，再數(shù)形結(jié)合去掉“f”，解不等式.

幾種導(dǎo)數(shù)的常見構(gòu)造：

1對(duì)于f ′（x）>g′（x），構(gòu)造h（x）=f（x）-g（x）；

2對(duì)于f ′（x）+g′（x）>0，構(gòu)造h（x）=f（x）+g（x）；

3 對(duì)于xf ′（x）+f（x）>0，構(gòu)造h（x）=xf（x）；

4 對(duì)于xf ′（x）-f（x）>0，構(gòu)造h（x）=f（x）x；

5對(duì)于f ′（x）+f（x）>0，構(gòu)造h（x）=exf（x）；

6 對(duì)于f ′（x）-f（x）>0，構(gòu)造h（x）=f（x）ex.

如何更好地進(jìn)行高三復(fù)習(xí)才能收到事半功倍的效果，是教師們一直在不斷探索的方向.本文通過將近幾年高考試題融入微專題的復(fù)習(xí)當(dāng)中，精心講解，透析試題背后的本質(zhì)，讓學(xué)生掌握解決此類問題的通性、通法，進(jìn)而達(dá)到較好的復(fù)習(xí)效果.

參考文獻(xiàn)：

[1] 蘇藝偉 五環(huán)節(jié)教學(xué)，提升習(xí)題課品質(zhì)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2017（09）：：22-26.