盲數(shù)和GM(1,1)模型在性能退化產(chǎn)品可靠性分析中的應(yīng)用

蓋炳良，滕克難，王浩偉，陳 瑜，孫 媛

(海軍航空大學(xué)，山東 煙臺 264001)

0 引言

如何表達(dá)和處理不確定信息是可靠性工程面臨的不可避免的挑戰(zhàn)[1]，而性能退化過程可視為一個部分已知、部分未知的灰色系統(tǒng)，因而灰色系統(tǒng)理論可應(yīng)用于性能退化可靠性分析，且GM(1,1)對小樣本建模的有效性[2]使之可有效解決小樣本、貧信息的建模困難。因而本文將盲數(shù)和GM(1,1)等灰色理論方法引入性能退化可靠性分析中。

盲數(shù)實質(zhì)是建立區(qū)間灰數(shù)和可信度。不考慮概率分布時，常采用自然斷點法構(gòu)建區(qū)間灰數(shù)，用判斷矩陣法[3]或直接用數(shù)量百分比建立可信度，這類方法的局限在于盲數(shù)的建立完全受限于現(xiàn)有數(shù)據(jù)?？紤]概率分布時，文獻(xiàn)[4]考慮故障率服從浴盆曲線，將區(qū)間總長度設(shè)為故障率最大值與最小值的差值，再等分確定各區(qū)間灰數(shù)，可信度設(shè)為區(qū)間故障率對應(yīng)時間與壽命周期的比值；文獻(xiàn)[5]假設(shè)退化量服從正態(tài)分布，由“3σ”性質(zhì)確定區(qū)間灰數(shù)和可信度。

三參數(shù)威布爾分布應(yīng)用范圍廣泛，其參數(shù)估計方法較多：文獻(xiàn)[6]以秩回歸方法獲取初始值，采用非線性最小二乘法得到參數(shù)估計值；文獻(xiàn)[7]也以秩回歸方法獲取初始值，并用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法優(yōu)化；也有采用灰色模型方法進(jìn)行參數(shù)估計的，GM(1,1)建模條件的優(yōu)點是小樣本建模，通常只需4～10個樣本[8]；文獻(xiàn)[9]采用GM(1,1)直接建模方法對三參數(shù)威布爾分布進(jìn)行參數(shù)估計，認(rèn)為若形狀參數(shù)大于1，則擬合度好，精度較高，但沒有考慮GM(1,1)建模中原始序列和累加序列的區(qū)別，且沒有考慮初始條件的優(yōu)化和參數(shù)估計值的進(jìn)一步優(yōu)化等。

因此，本文通過模型選擇擇優(yōu)確定概率分布，并用灰數(shù)排序方法優(yōu)化可信度；假定各測量時刻點的可靠度值，在服從三參數(shù)威布爾分布條件下，采用GM(1,1)建模方法估計和優(yōu)化參數(shù)。

1 基于盲數(shù)的測量時刻點可靠度

按照盲數(shù)定義[4]構(gòu)建退化數(shù)據(jù)盲數(shù)和失效閾值盲數(shù)。

1.1 退化數(shù)據(jù)盲數(shù)

假定產(chǎn)品性能退化服從單調(diào)遞增(單調(diào)遞減同樣適用)，性能退化試驗采用平衡測量，即不同樣品的測量數(shù)據(jù)是在多個時刻同時測量得到。設(shè)tk為第k次測量時刻，記測量時刻為t1

以Xk為tk時刻的性能退化數(shù)據(jù)，X·k表示tk時刻退化數(shù)據(jù)區(qū)間灰數(shù)，αj為Xk在區(qū)間灰數(shù)X·k中的可信度，α為總可信度，X·k∈g(I)，nx為盲數(shù)階數(shù)，則tk時刻的性能退化數(shù)據(jù)的盲數(shù)定義為

(1)

1.2 失效閾值盲數(shù)

設(shè)L為失效閾值，Lo為失效閾值區(qū)間灰數(shù)，βj為L在區(qū)間灰數(shù)Lo的可信度，β為總可信度，Lo∈g(I)，nl為盲數(shù)階數(shù)，因而，失效閾值盲數(shù)定義為

(2)

1.3 tk時刻可靠度

若在tk時刻產(chǎn)品退化量Xk超過產(chǎn)品閾值l，則稱為產(chǎn)品失效，產(chǎn)品在tk時刻的可靠度為

R(tk)=P(Xk0)

(3)

由式(1)～式(3)得盲數(shù)可靠度算式為

R(tk)=P(Xtk0)=
P(h(L)-f(Xk)>0)

(4)

R(tk)=P(φ(γ)>0)。

(5)

盲數(shù)運算時，可能出現(xiàn)區(qū)間交叉，設(shè)li=[ldn,lup]∈Lo，Xi=[xdn,xup]∈X·k，當(dāng)出現(xiàn)式(6)中任意一種情形時，就認(rèn)為出現(xiàn)區(qū)間交叉，即

(6)

li-Xi>0，表示lup-xdn>ldn-xup≥0；li-Xi=0，表示lup-xdn≥0>ldn-xup，則

(7)

可見處理區(qū)間交叉時式(7)折合了區(qū)間中大于0的可信度，折合系數(shù)λ按均勻分布來計算，若考慮概率分布，則不宜按均勻分布來計算[10]。

假設(shè)退化量和失效閾值相互獨立。圖1中顯見xdn

圖1 灰數(shù)排序Fig.1 Interval grey number ranking

當(dāng)xdn

(8)

當(dāng)ldn

(9)

當(dāng)xdn

(10)

當(dāng)ldn

(11)

2 產(chǎn)品可靠度

經(jīng)盲數(shù)運算，求得測量時刻可靠度值，形成一個離散可靠度序列{tk,R(tk)},k=1,2,…,M。假設(shè)產(chǎn)品壽命服從三參數(shù)威布爾分布，即

(12)

式中，τ,m,η分別是位置參數(shù)、形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。式(12)經(jīng)變換可表示為

(13)

令Rk=ln[-lnR(tk)],則(Rk,tk)滿足

(14)

下面基于非等間距GM(1,1)模型對τ,m,η進(jìn)行參數(shù)估計。

2.1 非等間距GM(1,1) 參數(shù)估計

由微分方程解的性質(zhì)可得

(15)

(16)

則由定義可得，原始序列模擬值為x(0)(tk)=(x(1)(tk)-x(1)(tk-1))/Δtk={cexp(-atk)[1-exp(aΔtk)]}/Δtk，k=2,3,…，M。

2.2 三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計

比較式(14)和式(16)，易得

(17)

3 實例

取在80℃條件下某GaAs激光器工作電流隨時間變化的百分比數(shù)據(jù)，詳細(xì)數(shù)據(jù)可見文獻(xiàn)[12]，試驗樣本個數(shù)為15，每250 h測試一次，至4000 h為止，閾值為10。

3.1 擇優(yōu)選擇tk時刻的退化量分布

參考已有文獻(xiàn)對同一批數(shù)據(jù)分析時假定過的分布模型，選擇正態(tài)分布、威布爾分布、Gamma分布和對數(shù)正態(tài)分布4種分布作為待選模型，對各測量時刻的退化量分布進(jìn)行AD檢驗。

圖2 tk=3500 h時的性能退化模型選擇Fig.2 Degradation model selection when tk=3500 h

圖2所示為當(dāng)tk=3500 h時的檢驗結(jié)果，可見當(dāng)tk=3500 h時對數(shù)正態(tài)分布AD值最小，是最優(yōu)分布。

3.2 tk時刻的產(chǎn)品可靠度

表1給出了未修正折合系數(shù)λ時各測量時刻的可靠度，同時對比了修正后的結(jié)果，其中250～1750 h的可靠度為1。

表1 各測量時刻基于盲數(shù)的可靠度 (α=1,β=1)

3.3 產(chǎn)品可靠度

(18)

表2 建模精度比較

表3 三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計值

4 進(jìn)一步討論

考慮其他2種方法。方法1：由盲數(shù)方法求得測量時刻點可靠度，再按極值分布進(jìn)行參數(shù)估計，獲取可靠度函數(shù)。方法2：即文獻(xiàn)[12]方法，認(rèn)為每個測量時刻點退化量服從正態(tài)分布，并采用極值分布估計參數(shù)。

表4是3種方法的比較，可見，本文方法擬合精度最高，平均壽命為4 819.7 h。

表4 3種方法結(jié)果分析比較

圖3所示是3種方法所得的可靠度曲線圖，本文方法得到的可靠度曲線介于方法1和方法2得到的可靠度曲線之間。

圖3 可靠度曲線Fig.3 Reliability curves

5 結(jié)束語

本文主要研究盲數(shù)和GM(1,1)建模等灰色系統(tǒng)方法在性能退化產(chǎn)品可靠性分析中的應(yīng)用。首先采用模型選擇，運用盲數(shù)理論求得各測量時刻的可靠度，然后采用GM(1,1)建模方法對三參數(shù)威布爾分布進(jìn)行參數(shù)估計，求得可靠度函數(shù)。通過3種方法在GaAs激光器退化數(shù)據(jù)上的應(yīng)用比較，驗證了本文方法的合理有效性。主要結(jié)論如下：

1) 采用灰數(shù)排序方法修正灰數(shù)區(qū)間交叉時的可信度值，避免均勻分布造成的誤差；

2) 基于GM(1,1)的三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計方法，避免了反復(fù)迭代，簡單明了，且相比于極值分布近似方法具有更好的擬合精度；

3) 下一步如何將灰色系統(tǒng)方法應(yīng)用于多元退化、退化與突發(fā)競爭失效等性能退化過程，有待進(jìn)一步深入研究。