例談?dòng)谜嘞叶ɡ斫忸}的幾種常用技巧

羅清克

（云南省昆明市第五中學(xué) 云南昆明 650000）

想要學(xué)好數(shù)學(xué)，首先要用好公式。巧用公式會(huì)給解題帶來(lái)事半功倍的效果。下面就筆者的教學(xué)及解題經(jīng)驗(yàn)，簡(jiǎn)單談一談?dòng)谜嘞叶ɡ斫忸}的幾種常用技巧。

一、正弦定理

正弦定理通常能解決的問(wèn)題是：（1）已知兩角及任意一邊，求其它邊角；（2）已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊角；（3）已知對(duì)邊對(duì)角，求三角形外接圓的半徑、周長(zhǎng)、面積等。在這里主要談以上幾種以外的常用技巧。

1.邊化角

案例1 △ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，求角B。

左右兩邊用正弦定理把邊換成相對(duì)角的正弦后，兩邊的2R可以約掉，相當(dāng)于把邊換成了角。以后為了簡(jiǎn)便書(shū)寫(xiě)，還可以直接寫(xiě)“由正弦定理得”，再接著寫(xiě)約去2R后的式子。比值型也可以換，如問(wèn)題“△ABC中，已知，求最大內(nèi)角”，可化為，7：5：3：：=cba設(shè)kckbka7,5,3===，再用余弦定理即可求出。

2.角化邊

案例2△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，，求△ABC的面積。

同樣的，也可以直接寫(xiě)“由余弦定理得”，再接著寫(xiě)約去2R后的式子。比值型也可以使用，如求的值時(shí)，實(shí)際只需要求出即可，他們的值是相等的。

二、余弦定理

余弦定理有三個(gè)公式：

余弦定理能解決的最基本的問(wèn)題是：（1）已知兩邊及其夾角，求第三邊；（2）已知三邊，求任意一角。同樣地，在這里只談上面以外的常用技巧。

1.湊公式

案例3 △ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且求角C。

在這里，三個(gè)公式要湊哪個(gè)公式呢？一種方法是看平方前的符號(hào)，把三個(gè)平方項(xiàng)移到一邊，看哪個(gè)平方前面的符號(hào)與其它兩項(xiàng)的符號(hào)相異，就選擇相異號(hào)的平方開(kāi)始的公式；另一種方法是看積什么，選擇沒(méi)有出現(xiàn)的邊的平方開(kāi)始的公式。如要選擇公式。

2.余弦定理的特殊用法

案例4 △ABC中，內(nèi)角A、B、C對(duì)的邊分別為a、b、c，已知，求c。

我們先看一看，按常規(guī)用正弦定理來(lái)解。

我們?cè)賮?lái)看看直接用余弦定理的效果。

顯然，第二種方法簡(jiǎn)單而快捷。本來(lái)這個(gè)問(wèn)題已知的是兩邊及一邊的對(duì)角，恰好是正弦定理的常規(guī)解法，但解下來(lái)發(fā)現(xiàn)較繁雜，“不劃算”。而用余弦定理往往還會(huì)首先想到選擇，但會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)方程里有兩個(gè)變量，無(wú)法解出最終結(jié)果。妙是妙在選擇余弦公式時(shí)要選擇已知給定角的對(duì)邊開(kāi)始的公式。筆者把這種用法稱(chēng)之為余弦定理的特殊用法。當(dāng)然，在這個(gè)問(wèn)題中把已知邊再給大一點(diǎn)，超過(guò)（如 3b= 時(shí)），就會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)正解的情況，這時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論，還要利用三角形兩邊之和大于第三邊進(jìn)行取舍。

正余弦定理的常用技巧還很多，比如還有平方、配方、均值不等式等，這里就不再一一贅述。

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)及學(xué)習(xí)都要善于總結(jié)一些方法和技巧，對(duì)于解三角形這類(lèi)較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題也不例外。