基于優(yōu)化學生學習方式的數(shù)學閱讀指導*
——以數(shù)學教材為例

優(yōu)化學生數(shù)學學習方式，是新課程改革的重要目標和內(nèi)容。學生學習方式是否得到了轉(zhuǎn)變與優(yōu)化，是衡量新課程改革是否成功的重要標志。在知識更新頻繁且日益加快的今天，學校教育更要教給學生獲取知識的方法，優(yōu)化學生的學習方式勢在必行。相關(guān)研究表明，教師指導在影響學生學習方式中占有重要比重。［1］筆者在多年的教學實踐中，一以貫之地將“優(yōu)化學生的數(shù)學學習方式”作為數(shù)學教育教學工作的重心和落腳點，“數(shù)學閱讀指導”即是筆者優(yōu)化學生數(shù)學學習方式的一種嘗試。

談及數(shù)學閱讀，我們須樹立廣義的閱讀觀。廣義的閱讀，是指把閱讀作為學習其他內(nèi)容、為生活做準備以及參與公共活動的工具。國際知名的PISA測試將閱讀素養(yǎng)的測評作為其重要組成部分，它將閱讀測試涉及的情境分為個人的、公共的、教育的、職業(yè)的四種［2］，其中教育的情境指為了學習新知識而閱讀，是為了獲取信息來完成某項學習任務(wù)而開展的閱讀。閱讀數(shù)學文本所用的方法與文科閱讀有共性之處，但由于學科特征，這就使得我們必須以“數(shù)學的方式”來閱讀數(shù)學文本。因此，數(shù)學閱讀的過程應(yīng)是在教師指導下，學生按照一定方式、方法，對數(shù)學文本進行閱讀、學習、思考與質(zhì)疑的過程。在數(shù)學閱讀和文本信息獲取的過程中，不僅能有效提高學生的學業(yè)成績、豐富學生的數(shù)學學習方式，更重要的是學生的學習能力和學習自主性得到了極大的提升。可供閱讀的數(shù)學文本有很多：數(shù)學教材、習題、論文、科普讀物、人物傳記等等。數(shù)學教材是實現(xiàn)國家課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源，筆者在多年的教學實踐中就“如何指導學生進行數(shù)學教材的閱讀”進行了不斷的實踐與反思，現(xiàn)將其整理成文，敬請指正。

一、指導學生閱讀章節(jié)起始內(nèi)容

無論是哪個版本的教材，教科書在每章的起始都有一段話，還有與內(nèi)容配套的圖片，有的教材還有與之相應(yīng)的名人名言和詩詞。這些內(nèi)容與一般教學內(nèi)容不同，不是以單獨課題出現(xiàn)，而是放在一章之前，成為一章的起始內(nèi)容。以蘇教版高中數(shù)學教科書必修5第三章“不等式”的章節(jié)起始內(nèi)容為例。

教材首先給出了一張圖片，圖片呈現(xiàn)的是一次帆船比賽：大賽組委會根據(jù)船隊所用的時間長短來決定比賽的名次。

【閱讀指導】請學生思考：這幅圖片和本章要研究的主題“不等式”有怎樣的關(guān)系？——這幅圖片中隱藏著本章要研究的重要模型——不等關(guān)系（不等式）。我們生活在大千世界里，無論是現(xiàn)實世界還是日常生活中都有大量的不等關(guān)系（不等式），圖片展現(xiàn)的就是一個在我們身邊再平常不過的例子：比賽排名。

緊接在圖片之后，是國際微分幾何大師陳省身先生的一句名言：“我們欣賞數(shù)學，我們需要數(shù)學。”

【閱讀指導】請學生思考：這句名人名言與本章要研究的主題“不等式”有著怎樣的關(guān)系？——再一次揭示我們本章要研究的是能刻畫現(xiàn)實世界和日常生活的一個重要模型。

在第一節(jié)“不等關(guān)系”開始之前，教材還呈現(xiàn)了這樣幾段文字：

“在現(xiàn)實世界和日常生活中，存在著大量的不等關(guān)系，不等式是刻畫不等關(guān)系的數(shù)學模型。

我們已利用不等式的基本性質(zhì)求得一元一次不等式ax+b＞0的解集，同時，研究了一元一次不等式ax+b＞0與一次函數(shù)y=ax+b及一元一次方程ax+b=0三者之間的關(guān)系。

當我們面臨新的不等式時，例如，一元二次不等式ax2+bx+c＞0、二元一次不等式ax+by+c＞0等，我們自然會想到，曾經(jīng)用過的數(shù)學思想方法還能繼續(xù)運用嗎？”

【閱讀指導】請學生思考：從這段章頭語中我們有哪些啟發(fā)和收獲？在教材上寫下你的收獲和啟發(fā)。

——從研究內(nèi)容來看，本章要研究的是不等式，會涉及解一元二次不等式等問題；從研究方法來看，章頭語暗示我們可應(yīng)用函數(shù)與方程、類比等數(shù)學思想方法對一元二次不等式及其他相關(guān)問題加以研究。章頭語是本章研究內(nèi)容與研究方法的有機融合。

自然，有老師會對學生是否能夠達到這一閱讀層次提出質(zhì)疑，筆者認為，也許學生一開始理解得不會那么到位，但有思考就有收獲，當學生學習完整個章節(jié)后，對章節(jié)起始內(nèi)容會逐步形成更為深刻的理解，這些思考的方式和經(jīng)驗也勢必會對其他章節(jié)起始內(nèi)容的閱讀帶來啟發(fā)。

二、指導學生閱讀數(shù)學概念和定義

數(shù)學概念和定義是數(shù)學的重要組成部分。在指導學生閱讀數(shù)學概念和定義（含約定式定義）時，不僅要指導學生學會從概念和定義中抓住關(guān)鍵詞，還要引導學生對概念和定義產(chǎn)生的必要性和合理性進行有益的思考和質(zhì)疑。

以“等差數(shù)列”這一核心概念的定義為例：“從第二項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)的數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為該等差數(shù)列的公差，用d表示?！?/p>

【閱讀指導】請學生思考以下問題。

問題1：等差數(shù)列的定義中，有哪些關(guān)鍵詞？

問題2：減法是常見的四則運算之一，類比等差數(shù)列的定義，你還能提出新的概念和定義嗎？

問題3：等差數(shù)列除了這種定義方式之外，你認為還有別的定義方式嗎？如有，請寫出你的成果，并與之進行比較，哪一個更為合理。

——也可定義為前一項減去后一項，但定義的敘述方式顯得啰唆。若該數(shù)列是無限數(shù)列，每一項與后一項的差都等于同一個常數(shù)的數(shù)列稱為等差數(shù)列；若該數(shù)列是有限數(shù)列，則從首項至最后第二項，每一項與后一項的差都等于同一個常數(shù)的數(shù)列稱為等差數(shù)列。雖然也合理，但確實沒有教材來得那么簡潔。

再以閱讀教材“集合子集”的一個重要性質(zhì)為例：“我們約定，空集是任何集合的子集?！?/p>

【閱讀指導】請學生思考以下問題。

問題1：為什么要有這樣的約定？（探討其必要性）

——從子集定義可知，子集定義中所涉及的集合不包括空集。為了完善子集定義，約定空集是任何集合的子集是必要的。

問題2：為什么可以有這樣的約定？（探討其合理性）

——由子集的定義可知，顯然有任何一個集合是它本身的子集，但是上述這個結(jié)論中的“任何一個集合”，也是不包括空集的，只有規(guī)定了“空集是任何集合的子集”，才真正使每一個集合（包括空集）都成立。

在指導學生閱讀教材概念和定義時，可給學生提供一些思考的角度和方式。譬如上述兩個案例中提到的，“這個定義中，有哪些關(guān)鍵詞需要注意？”“類比這個概念和定義，你還能提出新的概念和定義嗎？”“除了教材所給的定義方式之外，還有別的定義方式嗎？試比較你的定義和教材定義的優(yōu)劣?！薄盀槭裁匆鞒鲞@樣的約定？”“為什么可以作出這樣的約定？”等等問題。通過提供一些可操作的方法，幫助學生不斷地積累閱讀、學習、質(zhì)疑概念和定義的經(jīng)驗。

三、指導學生閱讀定理和公式

數(shù)學定理和公式是中學數(shù)學學習的重要內(nèi)容。在指導學生閱讀教材中的定理和公式時，可從以下幾個方面進行閱讀指導：第一，定理和公式使用的條件是什么？結(jié)論是什么？第二，定理和公式有哪些等價變形？第三，定理和公式的證明方法有哪些？每個證明方法各體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學思想方法？第四，定理和公式有怎樣的應(yīng)用？第五，該定理和公式與其他定理、公式之間有怎樣的聯(lián)系？第六，該定理和公式為何這樣命名？等等。以“基本不等式”這一公式的閱讀指導為例。

【閱讀指導】請學生思考以下問題。

問題1：該公式使用的條件是什么？結(jié)論是什么？

問題2：該公式可有哪些等價變形形式？

問題3：該公式有哪些證明方法？不同的證明方法各自體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學思想方法？

（圖1）

證明4：如圖1，已知AB為圓O的直徑，D是圓O上異于A，B的任意一點，過D作DC⊥AB，垂足為 C，連接 DO，設(shè) AC＝a，BC＝b，則易得若C，O兩點重合，即a=b時，；若C，O兩點不重合，即a≠b時綜上，成立，當且僅當a=b時等號成立。

證法1和證法3采用的是直接法，證法2則采用了分析法，而證法4結(jié)合圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法給出了公式的幾何證明。

問題4：該公式有什么樣的應(yīng)用？

——可用來求兩個正數(shù)和或積的最值或范圍。

問題5：為什么該公式稱為基本不等式？基本在哪里？

——和與積是數(shù)學運算中最為簡單的兩種運算形式，該公式體現(xiàn)的恰恰是兩個正數(shù)的和與積的不等關(guān)系，因此稱為基本不等式。

四、指導學生閱讀教材的例題和習題

教材例題與習題的選編是教材編寫過程中的重要一環(huán)，蘇教版教材從2004年至今先后經(jīng)歷了4次大規(guī)模的修訂，其中例習題的修訂力度最大，可見教材編寫團隊對教材例習題選編的高度重視。筆者以為，教材例題不僅要用，而且要用好，通過對教材例題的研究和反思，可以學到不少研究問題的邏輯、思路和方法。因此，教師有必要對教材例習題的閱讀進行有效的指導。

對教材例題的閱讀指導必須凸顯其示范性，分析并明確每一個例題的設(shè)置意圖，可從“這個例題想告訴我們什么？”“你從例題的解答過程中有什么收獲？”“如何規(guī)范地進行這一類問題的作答？”等方面入手。以蘇教版必修1“函數(shù)的奇偶性”例題為例。

例6 判定下列函數(shù)是否為偶函數(shù)或奇函數(shù)。

（1）f（x）=x2-1；（2）f（x）=2x；（3）f（x）=2|x|；（4）f（x）=（x-1）2。

【閱讀指導】請學生思考以下問題。

問題1：這個例題設(shè)置的意圖是什么？

問題2：通過例題的解答，你有什么收獲？

——利用定義來證明一個函數(shù)是否具有奇偶性的一般步驟：首先研究函數(shù)的定義域，其次利用定義加以判斷。本題的前三個函數(shù)都是具有奇偶性的函數(shù)，直接寫出f（x）與f（-x）的關(guān)系即可得證，而第四個函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，則需要舉反例說明。

問題3：如何規(guī)范地進行作答和書寫？

對教材習題的閱讀主要凸顯其拓展性和探究性，可從“本題的結(jié)論能否作進一步推廣？”“針對本題的條件與結(jié)論，能否提出其他相似的問題？”“能否就本題的條件和模型加以變化，變更為其他條件或模型？”等等。教材可以拓展和探究的問題有很多，以蘇教版必修4一道“直角走廊”問題為例說明：一鐵棒欲通過如圖2所示的直角走廊，回答下列問題。

（圖2）

（2）求 L（θ）的最小值（用計算器或計算機）；

（3）解釋（2）中所求的L是能通過這個直角走廊的鐵棒長度的最大值。

【閱讀指導】請學生思考以下問題。

問題1：該問題如何解答？

問題2：該問題能否作進一步的拓展？

——該題是一道非常有趣的應(yīng)用題，形式新穎，又貼近生活實際，我們可以進一步提出新的問題：題目中展現(xiàn)的是一個不等寬的直角走廊，如果換成等寬直角走廊，情況有何變化？若將直角走廊換成120°的折線形走廊、圓角走廊，將木棒變成有厚度的平板小車（或木板），情況又是怎樣的呢？

教材可供閱讀的部分還有很多，限于篇幅，不再一一贅述。為了進行更為有效的數(shù)學教材的閱讀指導，筆者以為可加強以下三個方面的研究。

第一，教師要加強對數(shù)學教材的研究。教師對教材的理解和把握能力，會直接影響學生閱讀數(shù)學教材的質(zhì)量和層次。因此，數(shù)學教師要加強學習，特別是加強針對教材研究的學習，可搜集數(shù)學教育類期刊中的相關(guān)論文、購買針對教材進行研究的數(shù)學教育專著進行學習，可多參與各類教師教育培訓和社會共同體活動等等。通過學習，掌握教材概念和定義的內(nèi)涵與外延，深刻理解教材公式和定理的來龍去脈，明確教材章節(jié)起始內(nèi)容的豐富內(nèi)涵，把握教材例習題的編寫意圖及其示范、拓展、探究等價值，如此才能有的放矢，對學生進行教材的閱讀給予更多專業(yè)化的指導。

第二，教師要加強對學生學習的研究。教師在對學生進行閱讀指導時，要加強對學生學習的研究，要對不同學習能力的學生提出不同的要求，并拿出不同的指導方案；要對學生教材閱讀的進程加以監(jiān)控和測評，可考慮經(jīng)常舉辦閱讀教材能力的相關(guān)競賽，以激發(fā)學生參與教材閱讀的積極性和興趣，與此同時，考慮到學生進行教材閱讀主要利用假期或周末時間，有條件的學校和教師可建立教師專用輔導QQ群或微信群，及時輔導和追蹤學生的教材閱讀進展，解決學生在閱讀教材過程中產(chǎn)生的困惑和疑難。

第三，教師要將對教材閱讀的指導上升到“課”的高度加以研究。筆者只是借助自身的實踐體會和經(jīng)驗分享了自己平時指導學生閱讀數(shù)學教材的一些做法，卻未能上升到課的高度進行研究。既然對教材閱讀加以指導能在很大程度上豐富學生的學習方式、提升學生的學習能力和學習自主性，如若能將對教材閱讀的指導上升到課的高度進行研究，形成“數(shù)學教材閱讀指導課”，那么它的價值可以得到更大程度的體現(xiàn)和彰顯。因此，雖然筆者這幾年在指導學生閱讀數(shù)學教材上做出了一些有益的探索和實踐，但一門新的課程出現(xiàn)，勢必還要考慮諸多因素，關(guān)于“數(shù)學教材閱讀指導課”的教學研究仍是一個系統(tǒng)工程，還有很多問題值得我們進行深入探討。