關(guān)于素養(yǎng)培育的數(shù)學(xué)過程闡釋

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下稱“2011年版課程標準”）從數(shù)學(xué)思考和問題解決的目標維度出發(fā)，將“經(jīng)歷（experience）”“體驗（taste）”“探索（explore）”等行為動詞作為數(shù)學(xué)教學(xué)的過程性目標。這些行為動詞既為數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的發(fā)生提供支點，也是培育數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的具體行為的支撐。PISA 2012從數(shù)學(xué)過程、數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)情境三個方面對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵進行了闡述。［1］其中，數(shù)學(xué)過程包括了“形成數(shù)學(xué)”“使用數(shù)學(xué)”和“解釋數(shù)學(xué)”三個維度，與經(jīng)歷、體驗、探索描述的過程性目標一致。這里的“形成數(shù)學(xué)”過程是指經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的尋求過程，獲得心理原型；“使用數(shù)學(xué)”過程是指體驗數(shù)學(xué)概念的客觀行為，形成基本問題；“解釋數(shù)學(xué)”過程是指探索數(shù)學(xué)概念的事實行為，發(fā)展基本思想。為此，我們可以從經(jīng)歷、體驗、探索這三個行為動詞出發(fā)，來闡釋數(shù)學(xué)過程這一數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、由經(jīng)歷“形成數(shù)學(xué)”

2011年版課程標準將“經(jīng)歷”的內(nèi)涵確定為，“在特定的數(shù)學(xué)活動中，獲得一些感性認識”。經(jīng)歷是感受、嘗試的替代概念，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)在社會參與維度、自主發(fā)展維度和文化修養(yǎng)維度得以實現(xiàn)的執(zhí)行程序，也是具體章節(jié)目標、單元目標以及課時目標得以落實的基本動作。［2］比如，在生活情境中感受大數(shù)的意義，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題；綜合運用方程等數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力等，都必然建立在學(xué)生“經(jīng)歷”的基礎(chǔ)之上。

筆者以為，形成數(shù)學(xué)的過程涵蓋三個層面的內(nèi)容：一是經(jīng)歷數(shù)學(xué)前概念的再發(fā)現(xiàn)過程，建立可靠性認知知覺；二是經(jīng)歷前概念思維被看見的過程，建立概念與思維的聯(lián)系系統(tǒng)；三是經(jīng)歷先行材料的組織過程，建立知識理解和知識表征的內(nèi)部關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的本體意義。

在一次數(shù)學(xué)省優(yōu)質(zhì)課評比中，12位選手基于“三個‘一次’關(guān)系”（一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式）一課的教學(xué)展示自己的設(shè)計過程。經(jīng)歷整個過程的課堂觀察發(fā)現(xiàn)，選手們基本上都是“碎片式”的知識教學(xué)（如何解一元一次方程、如何解一元一次不等式、如何畫出一次函數(shù)的圖象等），很少有體現(xiàn)這一節(jié)課“整體思想”的教學(xué)設(shè)計。值得欣慰的是，有一位教師采取“頂層設(shè)計”方法，圍繞“從實踐中來，到實踐中去”的整體思想進行設(shè)計，該節(jié)課具體操作流程如下。

首先，讓學(xué)生任意寫出一個簡單的一次函數(shù)（比如：y=2x+4），畫出其函數(shù)圖象，描述函數(shù)值何時大于零、等于零和小于零，這種基于學(xué)生認知基礎(chǔ)的“引課”行為，反映了執(zhí)教者對學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的把控。

其次，讓學(xué)生研究“彈簧掛重”問題。一是寫出彈簧所掛物體的質(zhì)量（x kg）與其長度（y cm）的函數(shù)關(guān)系式（y=0.5x+25），并畫出函數(shù)圖象；二是分別求出彈簧長度是30cm、32.5cm、35cm時所掛物體的質(zhì)量；三是利用剛才畫出的函數(shù)圖象，求出方程 0.5x+25=30、0.5x+25=32.5、0.5x+25=35的解；四是求出彈性限度內(nèi)（彈簧伸長長度不超過35cm）所掛物體的最大質(zhì)量；五是在問題解決的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生“數(shù)學(xué)地”表達一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系。這種“直觀為抽象支架，抽象為直觀讓道”的整體設(shè)計思想，有利于學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的定向與形成。

最后是拓展研究，即改編蘇科版初中數(shù)學(xué)教材八年級上冊第105頁的“行李付費”問題（略）。在用待定系數(shù)法求出相關(guān)量后，執(zhí)教者又提出兩個半開放問題：一是設(shè)計一個用一元一次方程解決的問題；二是設(shè)計一個用一元一次不等式解決的問題。這種教學(xué)設(shè)計突出“應(yīng)用—回流—遞進”，反映了數(shù)學(xué)教育整體教學(xué)觀，也較好地體現(xiàn)了“從實踐中來，到實踐中去”的整體教學(xué)思想。此外，這種“引入新課→暴露思維→實踐檢驗”的經(jīng)歷是“形成數(shù)學(xué)”的有效路徑，使得概念的揭示過程與學(xué)生的知覺水平一致，反映了“經(jīng)歷”所特有的意義。

二、由體驗“使用數(shù)學(xué)”

2011年版課程標準把“體驗”確定為“參與特定的數(shù)學(xué)活動，主動認識或驗證對象的特征，獲得一定的經(jīng)驗”。體驗也是體會的替代概念。比如，結(jié)合具體情境，體會有理數(shù)加減法則、乘除法則以及混合運算法則的意義；獲得分析問題和解決問題的一些方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識；初步形成評價和反思的意識等。

筆者以為，“使用數(shù)學(xué)”至少包括三層意思：一是在直觀的觀察學(xué)習(xí)中獲得概念的“雛形”，體驗概念發(fā)生的初始狀態(tài)；二是在當前表象學(xué)習(xí)中保持表征概念的反應(yīng)結(jié)果及其與結(jié)果有關(guān)的環(huán)境事件的信息，體驗概念得以加工的本質(zhì)；三是在高階思維（概括、批判、策略）訓(xùn)練中獲取概念的基本體系，體驗概念產(chǎn)生的來龍去脈。

當然，任何概念的發(fā)生、發(fā)展、高潮與結(jié)局都是有局限的。體驗概念的過程是一種量變過程，同時又是一種質(zhì)變過程，這也與教材的編寫體例相吻合。比如，數(shù)感的建立就是一個“平衡—突變—平衡”的“從量變到質(zhì)變”的漸進過程，突出了有理數(shù)范疇、實數(shù)范疇、復(fù)數(shù)范疇等運算本質(zhì)的相對特征。

不妨以“去括號法則”的教學(xué)過程作為“使用數(shù)學(xué)”的一個范例來加以說明。具體體驗的過程設(shè)計如下。

第一，創(chuàng)設(shè)體驗性問題情境，讓學(xué)生感受法則產(chǎn)生的必要性。比如，在假期的勤工儉學(xué)活動中，小麗從報社以每份0.4元的價格購進a份報紙，以每份0.5元的價格賣出b份（b≦a）報紙，剩余的報紙以每份0.2元的價格退回報社，小麗贏利多少元？顯然，在求解過程中，涉及去括號問題，即-0.4a+0.5b+0.2（a-b）。這就讓學(xué)生在尋求答案的過程中，體驗到學(xué)習(xí)“去括號法則”的必要性和緊迫性。同時，從另一個側(cè)面，也說明合理的現(xiàn)實情境能有效地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，反映概念表象發(fā)生的現(xiàn)實意義。

第二，讓學(xué)生在合理精當?shù)奶畋砑捌浞治鲋校w驗去括號法則的合理意義。具體見表1及其分析操作。（填寫的是表格右邊4個式子的結(jié)果，為行文需要已填好）

（表1）

觀察填寫后的表格，你發(fā)現(xiàn)了什么？再換幾個數(shù)試試，結(jié)論還成立嗎？

追問：你能說明下列關(guān)系式：a+（-b+c）＝ab+c；a-（-b+c）＝a+b-c，等號兩邊發(fā)生了哪些變化？你認為去括號法則如何表述？并舉例驗證其合理性。

第三，讓學(xué)生在學(xué)以致用和表象監(jiān)控中生長“使用數(shù)學(xué)”的能力，反映高階思維的能動作用。具體可分三步走：一是讓學(xué)生對照法則，指出例題作答的每一步依據(jù)；二是讓學(xué)生任意寫一個可以用去括號法則進行運算推理的多項式，并與同伴交換求解意見；三是教師呈現(xiàn)可以變換角度解決的問題，讓學(xué)生在方法研討中獲得高層次使用數(shù)學(xué)的能力，體驗創(chuàng)新意識和基本方法的可用性。

我們可以把上述的“小麗假期勤工儉學(xué)售報紙，計算贏利”的現(xiàn)實情境作為觀察學(xué)習(xí)的概念“雛形”。其中，填表以及對應(yīng)問題串的設(shè)計是概念生長的思維沃土，實現(xiàn)由表象到概念的變遷，這里既有陳述知識到程序知識的轉(zhuǎn)化，也有概念理解到概念使用的遷移，體現(xiàn)概念教學(xué)的層次觀；學(xué)以致用的過程就是高階思維發(fā)揮作用的過程。這些不確定的、變化的過程性特征，與“從思維的抽象發(fā)展到思維的具體，在思維中再現(xiàn)事物的整體性和具體性”的觀念具有內(nèi)部的一致性。

三、由探索“解釋數(shù)學(xué)”

2011年版課程標準認為，“探索”是指“獨立或與他人合作參與特定的數(shù)學(xué)活動，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對象的特征及其與相關(guān)對象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認識”。獲得理性認識的過程就是探索習(xí)得經(jīng)驗的內(nèi)化過程，更新了原有經(jīng)驗結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了新舊經(jīng)驗的同化或順應(yīng)。探究、探尋是探索的替代概念，帶有“究往窮來”“探明淵源”的特征。比如，在具體問題解決中，探索用字母表示數(shù)的簡明意義，發(fā)展從具體到抽象的歸納思想；在參與觀察、實驗、猜想、證明、實踐活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰表達自己的想法，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式；等等。這些過程性目標是當前“育人目標”的顯性特征，既要求數(shù)學(xué)過程能反映對象解釋數(shù)學(xué)的能力水平，也要求數(shù)學(xué)過程能反映對象基本經(jīng)驗的獲得水平。

“探索”這一行為動詞本身就帶有強烈的過程性特征。探索的過程就是“解釋數(shù)學(xué)”的過程，“解釋數(shù)學(xué)”的過程就是擴展概念內(nèi)涵的過程，也是理解概念的思維基礎(chǔ)。理解概念是引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同角度加以分析、從不同的層次進行理解的具體化，反映“解釋數(shù)學(xué)”的經(jīng)驗水平。為此，“解釋數(shù)學(xué)”過程必須突出三個層次：一是引導(dǎo)數(shù)學(xué)思考，鏈接相關(guān)經(jīng)驗，突出知識內(nèi)部關(guān)系；二是設(shè)置問題鏈，拉長概念思維長度，建立“解釋數(shù)學(xué)”的方法體系；三是設(shè)計動手“做”數(shù)學(xué)支架，積累基本活動經(jīng)驗，達成深度學(xué)習(xí)目標。

不妨以“用字母表示數(shù)”為“解釋數(shù)學(xué)”的一個范例，具體解釋程序如下。

首先，讓學(xué)生基于已有經(jīng)驗和認知水平，提出“人人均能做有所用、思有所成”的記憶性目標，實現(xiàn)概念的先行組織行為。比如，讓學(xué)生用字母表示學(xué)過的運算律；任意畫出一個三角形、平行四邊形、梯形等并標注字母，用字母表示這些基本圖形的面積；用含有字母n的代數(shù)式表示任意一個奇數(shù)或偶數(shù)等。這些先行組織材料為概念的產(chǎn)生提供了思維鋪墊，為“解釋數(shù)學(xué)”奠基。

其次，讓學(xué)生通過研究月歷掌握概念。“解釋數(shù)學(xué)”是概念生長的外部表現(xiàn)，是新舊經(jīng)驗得以整合并概括的內(nèi)在形式。一是讓學(xué)生在月歷的同一行上任意圈出三個數(shù)，用字母a表示其中一個數(shù)，研究其余兩個數(shù)如何用含有字母a的代數(shù)式表示；二是讓學(xué)生在同一列上任意圈出三個數(shù)，用字母b表示其中一個數(shù)，研究

（）（）如何用含有字母b的代數(shù)式表示其余兩個數(shù)；三是用矩形任意框出四個數(shù)，用字母c表示其中一個數(shù)，研究如何用含有字母c的代數(shù)式表示其余三個數(shù)等。設(shè)置這種貼近生活經(jīng)驗的問題鏈，有利于學(xué)生的“解釋數(shù)學(xué)”素養(yǎng)的發(fā)展。

最后，讓學(xué)生在動手做數(shù)學(xué)的過程中建立概念體系，落實數(shù)學(xué)課程教育的育人價值目標和解釋數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)能力。如圖1，按照如（1）～（5）的小正方形的排列方式進行操作：（1）（2）（3）（4）（5）……（9）（10）（n）各有多少個小正方形？思考：（2）比（1）多幾個小正方形？（3）比（2）呢？（4）比（3）呢？（5）比（4）呢？……（10）比（9）呢？（n）比（n-1）呢？說說你的想法。結(jié)合本次實驗的規(guī)律，你能找到簡單而又快捷地計算式子1+3+5+7+…+997+999的方法嗎？請與同學(xué)交流。

（圖1）

這種帶有鮮明高階思維特征的深度學(xué)習(xí)行為，突出了“思維為經(jīng)驗讓步，經(jīng)驗為方法讓步”的“做”數(shù)學(xué)的特征，聚焦“特殊—一般—特殊”的基本思想和思維方式，反映了解釋數(shù)學(xué)的基本意義。就“解釋數(shù)學(xué)”邏輯理序來說，上述案例中，寫出“數(shù)學(xué)規(guī)律”“數(shù)學(xué)公式”是數(shù)學(xué)思考的執(zhí)行動作，反映“解釋數(shù)學(xué)”的先行組織行為。探索“月歷中數(shù)字規(guī)律”的行為是概念生長的內(nèi)部表現(xiàn)，為后續(xù)的整式、方程、函數(shù)、不等式等運算經(jīng)驗的獲取做好鋪墊。動手“做”數(shù)學(xué)的過程就是概念得以完善的探索過程，也是“解釋數(shù)學(xué)”得以發(fā)揮作用的過程，使得概念的邏輯關(guān)系敞亮通透，突出了不同角度解決問題的優(yōu)越性和基本經(jīng)驗的逆向性。