圖形與幾何：培育數(shù)學(xué)合情推理能力的有效載體

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，尤其是合情推理能力是一項(xiàng)重要任務(wù)。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，明確將合情推理作為培養(yǎng)目標(biāo)，意在糾正過去的數(shù)學(xué)教學(xué)一貫只重嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性的做法。因?yàn)樾W(xué)生自身的認(rèn)知能力較弱，學(xué)習(xí)較強(qiáng)的邏輯性推理知識時不能內(nèi)化知識，而是浮于表面的記憶。而合情推理是讓學(xué)生“從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等思維方式猜測或推斷出某些結(jié)果”，以這樣的探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理更契合學(xué)生思維發(fā)展的順序和層次，更具合理性。反觀當(dāng)前的教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生的合情推理能力普遍缺失，而小學(xué)教材中的“圖形與幾何”知識板塊，對培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力有著獨(dú)特的優(yōu)勢，數(shù)學(xué)教師可針對這一內(nèi)容加強(qiáng)教學(xué)研究，以有效培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。

一、學(xué)生數(shù)學(xué)合情推理能力的缺失

合情推理能力是小學(xué)數(shù)學(xué)的基本思維方式之一，應(yīng)貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程。然而，當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)往往以功利性的成績提升為目的，重結(jié)論灌輸輕推理過程，學(xué)生好知識識記而惡思考反思，這使得學(xué)生的合情推理能力缺失。

（一）教師重結(jié)論灌輸輕合情推理過程

在教學(xué)實(shí)踐中，不少教師的教學(xué)存在重演繹推理、輕合情推理的狀況。教師往往只滿足于證明現(xiàn)成結(jié)論，不夠重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索結(jié)論、提出猜想的過程。也有部分教師雖明白合情推理在教學(xué)中的價值，但對合情推理的基本概念缺乏認(rèn)知，缺少培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的教學(xué)方法，這影響了學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)。

（二）學(xué)生好識記知識而惡思考反思

在學(xué)習(xí)過程中，大多學(xué)生傾向于識記現(xiàn)成的結(jié)論，而不愿思考這個結(jié)論為何而來和如何得來。這種思維習(xí)慣多是由于功利性地追求成績提升而導(dǎo)致的。例如：學(xué)生在幼兒園就知道并牢牢記住了1+1=2，他們在學(xué)習(xí)時只是將其作為一個概念性知識記住，而不涉及推理。到了小學(xué)，要從加法的本質(zhì)上理解其中算理，學(xué)生就會思維定式，不知道如何思考。加之考試往往只檢測結(jié)論，很少考查推理過程，也影響學(xué)生對合情推理能力的關(guān)注。思考推理的“多投入”和簡易識記似乎是同樣的產(chǎn)出，功利性地對比，學(xué)生往往選擇簡單機(jī)械的識記作為主要的學(xué)習(xí)方式。

二、“圖形與幾何”與數(shù)學(xué)合情推理的契合

學(xué)生的合情推理能力是系統(tǒng)發(fā)展而來的，需要靠平時的點(diǎn)滴學(xué)習(xí)來激活，數(shù)學(xué)教學(xué)承擔(dān)著“激活”的職責(zé)，教師應(yīng)重視培育學(xué)生的合情推理能力。而在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“圖形與幾何”知識板塊本身具有的空間特性和符號特點(diǎn)，對學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)有著獨(dú)特的價值和優(yōu)勢。

（一）合情推理能力的內(nèi)涵與特點(diǎn)

“推理”是思維的基本形式之一，是由一個或幾個已知的判斷（前提）推出新判斷（結(jié)論）的過程，而“合情推理能力”則是一種根據(jù)周圍環(huán)境和活動，找出其內(nèi)在的邏輯關(guān)系，從而推理出符合邏輯結(jié)論的能力。

推理應(yīng)“合情”。推理并不是一個獨(dú)立于知識技能之外的活動，也不是一個單列的教學(xué)體系，而是蘊(yùn)含于日常生活、融合在日常教學(xué)之中的?！昂锨椤本褪侵杆捎镁唧w事例、漸進(jìn)過程讓學(xué)生去體驗(yàn)、感悟，讓學(xué)生從中體悟“推理”的背景與前提，能夠從整體上把握“理”。從學(xué)生的可接受性來看，相比演繹推理，學(xué)生更愿意接受觀察、猜測、比較、不完全歸納等學(xué)習(xí)方式，更易接受“非嚴(yán)謹(jǐn)、可猜測”的合情式推理。

推理指向“理”。推理的“理”是一個推演整理的理性過程，還可以理解為一條線索，學(xué)生可以循著這條線索，逐漸推導(dǎo)出一個個結(jié)論。

（二）“圖形與幾何”知識板塊對培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力具有獨(dú)特的優(yōu)勢

蘇教版數(shù)學(xué)教材中的“圖形與幾何”知識板塊在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著無可替代的作用。“圖形與幾何”所涉及的圖形抽象、分類、公式推導(dǎo)等內(nèi)容推理教學(xué)具有獨(dú)特的優(yōu)勢，較典型的當(dāng)屬“圖形的面積計(jì)算”這一知識點(diǎn)。從蘇教版數(shù)學(xué)三下的“長方形和正方形面積計(jì)算”，五上的“平行四邊形、三角形、梯形面積計(jì)算”，五下的“圓面積的計(jì)算”來看，這些公式的推導(dǎo)，教材都安排了豐富的活動，有層次地設(shè)計(jì)具有啟發(fā)性的問題串，引導(dǎo)學(xué)生在直觀操作、觀察比較、分析相關(guān)數(shù)據(jù)的內(nèi)在聯(lián)系中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而推導(dǎo)出公式。每一個公式的推導(dǎo)都是一次完整的合情推理的過程，學(xué)生從中學(xué)得深刻、理解得透徹。

三、巧用“圖形與幾何”培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力

培養(yǎng)合情推理能力是一個由簡到繁、從局部到整體的過程。在教學(xué)中，教師可以根據(jù)教材的編排意圖和學(xué)生的現(xiàn)有水平，整合教材中“幾何與圖形”知識內(nèi)容，合理設(shè)置不同的教學(xué)層次與目標(biāo)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷合情推理的過程，讓學(xué)生逐漸了解和掌握合情推理的思考過程和推理形式，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的目的。[1]

（一）基于年段差異，循序漸進(jìn)有側(cè)重

推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進(jìn)的過程。因此，合情推理能力應(yīng)基于學(xué)生年齡特點(diǎn)，在低、中、高年段循序漸進(jìn)、差異化實(shí)施。

1.小學(xué)低年段：引導(dǎo)學(xué)生初步感受合情推理的過程。

低年段所涉及的推理，主要是一些“簡單推理”，在“圖形與幾何”知識板塊中，教師可以提供直觀圖形幫助學(xué)生有順序、有條理地判斷，讓學(xué)生用自己的語言來描述推理過程，適時創(chuàng)造機(jī)會，讓學(xué)生積累推理經(jīng)驗(yàn)。

例如：在教學(xué)蘇教版一下《認(rèn)識圖形》時，教師可以設(shè)計(jì)簡單圖形（如圖1）并引入教學(xué)，之后再增加一組復(fù)雜圖形（如圖2），加大難度，由淺入深地增強(qiáng)學(xué)生對圖形的感受，并從多個角度展開推理。（1）顏色推理：讓學(xué)生用自己的語言描述，感受判斷依據(jù)。（2）個數(shù)推理：根據(jù)規(guī)律判斷個數(shù)，感受判斷過程。（3）適當(dāng)抽象：引導(dǎo)學(xué)生用類似“1，1，1，2，1，3……”的方式，逐漸感受“黑球總是1個”“白球逐漸增加”的規(guī)律。在低年段，學(xué)生的合情推理意識還處在啟蒙階段，教學(xué)時要注意給學(xué)生提供感受的機(jī)會，增加經(jīng)驗(yàn)。

圖1 簡單圖形

圖2 復(fù)雜圖形

2.小學(xué)中年段：指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)合情推理的方法。

小學(xué)中年段學(xué)生的思維水平有了較大發(fā)展，因此本階段的教學(xué)重心是指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)合情推理的方法。教師可以從簡單枚舉推理開始，繼而引導(dǎo)進(jìn)行科學(xué)歸納推理，讓學(xué)生在此過程中掌握推理方法。

例如：學(xué)習(xí)蘇教版三下《長方形的周長與面積》一課后，教師可以在練習(xí)中設(shè)計(jì)應(yīng)用型問題：用長40cm的細(xì)繩圍一個邊長為整厘米數(shù)的長方形，怎樣才能使面積達(dá)到最大？問題解決可以沿著“獨(dú)立思考—枚舉比較—猜想—驗(yàn)證猜想—獲得規(guī)律—推廣應(yīng)用”的思路來進(jìn)行。學(xué)生先用枚舉初步推測，再根據(jù)算式與結(jié)果的關(guān)系合情推理。經(jīng)歷數(shù)學(xué)推斷的基本過程，讓學(xué)生獲得的結(jié)果具有扎實(shí)的事實(shí)基礎(chǔ)，使這一推斷過程成為學(xué)生今后獨(dú)立探索的成功范例，產(chǎn)生深刻的教育印跡。

3.小學(xué)高年段：強(qiáng)化學(xué)生利用合情推理能力解決問題。

小學(xué)高年段是與中學(xué)銜接的關(guān)鍵學(xué)習(xí)期，教師應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生對合情推理的應(yīng)用。教師可以指導(dǎo)學(xué)生充分運(yùn)用生活經(jīng)驗(yàn)、已有的數(shù)學(xué)知識以及推理方法獨(dú)立推理、解決問題，使學(xué)生在這一過程中，逐步構(gòu)成程序化的操作，形成以數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維解決問題的探索品質(zhì)。

例如：在教學(xué)蘇教版五下《圓的周長綜合應(yīng)用》一課后，教師出示不完整材料：“經(jīng)過這座大橋，自行車約轉(zhuǎn)了多少周？”

師：單憑問題，猜想已知條件是怎樣的？

生：可能會是已知大橋長度和車輪直徑。

師：解決這個問題，算式可能是什么呢？

生：我推測是大橋長度÷車輪周長。

師：如果用 2000÷（3.14×0.6）解決這個問題，你有什么推測？

生：我推測2000是橋長，0.6是車輪直徑，整個算式是求車輪轉(zhuǎn)的周數(shù)。

從問題出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，讓學(xué)生基于個人經(jīng)驗(yàn)和知識進(jìn)行合情推理，逐步明晰完整的情境，最后合情推理解決問題。相比教師常用的“例題講解—獲得方法—練習(xí)鞏固”這一固定的“單行線教學(xué)”，本案例中所實(shí)踐的“提出問題—合情推理—解決問題”這一“逆向結(jié)構(gòu)”，使常見的“正向教學(xué)、反復(fù)操練”轉(zhuǎn)變?yōu)椤半p向構(gòu)建”，充分利用合情推理思維解決問題，提升高段學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

（二）基于類別特點(diǎn)，既有針對又有融合

合情推理能力包括不完全歸納和類比推理兩種，在“圖形與幾何”教學(xué)中，我們既應(yīng)遵循這兩種推理的內(nèi)在特點(diǎn)，又要基于學(xué)生發(fā)展和學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生具有多種推理思維，學(xué)會融合與創(chuàng)新，不斷提升和豐富自身的合情推理能力。

1.不完全歸納推理。

不完全歸納是根據(jù)“個別”推斷“一般”的推理方式，以部分對象所具有的屬性推斷全部對象，這種推理方法有助于學(xué)生通過觀察思考發(fā)現(xiàn)新規(guī)律。在教學(xué)中，教師要根據(jù)這一特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生多觀察多思考，重視過程體驗(yàn)，同時要盡可能多而廣地考察事物對象，做到“厚積”而“薄發(fā)”。

例如：在教學(xué)《長方形面積計(jì)算方法》時，教師可以設(shè)計(jì)實(shí)踐活動展開教學(xué)，讓學(xué)生在擺長方形、測量長方形面積和猜測長方形面積與什么有關(guān)的系列活動中知道公式的由來，體驗(yàn)不完全歸納的推理方法，進(jìn)而抽象出數(shù)學(xué)結(jié)論。同時，針對不完全歸納推理的“不完全”性，教師可以引導(dǎo)學(xué)生搜集生活實(shí)例佐證公式，通過歸納總結(jié)抽象出計(jì)算方法。這樣的“厚積薄發(fā)”是一種科學(xué)態(tài)度，也是應(yīng)對不完全歸納結(jié)果或然性特點(diǎn)的重要策略。

2.類比推理。

類比推理是特殊到特殊的推理方法，是一種“由此及彼”的推斷。類比推理時教師可引導(dǎo)學(xué)生“瞻前顧后”：遇到新問題，想想有可能與哪些“前知識”有關(guān)；學(xué)習(xí)新知識，聯(lián)想可能會采用同樣方法的“后知識”。

例如：教學(xué)蘇教版六下《圓柱體積公式》的推導(dǎo)時，教師要全面了解它的“前知識”是五下的“圓面積的計(jì)算”和“長方體正方體的體積計(jì)算”，“后知識”是圓錐的體積計(jì)算，教學(xué)中應(yīng)“瞻前顧后”，將舊知與新知建立聯(lián)系。把圓柱體積推導(dǎo)上升到體系之中，不僅要整理平面圖形面積推導(dǎo)系列和立體圖形體積推導(dǎo)系列的共同特點(diǎn)，也要由此及彼，引發(fā)學(xué)生對其他數(shù)學(xué)問題的思考。

3.合情推理與演繹推理相融合。

演繹推理和合情推理各有特點(diǎn)，前者重在嚴(yán)謹(jǐn)思考、結(jié)論可靠性高，后者重在探索發(fā)現(xiàn)，但結(jié)論可靠性相對低，兩者各有所長。在“圖形與幾何”知識板塊的教學(xué)中，教師可以基于兩種推理的不同內(nèi)涵和學(xué)生年齡特點(diǎn)，取長補(bǔ)短，適切融合。

例如：在學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)知識后聯(lián)系圓面積知識，設(shè)計(jì)綜合習(xí)題，研究正方形與內(nèi)接圓面積的關(guān)系。教師可以先引導(dǎo)學(xué)生在正方形內(nèi)畫一個最大的圓，研究圓面積與正方形面積的關(guān)系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，不同學(xué)生設(shè)計(jì)的正方形和圓大小都不同，但圓面積都占正方形的78.5%，是巧合嗎？當(dāng)學(xué)生思維陷入矛盾時，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)理證明。從前期簡單枚舉到后期嚴(yán)謹(jǐn)推理，讓學(xué)生經(jīng)歷合情推理和演繹推理相融合的過程，進(jìn)而獲得完整認(rèn)識。

通過培養(yǎng)合情推理能力有助于打開學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，不斷提高其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。而小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“圖形與幾何”知識板塊是一個有效的載體，教師可以借此有的放矢、有計(jì)劃有層次地培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。