解銳角三角函數(shù)易錯(cuò)題分析

文 /武乾俊

銳角三角函數(shù)是各地中考的必考內(nèi)容，現(xiàn)把銳角三角函數(shù)中的易錯(cuò)題列舉出來(lái)，供你學(xué)習(xí)時(shí)參考．

一、銳角三角函數(shù)的概念不清

例1 如圖1，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，則竹竿AB與AD的長(zhǎng)度之比為（ ）.

錯(cuò)因診斷：對(duì)邊與斜邊的比值是這個(gè)角的正弦．

圖1

二、在直角三角形中，誤認(rèn)為∠C一定是直角

例 2在Rt△ABC中，∠A=90°，，AC=6，則AB=（ ）.

A.4 B.6 C.8 D.10

錯(cuò)因診斷：因?yàn)椤螦=90°，所以BC為斜邊，∠C的對(duì)邊AB是直角邊.

正解：在Rt△ABC中，

三、沒(méi)有掌握三角函數(shù)的增減性

例3若銳角α滿足且，則α的范圍是（ ）.

A．30°＜α＜45° B.45°＜α＜60°

C．60°＜α＜90° D.30°＜α＜60°

∴30°＜α＜45°.選A．

錯(cuò)因診斷：當(dāng)α為銳角時(shí)，正弦和正切值隨著角度的增大而增大，而余弦值隨著角度的增大而減?。?/p>

四、在非直角三角形中利用銳角三角函數(shù)求值

例 4在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，則?ABCD的面積是＿＿＿ ．

錯(cuò)解：由?ABCD中BD=10，可知OD=5.

圖2

錯(cuò)因診斷：銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的，△OCD不是直角三角形，因此銳角三角函數(shù)的邊角關(guān)系不成立.把∠BDC放在直角三角形中，才能利用銳角三角函數(shù)的知識(shí)來(lái)求解.

正解：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E.

五、忽視三角函數(shù)值的取值范圍

例5已知銳角A滿足關(guān)系式2sin2A-7sinA+3=0，則sinA的值為＿＿＿ ．

錯(cuò)解：由2sin2A-7sinA+3=0，即（sinA-3）（2sinA-1）=0．

∴sinA-3=0或2sinA-1＝0，即sinA=3或．

錯(cuò)因診斷：A為銳角，則0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，因此sinA=3應(yīng)舍去，只有一個(gè)值sinA=．（正解略）

六、思考問(wèn)題不全面而漏解

例 6△ABC中，AB=12，AC=，∠B=30°，則△ABC的面積是＿＿＿ ．

錯(cuò)解：如圖3，作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D.

在Rt△ABD中，∵AB=12，∠B=30°，

錯(cuò)因診斷：△ABC不一定是銳角三角形，高AD不一定在△ABC的內(nèi)部，應(yīng)分高AD在△ABC內(nèi)部和在△ABC外部討論.

正解：（1）若高AD在△ABC的內(nèi)部，如圖3，解法同上；

（2）若高AD在△ABC的外部，如圖4，作AD⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，

圖3

圖4

七、取近似值不當(dāng)

例7如圖5，為了測(cè)量建筑物AB的高度，在D處樹(shù)立標(biāo)桿CD，標(biāo)桿的高是2m，在DB上選取觀測(cè)點(diǎn)E，F(xiàn)，從E處測(cè)得標(biāo)桿和建筑物的頂部C，A的仰角分別為58°，45°，從F處測(cè)得C，A的仰角分別為22°，70°．求建筑物AB的高度（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75）

圖5

錯(cuò)解：在Rt△CED中，∠CED=58°，

在Rt△CFD中，∠CFD=22°，

∴EF=DF-DE=3.7.

∴EF=BE-BF=AB-0.4AB=0.6AB，

∴0.6AB=3.7，解得AB=6.2（m）.

錯(cuò)因診斷：在取近似值時(shí)，沒(méi)有按題目的要求先多取一位，也沒(méi)有到最后再按要求取近似值，導(dǎo)致結(jié)果有較大的誤差.

正解：在Rt△CED中，∠CED=58°，

∴EF=BE-BF=AB-0.36AB=0.64AB，∴0.64AB=3.75，解得AB≈5.9（m）.因此，建筑物AB的高度約為5.9m.