核磁共振陀螺原子核自旋進(jìn)動(dòng)的建模與仿真

陳曉格，舒 強(qiáng)，朱明智，汪寶旭

(中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所，綿陽(yáng)621999)

0 引言

核磁共振陀螺以原子核自旋磁矩的Larmor進(jìn)動(dòng)為參考基準(zhǔn),通過(guò)檢測(cè)激光測(cè)量陀螺載體相對(duì)慣性空間轉(zhuǎn)動(dòng)引起的Larmor進(jìn)動(dòng)頻率或相位改變,來(lái)獲取載體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速率或角位移。核磁共振陀螺不包含運(yùn)動(dòng)部件,對(duì)加速度不敏感,同時(shí)具有高精度、小體積、低功耗的優(yōu)點(diǎn),是新一代陀螺技術(shù)的典型代表[1]。

1952年,美國(guó)通用電氣公司提出利用核自旋角動(dòng)量的定軸性研制原子自旋陀螺儀。此后,美國(guó)Litton公司、Singer-Kearfott公司、Northrop Grumman公司、斯坦福大學(xué)、加州大學(xué)等開展了相關(guān)研究工作[2-3]。2004年,美國(guó)Northrop Grumman公司基于Litton公司的原理樣機(jī)開始了微型導(dǎo)航級(jí)核磁共振陀螺的研制,并于2013年研制出了體積為10cm3、角度隨機(jī)游走為 0.001(°)/h1/2、零偏穩(wěn)定性為0.02(°)/h的核磁共振陀螺[4]。

在國(guó)內(nèi),據(jù)報(bào)道,已有研究單位成功研制了微型核磁共振陀螺原理樣機(jī),其他研究單位的成果主要集中于核磁共振陀螺的原理驗(yàn)證、方案設(shè)計(jì)、關(guān)鍵部件研制階段[5-9],與國(guó)外相比還有明顯的差距。

本文以基于87Rb-129Xe的核磁共振陀螺為例,通過(guò)對(duì)陀螺惰性氣體原子核自旋進(jìn)動(dòng)力學(xué)方程的分析,從相位控制的角度討論了橫向激勵(lì)磁場(chǎng)的幅值和相位對(duì)惰性氣體原子宏觀磁矩Larmor進(jìn)動(dòng)的影響。建立了宏觀磁矩進(jìn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型,并進(jìn)行了仿真,實(shí)現(xiàn)了宏觀磁矩進(jìn)動(dòng)的穩(wěn)態(tài)自激振蕩,以及陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)角位移信號(hào)的提取、解卷繞處理。

1 核磁共振陀螺的工作原理

核磁共振陀螺的工作原理如圖1所示[10]。

惰性氣體原子具有自旋核磁矩,在外加恒定磁場(chǎng)中會(huì)圍繞外磁場(chǎng)進(jìn)行Larmor進(jìn)動(dòng),進(jìn)動(dòng)頻率為:

式中,γ為原子核旋磁比,B0為恒定磁場(chǎng)強(qiáng)度。

在自然狀態(tài)下,核磁矩的指向雜亂無(wú)章,各原子核磁矩相互抵消。采用z軸方向的圓偏振泵浦光通過(guò)光子角動(dòng)量的傳遞極化堿金屬原子,通過(guò)堿金屬原子與惰性氣體間的自旋交換作用極化惰性氣體原子,使得惰性氣體原子在z軸方向獲得宏觀磁化強(qiáng)度M,即宏觀磁矩。在x軸方向施加振蕩頻率為惰性氣體Larmor進(jìn)動(dòng)頻率的橫向激勵(lì)磁場(chǎng)B1cos(ω0t),使得宏觀磁矩M偏離縱向恒定磁場(chǎng)B0,在xy平面內(nèi)出現(xiàn)橫向分量M⊥,并繞z軸方向以Larmor頻率進(jìn)行進(jìn)動(dòng)。采用固聯(lián)在陀螺載體上的檢測(cè)激光測(cè)量宏觀磁矩水平分量M⊥, 當(dāng)陀螺相對(duì)慣性空間以角速率ωr繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),檢測(cè)激光測(cè)得的進(jìn)動(dòng)頻率ω既包含M⊥的進(jìn)動(dòng)頻率ω0, 又包含陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)角速率ωr, 并且滿足:

在式中,當(dāng)陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)方向與M⊥進(jìn)動(dòng)方向一致時(shí),ωr取正值,反之取負(fù)值,從而實(shí)現(xiàn)載體轉(zhuǎn)動(dòng)角速率的測(cè)量。

同理,探測(cè)光檢測(cè)的進(jìn)動(dòng)相位φ也包含M⊥的進(jìn)動(dòng)相位φ0和陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)角位移α, 且滿足:

通過(guò)對(duì)探測(cè)光檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行處理,即可獲取陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)角位移信息,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)載體轉(zhuǎn)動(dòng)角位移的測(cè)量。

2 核磁共振動(dòng)力學(xué)分析

2.1 橫向激勵(lì)磁場(chǎng)對(duì)129Xe原子自旋進(jìn)動(dòng)的影響

從宏觀層面,Bloch方程可以很好地描述宏觀磁矩M和磁場(chǎng)的相互作用?？紤]光泵浦極化堿金屬原子與惰性氣體原子之間的自旋交換極化作用、原子與氣室壁的碰撞,以及由磁場(chǎng)梯度等因素引起的宏觀磁矩的弛豫,惰性氣體原子自旋進(jìn)動(dòng)的Bloch方程可表示為[11]:

假設(shè)在z軸方向施加恒定磁場(chǎng)B0,在x軸方向施加橫向激勵(lì)磁場(chǎng)B1cos(φ－β)。其中,B1為橫向激勵(lì)磁場(chǎng)的強(qiáng)度,φ為M⊥在xy平面的進(jìn)動(dòng)相位,β為激勵(lì)磁場(chǎng)相對(duì)于核自旋進(jìn)動(dòng)在x軸方向的相位滯后,磁場(chǎng)向量B可表示為:

橫向激勵(lì)磁場(chǎng)Bx可以等效為2個(gè)以z軸為旋轉(zhuǎn)軸且旋轉(zhuǎn)方向相反的圓偏振場(chǎng)的疊加,左旋圓偏振場(chǎng)如式(7)所示,右旋圓偏振場(chǎng)如式(8)所示。

其x分量疊加得到沿x軸方向的激勵(lì)磁場(chǎng),而y分量相互抵消,如式(9)所示。

對(duì)于原子核自旋進(jìn)動(dòng)而言,當(dāng)圓偏振場(chǎng)旋轉(zhuǎn)方向與原子核自旋進(jìn)動(dòng)方向相反時(shí),原子核的自旋磁矩不受影響,只有與原子核進(jìn)動(dòng)方向相同的圓偏振場(chǎng)才能引起原子核自旋磁矩的能量吸收,形成宏觀意義上的核磁共振。假設(shè)宏觀磁矩M繞z軸沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行Larmor進(jìn)動(dòng),此時(shí)僅考慮Bx的右旋偏轉(zhuǎn)場(chǎng),磁場(chǎng)向量B可等效為:

為簡(jiǎn)化式(5),宏觀磁矩水平分量M⊥用相量形式表示:

即:

式中,M⊥為M⊥的模值,ω為M⊥的進(jìn)動(dòng)頻率。將式(11)、式(12)代入式(5)并分離實(shí)部和虛部,可得關(guān)于宏觀磁矩縱向分量Mz、水平分量M⊥的模值M⊥以及相位φ的微分方程,如式(13)所示。

將式(10)代入式(13),可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為:

可得M⊥和Mz的穩(wěn)態(tài)解:

由式(15)可知,在激勵(lì)磁場(chǎng)Bx與宏觀磁矩x軸分量Mx進(jìn)動(dòng)的相位差β恒定的前提下,原子核自旋宏觀磁矩進(jìn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí),M的縱向分量Mz和水平分量模值M⊥不隨宏觀磁矩的進(jìn)動(dòng)而改變,即M偏離z軸向xy平面傾斜了一個(gè)固定角度θ,滿足:

將式(15)代入式(14)可得:

式中,ω為宏觀磁矩M的Larmor進(jìn)動(dòng)頻率；等號(hào)右側(cè)第1項(xiàng)(－γB0)為核磁矩在恒定磁場(chǎng)B0中的進(jìn)動(dòng)頻率,負(fù)號(hào)意味著當(dāng)原子核自旋旋磁比γ＞0時(shí),核自旋在磁場(chǎng)中的進(jìn)動(dòng)方向?yàn)槔@z軸順時(shí)針?lè)较?γ＜0時(shí)核自旋繞z軸逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)動(dòng)；等號(hào)右側(cè)第2項(xiàng)(Γ2cotβ)為由激勵(lì)磁場(chǎng)相位滯后β引發(fā)的宏觀磁矩進(jìn)動(dòng)頻率的失諧量。由式(15)可知,通過(guò)控制激勵(lì)磁場(chǎng)的相位使β鎖定在π/2,即可消除Γ2cotβ項(xiàng)。此時(shí),Bx可表示為 :

對(duì)比式(12)可知,使激勵(lì)磁場(chǎng)Bx與宏觀磁矩y軸分量My的相位保持一致,陀螺中工作介質(zhì)原子宏觀磁矩的Larmor進(jìn)動(dòng)頻率將僅依賴于恒定磁場(chǎng)B0。β＝π／2時(shí),將式(17)兩側(cè)對(duì)時(shí)間t進(jìn)行積分,可得M⊥的進(jìn)動(dòng)相位:

式(15)可化簡(jiǎn)為:

對(duì)于宏觀磁矩水平分量M⊥而言,在陀螺工作介質(zhì)惰性氣體的同位素確定的情況下,旋磁比γ、弛豫率Г1及Г2均為常量,只有超極化率Rse、激勵(lì)磁場(chǎng)幅度B1影響其幅值。Rse對(duì)M⊥的影響是線性的,超級(jí)化率越高,信號(hào)強(qiáng)度越大；B1對(duì)M⊥的影響是非線性的,其值過(guò)大或過(guò)小都會(huì)導(dǎo)致M⊥信號(hào)強(qiáng)度減小。當(dāng)激勵(lì)磁場(chǎng)幅值B1滿足時(shí),宏觀磁矩水平分量模值M⊥取最大值。此時(shí),宏觀磁矩水平分量的進(jìn)動(dòng)信號(hào)最強(qiáng),更容易被檢測(cè)到。

2.2 陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)129Xe原子自旋進(jìn)動(dòng)的影響

以上對(duì)陀螺相對(duì)慣性空間不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的核磁共振動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了分析。當(dāng)陀螺隨載體以角速率ωr繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),相對(duì)于陀螺載體可等效于在z軸方向施加了磁場(chǎng)ωr／γ[12],z軸方向上的磁場(chǎng)等效于:

將式(22)代入式(4),可得陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)原子自旋進(jìn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型:

當(dāng)陀螺隨載體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),橫向激勵(lì)磁場(chǎng)與惰性氣體原子宏觀磁矩水平分量M⊥相對(duì)載體系的相位關(guān)系將發(fā)生改變,即重新產(chǎn)生一個(gè)隨載體轉(zhuǎn)動(dòng)而變化的相位差β。由2.1的分析可知,宏觀磁矩M與z軸的相對(duì)角度將發(fā)生變化,M⊥和Mz不再保持恒定狀態(tài),M在繞z軸進(jìn)動(dòng)的同時(shí)也在z軸和xy平面之間波動(dòng),即宏觀磁矩出現(xiàn)了章動(dòng),直至達(dá)到新的平衡狀態(tài)。在這種情況下,很難利用宏觀磁矩水平分量的Larmor進(jìn)動(dòng)信號(hào)來(lái)獲取載體的轉(zhuǎn)動(dòng)信息。為了維持原子核自旋進(jìn)動(dòng)穩(wěn)定的核磁共振狀態(tài),可以采取反饋控制方案,實(shí)時(shí)鎖定激勵(lì)磁場(chǎng)與惰性氣體原子核自旋進(jìn)動(dòng)的相位關(guān)系。假設(shè)陀螺隨載體系繞z軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為α,此時(shí)Bx的相位應(yīng)滯后相等的角度,即等效旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)α角度,才能保持激勵(lì)磁場(chǎng)與宏觀磁矩水平分量的相位關(guān)系,使β＝π/2,激勵(lì)磁場(chǎng)應(yīng)滿足:

激勵(lì)磁場(chǎng)與宏觀磁矩進(jìn)動(dòng)的相位關(guān)系鎖定后,將式(22)代入式(18)、式(19)替換B0,可得載體系檢測(cè)光測(cè)得的M⊥的進(jìn)動(dòng)頻率ω和φ,滿足:

式中,α＝∫ωrdt為陀螺相對(duì)慣性系的轉(zhuǎn)動(dòng)角位移,φ0＝－γB0t為M⊥相對(duì)慣性系的進(jìn)動(dòng)相位。

由式(25)可知,陀螺中工作介質(zhì)原子宏觀磁矩水平分量M⊥的進(jìn)動(dòng)相位/頻率受陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)角位移/角速率的線性調(diào)制。通過(guò)對(duì)宏觀磁矩水平分量進(jìn)動(dòng)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè),在檢測(cè)信號(hào)中減去宏觀磁矩水平分量相對(duì)慣性系的進(jìn)動(dòng)相位/頻率,即可分離出陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)角位移/角速率,實(shí)現(xiàn)載體轉(zhuǎn)動(dòng)信息的測(cè)量。

3 Simulink建模與仿真分析

3.1 仿真模型的建立

根據(jù)2.2動(dòng)力學(xué)模型,建立了核磁共振陀螺原子自旋進(jìn)動(dòng)的Simulink仿真模型。模型封裝如圖2所示,輸入接口分別為x、y、z方向的磁場(chǎng)Bx、By、Bz,以及模擬陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移信號(hào)α；輸出接口分別為x、y、z方向的宏觀磁矩分量Mx、My、Mz。

實(shí)現(xiàn)核磁共振陀螺橫向激勵(lì)磁場(chǎng)的閉環(huán)控制需要提取檢測(cè)激光中包含的宏觀磁矩水平分量進(jìn)動(dòng)相位信息作為反饋信號(hào),從仿真角度,直接采用宏觀磁矩進(jìn)動(dòng)信號(hào)y軸分量My進(jìn)行相位反饋,可以驗(yàn)證穩(wěn)態(tài)核磁共振的條件。由2.2分析可知,宏觀磁矩水平分量的進(jìn)動(dòng)相位受陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)角位移的線性調(diào)制。對(duì)于相位調(diào)制信號(hào),可以采用鎖相解調(diào)技術(shù)分離調(diào)制信號(hào),但就核磁共振模型而言,其輸出信號(hào)包含核自旋進(jìn)動(dòng)信號(hào)的同相分量Mx和正交分量My,因而采用復(fù)信號(hào)解調(diào)方法構(gòu)造相位比較器,可以簡(jiǎn)單、快速地從自旋進(jìn)動(dòng)信號(hào)中分離陀螺角位移信號(hào)。激勵(lì)磁場(chǎng)反饋控制原理框圖如圖2所示,主要包括129Xe原子自旋進(jìn)動(dòng)模型、激勵(lì)磁場(chǎng)反饋控制模塊、相位比較器、相位解卷繞模塊。

磁場(chǎng)反饋控制模塊使激勵(lì)磁場(chǎng)瞬時(shí)相位實(shí)時(shí)跟隨My進(jìn)動(dòng)相位,實(shí)現(xiàn)了陀螺載體系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)工作介質(zhì)原子宏觀磁矩的穩(wěn)態(tài)進(jìn)動(dòng)。

相位比較器用于比較M⊥相對(duì)載體系的進(jìn)動(dòng)相位與參考信號(hào)瞬時(shí)相位的相位差,參考信號(hào)瞬時(shí)相位等于宏觀磁矩相對(duì)慣性坐標(biāo)系的進(jìn)動(dòng)相位。對(duì)參考信號(hào)相移90°構(gòu)造復(fù)信號(hào),與以Mx為實(shí)部、My為虛部構(gòu)造的復(fù)信號(hào)相乘,并對(duì)得到的以α為相角的復(fù)信號(hào)進(jìn)行相角提取,即可得到陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)角位移。

相位比較器輸出的角位移幅度范圍為－π～＋π,當(dāng)實(shí)際信號(hào)幅度｜α｜＞π時(shí),角位移將在α＝＋π或α＝－π處發(fā)生跳變,即出現(xiàn)了相位卷繞。通過(guò)解卷繞處理,即可得到反映真實(shí)角位移變化的相位信號(hào)。

3.2 仿真結(jié)果和分析

本文中,陀螺工作介質(zhì)惰性氣體為氙的同位素129Xe。129Xe的弛豫時(shí)間受原子氣室體積、氣室壁抗弛豫鍍膜材料、氣室磁場(chǎng)梯度、緩沖氣體原子密度等因素影響,其值通常為10s量級(jí)。諾格公司[13]已實(shí)現(xiàn)在2mm3氣室中的弛豫時(shí)間大于26s,在1mm3氣室中的弛豫時(shí)間大于22s；加州大學(xué)歐文分校[14]在微型氣室中實(shí)現(xiàn)了7.5s的弛豫時(shí)間。鑒于取值將直接影響宏觀磁矩進(jìn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間,且不影響模型對(duì)其他參數(shù)的分析,為縮短仿真時(shí)間,假定橫向弛豫時(shí)間和縱向弛豫時(shí)間相等,均取1s,則弛豫率Г1＝Г2＝1。 旋磁比為γ＝－2π×11.86Hz/μT。外加恒定磁場(chǎng)B0的幅度通常為0.1G～10G[15]。仿真時(shí)采用Litton公司[16]的專利數(shù)據(jù),取B0為11.4μT。橫向激勵(lì)磁場(chǎng)幅度根據(jù)K⊥達(dá)到最大值的條件取 0.026μT, 振蕩頻率等于129Xe原子的Larmor進(jìn)動(dòng)頻率135.2Hz。根據(jù)2.1的分析,Rse的取值僅影響宏觀磁矩的穩(wěn)態(tài)幅值,與信號(hào)的性質(zhì)無(wú)關(guān),取Rse＝1。 仿真求解器選擇ode45,仿真步長(zhǎng)為0.0001s,陀螺載體系不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為10s,轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為12s。

圖3為陀螺載體系不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),129Xe原子宏觀磁矩自旋進(jìn)動(dòng)的時(shí)域響應(yīng)。由于激勵(lì)磁場(chǎng)幅值較小,為便于觀察,在圖3(d)中取10Bx。 可以看出,129Xe宏觀磁矩在外加磁場(chǎng)、87Rb超極化及弛豫因素的綜合作用下,在x、y、z方向的分量經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的建立過(guò)程最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),Mx、My的穩(wěn)態(tài)幅度0.5與仿真參數(shù)代入式(21)的理論值吻合。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn),Mx、My以Larmor進(jìn)動(dòng)頻率進(jìn)行進(jìn)動(dòng)且相位相差90°,My始終與Bx保持同相。

圖4為陀螺載體系不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),不同激勵(lì)磁場(chǎng)幅值B1對(duì)x向宏觀磁矩分量Mx的影響。由圖4可知,磁場(chǎng)幅度過(guò)大或過(guò)小都將導(dǎo)致Mx穩(wěn)態(tài)幅值減小。當(dāng)B1取時(shí),M幅度最大。此外,Mxx越小,宏觀磁矩建立穩(wěn)態(tài)進(jìn)動(dòng)的過(guò)程越平穩(wěn),但響應(yīng)速度較慢；隨著B1的增大,Mx建立穩(wěn)態(tài)進(jìn)動(dòng)過(guò)程的振蕩更加激烈,但響應(yīng)速度較快。

圖5為模擬陀螺載體系從仿真時(shí)間8s開始,在宏觀磁矩已建立穩(wěn)態(tài)進(jìn)動(dòng)的情況下,以1rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)Mx的時(shí)域響應(yīng)及模型輸出的角位移信號(hào)。圖5(a)為未對(duì)激勵(lì)磁場(chǎng)施加反饋控制的情況,可以看出,當(dāng)載體系開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),Mx的穩(wěn)定進(jìn)動(dòng)狀態(tài)被破壞,仿真模型輸出的角位移不能反映載體系的角運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖5(b)為施加了激勵(lì)磁場(chǎng)反饋控制的情況,顯然,對(duì)橫向激勵(lì)磁場(chǎng)的閉環(huán)控制,保證了宏觀磁矩的穩(wěn)定進(jìn)動(dòng),仿真輸出角位移與實(shí)際角位移吻合程度較理想。

圖6為載體系模擬角位移信號(hào)分別為4sin(100πt)和4sin(10πt2)時(shí)的仿真輸出結(jié)果。 由圖6可知,模型可以很好地跟蹤陀螺載體系的非勻速角運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)核磁共振陀螺核自旋進(jìn)動(dòng)的建模、分析和仿真驗(yàn)證,得出維持陀螺惰性氣體原子宏觀磁矩穩(wěn)態(tài)Larmor進(jìn)動(dòng)的條件是保持激勵(lì)磁場(chǎng)相位與宏觀磁矩y向分量進(jìn)動(dòng)相位一致；激勵(lì)磁場(chǎng)的幅值對(duì)宏觀磁矩穩(wěn)態(tài)進(jìn)動(dòng)的建立時(shí)間和穩(wěn)態(tài)幅值有直接影響,

在選取激勵(lì)磁場(chǎng)時(shí)應(yīng)進(jìn)行綜合考慮；建立的反饋控制方案可以很好地實(shí)現(xiàn)對(duì)陀螺載體坐標(biāo)系角運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的跟蹤。通過(guò)修改參數(shù),該模型可適用于其他工作介質(zhì)的核磁共振陀螺仿真,對(duì)于核磁共振陀螺的方案設(shè)計(jì)、相關(guān)參數(shù)選取、陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)信號(hào)提取方案設(shè)計(jì)等具有一定的參考意義。