實二次型的教學(xué)探索

卞小霞　季紅蕾

摘要：二次型理論在經(jīng)濟管理、工程技術(shù)等領(lǐng)域有較多應(yīng)用，其本身在線性代數(shù)課程中又是矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用，教學(xué)中應(yīng)予以重視。本文結(jié)合教學(xué)實踐，探討二次型教學(xué)中需突出的重點。

關(guān)鍵詞：二次型；矩陣；變換；正定性

中圖分類號：O151 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）50-0195-02

在本科數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課中，線性代數(shù)是一門古老的數(shù)學(xué)學(xué)科，特點是概念較多、內(nèi)容抽象，而數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性包括抽象和概念，無法回避。這時需要教師進(jìn)行相應(yīng)處理，化解問題，即盡可能地從實際背景中提取問題，使概念可視化、可理解化，類比分析較復(fù)雜的內(nèi)容，并延伸探討使學(xué)生能課外思考，針對這幾點，本文提出以下思路。

一、情境創(chuàng)設(shè)

因?qū)嶋H問題中遇到的矩陣往往不滿足對稱性，即一般矩陣的正定性在實際應(yīng)用中更加頻繁，比如本文第一部分中航天器姿態(tài)問題，姿態(tài)穩(wěn)定性的證明就需要利用非對稱實矩陣的正定性。為此不少學(xué)者針對矩陣的正定性做了大量研究工作。殷慶祥等得到了矩陣正定性判別的不同結(jié)果[3，4]。

（二）Matlab可視化教學(xué)

二次型中有較多的代數(shù)表達(dá)式，內(nèi)容難免抽象，教學(xué)中可以利用Matlab的可視化效果使學(xué)生能直觀認(rèn)識一些概念，加強理解的效果。下面以正交變換過程為例。

例：利用正交變換將（1）式化為標(biāo)準(zhǔn)形。

在命令框中輸入：A=[53；35]；[V，D]=eig（A）；

即可得到結(jié)果：V=[-0.701 0.701；0.701 0.701]；D=[20；08].

此外，教師利用“meshgrid，plot3”等命令還可以分別作出正定、負(fù)定、不定二次型的圖形，直觀比較之下降低了內(nèi)容的難度，也使教學(xué)過程生動鮮活，從而學(xué)生才能興趣盎然地參與課堂。

四、結(jié)論

目前，高等教育已經(jīng)從精英教育轉(zhuǎn)向大眾教育，筆者所在的工科院校較大比例的學(xué)生不從事數(shù)學(xué)研究工作，這種情況下讓學(xué)生掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，加強學(xué)生的應(yīng)用能力、邏輯思維、創(chuàng)造精神的培養(yǎng)才是更重要的。我們在教學(xué)過程中需要加強應(yīng)用背景的探討，所學(xué)知識的類比分析，請學(xué)生課外自主延伸閱讀，調(diào)動學(xué)生的積極主動性。在這樣的學(xué)習(xí)方式下，學(xué)生在將來的工作中才能更好地應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]陳萬勇，等.線性代數(shù)[M].電子工業(yè)出版社，2013.

[3]李炯生.實方陣的正定性[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，1985，（3）：67-73.

[4]錢云，顧傳青. 矩陣正定性的進(jìn)一步推廣[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報， 2014，（28）：215-217.