基于解析方法的半剛性基層瀝青路面裂縫反射問題研究

高嫄嫄， 王維玉， 趙慶新

(1. 燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島 066004； 2. 河北省建筑科學(xué)研究院，河北 石家莊 050051)

0 引 言

半剛性基層瀝青路面以其良好的剛度，強(qiáng)度和穩(wěn)定性成為目前國(guó)內(nèi)廣泛采用的一種路面結(jié)構(gòu)形式。但是由于半剛性基層材料的特性，由溫縮和干縮所引起的半剛性基層開裂且裂縫向?yàn)r青面層反射是這類路面結(jié)構(gòu)的主要破壞形式之一。當(dāng)裂縫不斷擴(kuò)展而貫穿整個(gè)路面結(jié)構(gòu)，路表水進(jìn)入到對(duì)水更為敏感的土基時(shí)將形成更為嚴(yán)重的路面結(jié)構(gòu)性破壞，因此，成諸多學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問題。

針對(duì)瀝青路面半剛性基層裂縫反射機(jī)理的研究方法主要包括室內(nèi)試驗(yàn)[1-3]、室外足尺試驗(yàn)[4-5]和理論建模模擬等[6-7]。徐華等利用改進(jìn)的Williams級(jí)數(shù)，結(jié)合廣義參數(shù)有限元法和常規(guī)等參元法等方法，對(duì)反射裂縫擴(kuò)展過程中應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律進(jìn)行研究[8]。王雪蓮等采用，對(duì)半剛性基層復(fù)合路面結(jié)構(gòu)裂縫尖端應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行研究，分析裂縫擴(kuò)展機(jī)理以影響裂縫擴(kuò)展速率的因素[9]。鄭大為等應(yīng)用有限差分?jǐn)?shù)值軟件FLAC3D數(shù)值模擬基層水泥含量對(duì)反射裂縫影響[10]。元松等基于疲勞斷裂理論，應(yīng)用ANSYS有限元軟件研究路面結(jié)構(gòu)層各參數(shù)、層間接觸狀態(tài)和荷載的作用方式等對(duì)瀝青路面反射裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子變化規(guī)律的影響[11]。對(duì)于半剛性基層瀝青路面裂縫反射機(jī)理的研究雖然開展了大量的工作，但仍沒能完全解決這一問題。開展基于解析方法的半剛性基層開裂瀝青路面的力學(xué)性能研究，解析解可更直接的體現(xiàn)裂縫擴(kuò)展控制變量與路面各參數(shù)間的量化關(guān)系。

以斷裂力學(xué)理論為基礎(chǔ)，建立半剛性基層含裂縫的瀝青路面理論分析模型，根據(jù)線彈性疊加理論將問題進(jìn)行簡(jiǎn)化，并在此基礎(chǔ)上經(jīng)過公式推導(dǎo)求得路面結(jié)構(gòu)內(nèi)任一點(diǎn)位移、應(yīng)力及應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式和數(shù)值解。分析裂縫在半剛性基層中出現(xiàn)的位置、車輛荷載的位置及各結(jié)構(gòu)層模量對(duì)裂縫擴(kuò)展的影響。為半剛性基層瀝青路面結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和施工提供理論參考依據(jù)。

1 模型的建立

將半剛性基層瀝青路面結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為彈性層狀體，計(jì)算模型如圖1。模型中x為路面深度方向，y為路面縱向方向，h0為瀝青面層的厚度，h1為半剛性基層的厚度，Em(m=0,1,2)分別為瀝青面層、半剛性基層和土基彈性模量，μm(m=0,1,2)為路面各結(jié)構(gòu)層的泊松比，P(y)為車輛荷載的線分布函數(shù)，L為荷載作用的范圍，l為荷載中心到裂縫的水平距離，a，b分別為裂縫兩端點(diǎn)到路表面的距離。當(dāng)a=h0時(shí)，裂縫出現(xiàn)在半剛性基層頂部。

圖1 含裂縫半剛性基層瀝青路面結(jié)構(gòu)理論分析模型Fig. 1 Theoretical analysis model of semi-rigid base asphalt pavement structure with cracks

由線彈性疊加原理，為簡(jiǎn)化計(jì)算，將圖1模型簡(jiǎn)化為3個(gè)子問題疊加的形式，如圖2、圖3和圖4。圖2模型為車輛荷載作用下的瀝青路面結(jié)構(gòu)。圖3模型為半剛性基層含有裂縫且裂縫表面作用有對(duì)稱荷載的瀝青路面結(jié)構(gòu)。圖4為半剛性基層含有裂縫且裂縫表面作用有反對(duì)稱荷載的瀝青路面結(jié)構(gòu)。

圖2 子模型1Fig. 2 Sub-model 1

圖3 子模型2Fig. 3 Sub-model 2

圖4 子模型3Fig. 4 Sub-model 3

由于子問題2與子問題3的求解過程相類似，子問題1的求解過程相對(duì)簡(jiǎn)單，所以這里不做詳細(xì)介紹。由線彈性疊加理論，子問題2、3中的p1(x)和q1(x)可通過子問題1的求解得到，可表示為：

(1)

筆者將著重論述子問題2的求解過程。

子問題2(圖3模型)的邊界條件如下：

σxx0(0,y)=0,-∞

(2)

σxy0(0,y)=0,-∞

(3)

σxy0(x,0)=0,0

(4)

v0(x,0)=0,0

(5)

σxy1(x,0)=0,h0

(6)

v1(x,0)=0,h0

(7)

σyy2(x,0)=p1(x),a

(8)

σxy2(x,0)=0,h0+h1

(9)

v2(x,0)=0,h0+h1

(10)

σxx2→0,σyy2→0,σxy2→0,y→∞,x→∞

(11)

u0(h0,y)=u1(h0,y),-∞

(12)

v0(h0,y)=v1(h0,y),-∞

(13)

σxx0(h0,y)=σxx1(h0,y),-∞

(14)

σxy0(h0,y)=σxy1(h0,y),-∞

(15)

u1(h0+h1,y)=u2(h0+h1,y),-∞

(16)

v1(h0+h1,y)=v2(h0+h1,y),-∞

(17)

σxx1(h0+h1,y)=σxx2(h0+h1,y),-∞

(18)

σxy1(h0+h1,y)=σxy2(h0+h1,y),-∞

(19)

2 子問題2的求解

平面問題位移解法控制方程可統(tǒng)一表示為[12]：

(20)

(21)

式中：對(duì)于平面應(yīng)力問題，k=(3-μ)/(1+μ)，對(duì)于平面應(yīng)變問題，k=3-4μ，在子問題2中，k=3-4μ；u，v分別為沿x和y軸方向的位移。

由胡克定律，應(yīng)力與位移可表示為：

(22)

(23)

(24)

式中：G為剪切模量。

分別對(duì)位移控制方程式(20)，(21)做關(guān)于x和y的傅里葉變換，將偏微分方程組轉(zhuǎn)化為常微分方程組，解常微分方程組可以得到位移um和vm的表達(dá)式為：

(25)

e-ηx[ηAm3+(ηx-km)Am4]}sin(ηy)dη+

(26)

式中：Bm3和Bm4為變量ξ的函數(shù)；Am1，Am2，Am3和Am4為變量η的函數(shù)；m=0,1,2。

由胡克定律，將式(25)和(26)代入到式(22)～(24)中，可以得到應(yīng)力表示：

e-ηx[-2ηAm3+(km-1-2ηx)Am4]}cos(ηy)dη+

|ξ|(km2-4km+3)Bm4]dξ

(27)

e-ηx[2ηAm3-(km+3-2ηx)Am4]}cos(ηy)dη+

(28)

e-ηx[-2ηAm3+(km+1-2ηx)Am4]}sin(ηy)dη-

(29)

因計(jì)算模型各層中μm的取值相差不大，對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的影響不大，所以取μ0=μ1=μ2=μ，即k0=k1=k2=k。

為推導(dǎo)公式方便，引入位錯(cuò)密度函數(shù)[13]，其定義是為：

(30)

式中：g1(x)=0,h0

未知函數(shù)Am1、Am2、Am3、Am4、Bm3和Bm4可用位錯(cuò)密度函數(shù)表示。

將應(yīng)力與位移的表達(dá)式代入到邊界條件式(6)、(7)、(9)、(10) 和 (11)中，可得到：

B01=B02=B23=B24=0

(31)

A21=A22=0

(32)

根據(jù)位錯(cuò)密度函數(shù)的定義式，將應(yīng)力表達(dá)式帶入到邊界條件式(6)中，經(jīng)過整理可以得到：

(33)

(34)

將位移及應(yīng)力表達(dá)式帶入到邊界條件(2)～(3)和(12)～(19)，分別對(duì)等式兩邊進(jìn)行傅里葉積分逆變換并應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)雜積分，可以得到：

2ηA01+(k-1)A02-2ηA03+(k-1)A04=0

(35)

-2ηA01-(k+1)A02-2ηA03+(k+1)A04=0

(36)

eηh0(A01+A02h0)+e-ηh0(A03+A04h0)-

eηh0(A11+A12h0)-e-ηh0(A13+A14h0)=

(37)

(38)

G0{eηh0[2ηA11+(k-1+2ηh0)A12]+

e-ηh0[-2ηA13+(k-1-2ηh0)A14]}-

G1{eηh0[2ηA21+(k-1+2ηh0)A22]+

e-ηh0[-2ηA23+(k-1-2ηh0)A24]}=

(39)

G0{eηh0[-2ηA01-(k+1+2ηh0)A02]+

e-ηh0[-2ηA03+(k+1-2ηh0)A04]}-

G1{eηh0[-2ηA11-(k+1+2ηh0)A12]+

e-ηh0[-2ηA13+(k+1-2ηh0)A14]}=

(40)

eη(h0+h1)[A11+(h0+h1)A12]+e-η(h0+h1)[A13+(h0+h1)A14]-e-η(h0+h1)[A23+(h0+h1)A24]=

(41)

-eη(h0+h1){ηA11+[η(h0+h1)+k]A12}+

e-η(h0+h1){ηA13+[η(h0+h1)-k]A14}-

e-η(h0+h1){ηA23+[η(h0+h1)-k]A24}=

(42)

G1eη(h0+h1){2ηA11+[k-1+2η(h0+h1)]A12}+

G1e-η(h0+h1){-2ηA13+[k-1-2η(h0+h1)A14]}-

G2e-η(h0+h1){-2ηA23+[k-1-2η(h0+h1)]A24}=

(43)

(44)

式中：F11(η,t)～F18(η,t)為η,t的函數(shù)。

解由式(35)～(44)組成的線性方程組，可得到Am1、Am2、Am3、Am4、Bm3和Bm4關(guān)于g1(x)的具體表達(dá)式。

將Am1、Am2、Am3、Am4、Bm3和Bm4帶入到邊界條件式(8)中，經(jīng)過整理化簡(jiǎn)可得到：

(45)

(46)

(47)

式中：ωj為權(quán)函數(shù)，ωj=π/(n-1),j=2,…,n-1，ω1=ωn=π/2(n-1)；rj=cos((j-1)π/(n-1)),j=1,…,n；si=cos((2i-1)π/(2n-1)),i=1,…,n-1。

由位錯(cuò)密度函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于平面內(nèi)部含有裂縫的問題可以得到補(bǔ)充方程：

(48)

求解線性方程組(47)和(48)可以得到問題的數(shù)值解。

由應(yīng)力強(qiáng)度因子的定義式[13]：

(49)

(50)

經(jīng)過整理可以得到：

(51)

(52)

子問題3與子問題2的求解過程相類似，其應(yīng)力強(qiáng)度因子定義式為：

(53)

(54)

3 計(jì)算實(shí)例分析

為了分析影響裂縫在半剛性基層中擴(kuò)展的主要因素，以實(shí)際瀝青路面為例，應(yīng)用本文前面介紹的公式推導(dǎo)過程和奇異積分?jǐn)?shù)值求解方法，計(jì)算裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值解。圖1為瀝青路面模型，各參數(shù)選取如下：h0=0.25 m，h1=0.5 m，k=1.6，L=0.15 m，P(y)=0.7 MPa，E0=1500 MPa，E1=2 000 MPa，E2=50 MPa，裂縫的長(zhǎng)度d=b-a=0.01 m。筆者重點(diǎn)研究了裂縫向?yàn)r青面層擴(kuò)展的規(guī)律，所以只對(duì)裂縫尖端a的應(yīng)力強(qiáng)度因子值進(jìn)行了討論。對(duì)比分析了裂縫在基層中出現(xiàn)的位置、車輛荷載與裂縫的相對(duì)位置及路面結(jié)構(gòu)層模量對(duì)裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算結(jié)果的影響，計(jì)算結(jié)果如圖5～圖10。

圖5 不同裂縫位置及不同荷載位置應(yīng)力強(qiáng)度因子KIa計(jì)算結(jié)果Fig. 5 Calculation results of stress intensity factor KIa with differentvcrack locations and different load positions

圖6 不同裂縫位置及不同荷載位置應(yīng)力強(qiáng)度因子KIIa計(jì)算結(jié)果Fig. 6 Calculation results of stress intensity factor KIIa with different crack locations and different load positions

圖7 不同瀝青面層模量及不同裂縫位置應(yīng)力強(qiáng)度因子KIa計(jì)算結(jié)果Fig. 7 Calculation results of stress intensity factor KIa with different asphalt surface modulus and different crack locations

圖8 不同瀝青面層模量及不同裂縫位置應(yīng)力強(qiáng)度因子KIIa計(jì)算結(jié)果Fig. 8 Calculation results of stress intensity factor KIIa with different asphalt surface modulus and different crack locations

圖9 不同半剛性基層模量及不同裂縫位置應(yīng)力強(qiáng)度因子KIa計(jì)算結(jié)果Fig. 9 Calculation results of stress intensity factor KIa with different semi-rigid base modulus and different crack locations

圖10 不同半剛性基層模量及不同裂縫位置應(yīng)力強(qiáng)度因子KIIa計(jì)算結(jié)果Fig. 10 Calculation results of stress intensity factor KIIa with different semi-rigid base modulus and different crack locations

當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度因子KIa為負(fù)值時(shí)說明裂縫尖端作用有壓應(yīng)力，這對(duì)于阻止裂縫擴(kuò)展是有利，所以本文側(cè)重討論KIa為正值得情況。而KIIa的正負(fù)只表明裂縫滑動(dòng)趨勢(shì)方向不同，對(duì)于裂縫擴(kuò)展的效果都是一樣的，所以對(duì)KIIa主要討論其絕對(duì)值的大小。

圖5為裂縫出現(xiàn)在不同位置及不同荷載位置下KIa的計(jì)算結(jié)果。由圖5可知：當(dāng)a-h0小于0.15 m時(shí)，KIa都為負(fù)值，在這里不做討論；當(dāng)a-h0大于0.2 m，KIa為正值，并且在荷載位置一定的情況下，KIa隨著a-h0的增大而增大。所以裂縫出現(xiàn)的位置越靠近半剛性基層下部越容易出現(xiàn)張開型反射裂縫。

圖6為裂縫出現(xiàn)在不同位置及不同荷載位置下KIIa的計(jì)算結(jié)果。由圖6可知：裂縫與荷載中心的水平相對(duì)位置l小于0.3 m且荷載位置一定時(shí)，KIIa值隨著a-h0增大而增大；當(dāng)l大于0.3 m時(shí)，這種變化趨勢(shì)不再明顯；當(dāng)a-h0為定值，l在0.2 ～0.3 m時(shí)，KIIa出現(xiàn)最大值，這也是滑開型裂縫是最不利的荷載位置。

圖7和圖8分別為瀝青面層彈性模量在1 200～1 600 MPa范圍內(nèi)變化時(shí)KIa和KIIa的計(jì)算結(jié)果。圖7中曲線KIa>0的部分和圖8中的幾條曲線都幾乎重疊在一起，說明通過改變?yōu)r青面層的彈性模量來抑制裂縫擴(kuò)展是不可行的。

圖9和圖10分別為在最不利荷載位置(即l=0 m和l=0.3 m)下且半剛性基層模量在1 200 MPa～2 000 MPa范圍內(nèi)變化時(shí)KIa和KIIa的計(jì)算結(jié)果。對(duì)比圖9中幾條曲線KIa大于0的部分和圖10的幾條曲線，KIa和KIIa都隨著半剛性基層模量的減小而減小，所以可以考慮通過降低半剛性基層的彈性模量來減緩或抑制裂縫向面層的反射。

5 結(jié) 論

以斷裂力學(xué)理論為基礎(chǔ)，建立含裂紋半剛性基層瀝青路面理論分析模型。通過公式推導(dǎo)、數(shù)值計(jì)算得到含裂紋半剛性基層瀝青路面內(nèi)任一點(diǎn)的位移、應(yīng)力及應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式及其數(shù)值解。從實(shí)例的計(jì)算結(jié)果可知：

1)從半剛性基層向?yàn)r青面層擴(kuò)展的裂縫主要為滑開型裂縫，荷載中心到裂縫的水平距離在0.2～0.3 m時(shí)為最不利荷載位置。

2)改變?yōu)r青面層彈性模量對(duì)抑制基層中裂縫的擴(kuò)展作用不大。

3)降低半剛性基層模量值可以減小裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值、可以抑制或減緩基層中裂縫的擴(kuò)展。