不可約單項式理想乘積的Castelnuovo-Mumford正則度*

宋娟娟，高玉彬

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 西安 710062)

reg(M)是一類重要的衡量M的復(fù)雜程度的不變量[1], 得到它的上界是引人關(guān)注的問題。 對S的一個齊次理想I,IM的極小齊次生成元的最大次數(shù)不超過I和M的相應(yīng)極小齊次生成元的最大次數(shù)之和, 所以研究reg(IM)≤reg(I)+reg(M)是否成立是一個自然的問題。 當(dāng)dim(S/I)≤1時,Conca和Herzog[2]證明reg(IM)≤reg(I)+reg(M).Sturmfels[3]給出一個單項式理想I, 滿足reg(I2)>2reg(I)。進一步限制理想I的范圍, Conca和Herzog[2]提出這樣一個問題: 當(dāng)I1,…,Id都是完全交單項式理想時,

reg(I1,…,Id)≤reg(I1)+…+reg(Id)

(1)

是否對任意的d≥1都成立? 當(dāng)d=2時, Chardin等[4]證明了這一問題的正確性; 當(dāng)d≥3時, 這一問題至今沒有得到解決。 當(dāng)d=3且I1,I2和I3都是由單個不定元的方冪生成的完全交理想時, Gao[5]證明了結(jié)論的正確性。 當(dāng)I是一個完全交且n≥1時,Tang和Gong[6]最近證明reg(In)≤nreg(I)。在本文中，對4個不可約單項式理想(由不定元的方冪生成的完全交理想)I,J,K和L, 證明

reg(IJKL)≤reg(I)+reg(J)+

reg(K)+reg(L).

1 本研究的主要工具

本研究工作所用的主要工具[5]如下。

引理1.1設(shè)0→N→M→P→0是一個有限生成的分次S-模的一個短正合列, 則

(i)reg(M)≤max{reg(N),reg(P)}.

(ii)reg(P)≤max{reg(M),reg(N)-1}.

(iii)reg(N)≤max{reg(M),reg(P)+1}.

(iv)reg(P)=reg(M),如果reg(N)

(v)reg(P)=reg(N)-1,如果reg(M)

引理1.2設(shè)x是一個線性形式，I是S的一個齊次理想, 則對所有的n≥1,

reg(I)≤max{reg(I,xn),reg(I:xn)+n}.

引理1.3設(shè)u是一個次數(shù)為d的齊次多項式，I是齊次理想且u是S/I-正則的，那么

reg(I,u)=reg(I)+d-1.

下面的引理1.4和引理1.5分別對應(yīng)Gao[5]中的引理3.1和定理3.2，為便于引用，將其列出。

引理1.4設(shè)I,J,K是域k上多元多項式環(huán)S中的3個不可約單項式理想, 則

reg((IJ,IK,JK))≤reg(I)+

reg(J)+reg(K)-1.

引理1.5設(shè)I,J,K是域k上多元多項式環(huán)S中的3個不可約單項式理想, 則

reg(IJK)≤reg(I)+reg(J)+reg(K).

2 主要結(jié)果

引理2.1設(shè)I,J,K,L是域k上多元多項式環(huán)S中的4個不可約單項式理想, 則

reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.證明對l1+l2+l3+l4用歸納法, 這里l1,l2,l3,l4分別是I,J,K和L的最小的單項式生成元的基數(shù)。

如果l1=l2=l3=l4=1,設(shè)I=(xl),J=(ym),K=(zn),L=(ws),l≥m≥n≥s且x,y,z,w兩兩不相等, 則(IJ,IK,IL,JK,JL,KL)=(xlym,xlzn,xlws,ymzn,ymws,znws).

根據(jù)引理1.2, 引理1.3及Gao[5]的引理3.1和Herzog[7]的推論3.2,有

reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL))

≤max{reg((xlym,xlzn,ymzn,ws)),reg((xl,ym,

zn))+s}.

reg((xlym,xlzn,ymzn,ws))

≤reg(xl)+reg(ym)+reg(zn)+s-2

=reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.

reg((xl,ym,zn))+s

≤reg(xl)+reg(ym)+reg(zn)+s-2

=reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.

當(dāng)x=y,x=y=z,x=y=z=w時可以用相同的方法證明有相同的結(jié)論, 因此在這種情況下結(jié)論成立。

如果I=(I1,xm)并且x是S/I1,S/J,S/K,S/L的非零因子, 也就是x的任何方冪都不在I1,J,K,L的最小單項式生成元中。 則

(IJ,IK,IL,JK,JL,KL)

=(I1,xm)J+(I1,xm)K+(I1,xm)L+JK+JL+KL

=I1J+I1K+I1L+JK+JL+KL+xmJ+xmK+xmL. 根據(jù)引理1.2,有

reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL))

≤max{reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL,xm)),

reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL):xm)+m}

=max{reg((I1J,I1K,I1L,JK,JL,KL,xm)),

reg((J,K,L))+m}.

注意到x是S/(I1J,I1K,I1L,JK,JL,KL)-正則的, 根據(jù)引理1.3和歸納假設(shè),有

reg((I1J,I1K,I1L,JK,JL,KL,xm))

=reg((I1J,I1K,I1L,JK,JL,KL))+m-1

≤reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L)+m-3

=reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.

上式成立是因為reg(I)=reg(I1)+m-1.根據(jù)Herzog[7]的推論3.2, 有

reg((J,K,L))+m≤reg(J)+

reg(K)+reg(L)+m-2.

因此在這種情況下結(jié)論成立。

如果I=(I1,xm),J=(J1,xn),m≥n≥1且x是S/K,S/L-正則的。則

(IJ,IK,IL,JK,JL,KL)=(I1,xm)(J1,xn)+

(I1,xm)K+(I1,xm)L+(J1,xn)K+(J1,xn)L+KL

=I1J1+I1K+I1L+J1K+J1L+KL+xnI1+

xmJ1+xnK+xnL+xm+n.

根據(jù)引理1.2,有

reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL))

≤max{reg((I1J1,I1K,I1L,J1K,J1L,KL,xnI1,

xnK,xnL,xm)),reg((I1,J1,K,L,xn))+m}

≤max{reg((I1J1,I1K,I1L,J1K,J1L,KL,xn)),

reg((I1,K,L,xm-n))+n,reg((I1,J1,K,L,xn))+m}.

根據(jù)歸納假設(shè)和Herzog[7]的推論3.2,有

reg((I1J1,I1K,I1L,J1K,J1L,KL,xn))

≤reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.

reg((I1,K,L,xm-n))+n

≤reg(I)+reg(K)+reg(L)-2.

reg((I1,J1,K,L,xn))+m

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.

上面式子的成立是因為reg(I)=reg(I1)+m-1和reg(J)=reg(J1)+n-1.

因此在這種情況下結(jié)論是成立的。

如果I=(I1,xm),J=(J1,xn),K=(K1,xs),并且m≥n≥s≥1. 則有

(IJ,IK,IL,JK,JL,KL)

=(I1J1,I1K1,I1L,J1K1,J1L,K1L,xsI1,xsJ1,xnK1,xsL,xn+s).

根據(jù)引理1.2,有

reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL))

≤max{reg((I1J1,I1K1,I1L,J1K1,J1L,K1L,xsI1,

xsJ1,xsL,xn)),reg((I1,J1,K1,L,xs))+n}

≤max{reg((I1J1,I1K1,I1L,J1K1,J1L,K1L,xs)),

reg((I1,J1,L,xn-s))+s,reg((I1,J1,K1,L,xs))+n}.

根據(jù)歸納假設(shè)和引理1.3以及Herzog[7]的推論3.2,有

reg((I1J1,I1K1,I1L,J1K1,J1L,K1L,xs))

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L)+s-3

=reg(I1)+reg(J1)+reg(K)+reg(L)-2.

reg((I1,J1,L,xn-s))+s

≤reg(I1)+reg(J)+reg(L)-2.

reg((I1,J1,K1,L,xs))+n

≤reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.

因此在這種情況下結(jié)論是成立的。

如果I=(I1,xm),J=(J1,xn),K=(K1,xs),L=(L1,xz)且m≥n≥s≥z≥1. 則有

(IJ,IK,IL,JK,JL,KL)=(I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,

J1L1,K1L1,xzI1,xzJ1,xzK1,xsL1,xs+z).

根據(jù)引理1.2,有

reg((IJ,IK,IL,JK,JL,KL))

≤max{reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xzI1,

xzJ1,xzK1,xs)),reg((I1,J1,K1,L1,xz))+s}

≤max{reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xz)),

reg((I1,J1,K1,xs-z))+z,reg((I1,J1,K1,L1,xz))+s}.

根據(jù)歸納假設(shè)和引理1.3以及Herzog[7]的推論3.2,有

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xz))

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L1)+z-3

=reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L)-2.

reg((I1,J1,K1,xs-z))+z

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K)-2.

reg((I1,J1,K1,L1,xz))+s

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K)+reg(L)-2.

因此在這種情況下結(jié)論是成立的。

綜上，證明了當(dāng)I,J,K,L是S中的4個不可約單項式理想時, 結(jié)論是成立的。

推論2.1設(shè)I,J,K,L是域k上多元多項式環(huán)S中的4個不可約單項式理想, 利用證明引理2.1 的方法, 可以證明

reg((IJ,IK,IL,JK,JL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-2.

reg((IJ,IK,IL,JK))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

reg((IJK,IJL,IKL,JKL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

reg((IJ,IKL,JKL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

reg((IJ,IK,JKL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

reg((IJ,IK,IL,JKL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

reg((IJL,IKL,JKL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

reg((IL,JKL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

reg((IJK,IJL,IKL))

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)-1.

注意: 類似(IJ,IK,IL,JK,JL)的其他幾種情況, 即形如(IK,IL,JK,JL,KL), 也滿足上面的不等式。

定理2.1設(shè)I,J,K,L是域k上多元多項式環(huán)S中的4個不可約單項式理想, 則

reg(IJKL)≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

證明關(guān)于l1+l2+l3+l4用歸納法, 這里l1,l2,l3,l4分別是I,J,K,L的最小的單項式生成元的基數(shù)。如果l1=l2=l3=l4=1,則定理的證明是顯然的。因為

reg(IJKL)=reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

如果S的一個變量x只出現(xiàn)在I的最小的單項式生成元中, 而沒有出現(xiàn)在J,K和L的最小的單項式生成元中。 設(shè)I=(I1,xm),m≥1并且x是S/I1-正則的。 則IJKL=I1JKL+xmJKL并且xm是S/I1JKL-正則的。 根據(jù)引理1.2和引理1.3。

reg(IJKL)≤max{reg((I1JKL,xm)),

reg((I1JKL,xmJKL):xm)+m}

=max{reg(I1JKL)+m-1,reg(JKL)+m}.

根據(jù)歸納假設(shè)，有

reg(I1JKL)+m-1

≤reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L)+m-1

=reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

根據(jù)Gao[5]的定理3.2, 有

reg(JKL)+m≤reg(J)+reg(K)+reg(L)+m

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

因此定理的結(jié)論在這種情況下是成立的。

如果S的一個變量x出現(xiàn)在I和J的最小的單項式生成元中, 而沒有出現(xiàn)在K和L的最小的單項式生成元中。 設(shè)I=(I1,xm),J=(J1,xn)且m≥n。 則IJKL=I1J1KL+xnI1KL+xmJ1KL+xm+nKL。

根據(jù)引理1.2

reg(IJKL)

≤max{reg((IJKL,xm)),reg((IJKL:xm))+m}

=max{reg((I1J1KL,xnI1KL,xm)),

reg((I1KL,J1KL,xnKL))+m}.

則上面最后一行的兩個式子可以分寫成

reg((I1J1KL,xnI1KL,xm))

≤max{reg((I1J1KL,xn)),reg((I1KL,xm-n))+n}.

reg((I1KL,J1KL,xnKL))+m

≤max{reg((I1KL,J1KL,xn))+m,reg(KL)+m+n}.

根據(jù)歸納假設(shè), Gao[5]的定理3.2和x的確沒有出現(xiàn)在I1,J1,K,L的最小的單項式生成元中。 有

reg((I1J1KL,xn))

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K)+reg(L)+n-1

=reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

reg((I1KL,xm-n))+n

=reg(I1KL)+m-1

≤reg(I1)+reg(K)+reg(L)+m-1

=reg(I)+reg(K)+reg(L).

reg(KL)+m+n≤reg(K)+reg(L)+m+n.

注意到I1+J1也是一個不可約單項式理想, 根據(jù)Herzog[7]的推論3.2和Gao[5]的定理3.2,有

reg((I1KL,J1KL,xn))+m

=reg((I1,J1)KL)+m+n-1

≤reg(I1,J1)+reg(K)+reg(L)+m+n-1

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K)+reg(L)+m+n-2

=reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

因此定理的結(jié)論在這種情況下是成立的。

如果S的一個變量x出現(xiàn)在I,J,K的最小的單項式生成元中, 而沒有出現(xiàn)在L的最小的單項式生成元中。 設(shè)I=(I1,xm),J=(J1,xn),K=(K1,xs)且m≥n≥s≥1。則IJKL=(I1J1K1L,xsI1J1L,xnI1K1L,xmJ1K1L,xn+sI1L,xm+sJ1L,xm+nK1L,xm+n+sL)。

首先假設(shè)m≤n+s, 根據(jù)引理1.2

reg(IJKL)

≤max{reg((IJKL,xn+s)),reg((IJKL:xn+s))+n+s}

=max{reg((I1J1K1L,xsI1J1L,xnI1K1L,xmJ1K1L,xn+s)),

(2)

reg((I1L,J1K1L,xm-nJ1L,xm-sK1L,xmL))+n+s}.

(3)

對式(2), 有

reg((I1J1K1L,xsI1J1L,xnI1K1L,xmJ1K1L,xn+s))

≤max{reg((I1J1K1L,xsI1J1L,xnI1K1L,xm)),

reg((I1J1L,I1K1L,J1K1L,xn+s-m))+m}

≤max{reg((I1J1K1L,xsI1J1L,xn)),

reg((I1J1L,I1K1L,xm-n))+n,

reg((I1J1L,I1K1L,J1K1L,xn+s-m))+m}

≤max{reg((I1J1K1L,xs)),reg((I1J1L,xn-s))+s,

reg((I1J1L,I1K1L,xm-n))+n,

reg((I1J1L,I1K1L,J1K1L,xn+s-m))+m}.

類似于前面幾種情況, 可以證明

reg((I1J1K1L,xs)),reg((I1J1L,xn-s))+s,reg((I1J1L,I1K1L,xm-n))+n的值不會超過reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

根據(jù)推論2.1，有

reg((I1J1L,I1K1L,J1K1L,xn+s-m))+m

=reg((I1J1L,I1K1L,J1K1L))+n+s-1

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L)+n+s-2

=reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L)

≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

對式(3), 有

reg((I1L,J1K1L,xm-nJ1L,xm-sK1L,xmL))+n+s

≤max{reg((I1L,J1K1L,xm-n))+n+s,

reg((I1L,J1L,xn-sK1L,xnL))+m+s}

≤max{reg((I1L,J1K1L,xm-n))+n+s,

reg((I1L,J1L,xn-s))+m+s,

reg((I1L,J1L,K1L,xsL))+m+n}

≤max{reg((I1L,J1K1L,xm-n))+n+s,

reg((I1L,J1L,xn-s))+m+s,reg(L)+m+n+s,

reg((I1L,J1L,K1L,xs))+m+n}.

類似于前面幾種情況, 易證

reg(L)+m+n+s,reg((I1L,J1L,xn-s))+m+s的值不會超過reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

根據(jù)Herzog[7]的推論3.2, 有

reg((I1L,J1L,K1L,xs))+m+n

=reg((I1,J1,K1)L)+m+n+s-1

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L)+m+n+s-3

=reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

根據(jù)推論2.1,有

reg((I1L,J1K1L,xm-n))+n+s

=reg((I1L,J1K1L))+m+s-1

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L)+m+s-2

=reg(I)+reg(J1)+reg(K)+reg(L).

所以當(dāng)m≤n+s時, 有reg(IJKL)≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)。當(dāng)m>n+s時, 同理可證reg(IJKL)≤reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)成立。 因此定理的結(jié)論在這種情況下是成立的。

如果S的一個變量x出現(xiàn)在I,J,K,L的最小的單項式生成元中, 設(shè)I=(I1,xm),J=(J1,xn),K=(K1,xs),L=(L1,xz)且m≥n≥s≥z≥1 則

IJKL=(I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,

xmJ1K1L1,xs+zI1J1,xn+zI1K1,xn+sI1L1,xm+zJ1K1,xm+sJ1L1,xm+nK1L1,xn+s+zI1,xm+s+zJ1,xm+n+zK1,xm+n+sL1,xm+n+s+z).

首先假設(shè)m≤s+z, 根據(jù)引理1.2

reg (IJKL)≤max{reg((IJKL,xn+s+z)),

reg((IJKL:xn+s+z))+n+s+z}

=max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,

xmJ1K1L1,xs+zI1J1,xn+zI1K1,xn+sI1L1,xm+zJ1K1,

xm+sJ1L1,xm+nK1L1,xn+s+z)),

(4)

reg((I1,J1K1,J1L1,K1L1,xm-nJ1,xm-sK1,xm-zL1,xm))+n+s+z}.

(5)

對式(4)假設(shè)n+s≤m+z, 有

reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,xmJ1K1L1,

xs+zI1J1,xn+zI1K1,xn+sI1L1,xm+zJ1K1,xm+sJ1L1,xm+nK1L1,xn+s+z))

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,xmJ1K1L1,

xs+zI1J1,xn+zI1K1,xn+sI1L1,xm+zJ1K1,xm+sJ1L1,xm+n)),

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,xmJ1K1L1,

xs+zI1J1,xn+zI1K1,xn+sI1L1,xm+zJ1K1,xm+s)),

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,xmJ1K1L1,

xs+zI1J1,xn+zI1K1,xn+sI1L1,xm+z)),

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,xmJ1K1L1,

xs+zI1J1,xn+zI1K1,xn+s)),

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,xmJ1K1L1,

xs+zI1J1,xn+z)),reg((I1J1,I1K1,J1K1L1,xs-z))+n+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,

xmJ1K1L1,xs+z)),reg((I1J1,I1K1L1,J1K1L1,xn-s))+s+z,

reg((I1J1,I1K1,J1K1L1,xs-z))+n+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xnI1K1L1,xm)),

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,J1K1L1,xs+z-m))+m,

reg((I1J1,I1K1L1,J1K1L1,xn-s))+s+z,

reg((I1J1,I1K1,J1K1L1,xs-z))+n+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xsI1J1L1,xn)),

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,xm-n))+n,

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,J1K1L1,xs+z-m))+m,

reg((I1J1,I1K1L1,J1K1L1,xn-s))+s+z,

reg((I1J1,I1K1,J1K1L1,xs-z))+n+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xzI1J1K1,xs)),

reg((I1J1K1,I1J1L1,xn-s))+s,

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,xm-n))+n,

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,J1K1L1,xs+z-m))+m,

reg((I1J1,I1K1L1,J1K1L1,xn-s))+s+z,

reg((I1J1,I1K1,J1K1L1,xs-z))+n+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}

≤max{reg((I1J1K1L1,xz)),reg((I1J1K1,xs-z))+z,

reg((I1J1K1,I1J1L1,xn-s))+s,

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,xm-n))+n,

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,J1K1L1,xs+z-m))+m,

reg((I1J1,I1K1L1,J1K1L1,xn-s))+s+z,

reg((I1J1,I1K1,J1K1L1,xs-z))+n+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s,

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n}.

根據(jù)歸納假設(shè)和Gao[5]的引理3.1和定理3.2易證reg((I1J1K1L1,xz)),reg((I1J1K1,xs-z))+z,reg((I1J1K1,I1J1L1,xn-s))+s的值不會超過reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

根據(jù)引理2.1, 有

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,K1L1,xs+z-m))+m+n

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L1)+n+s+z-3

=reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L).

根據(jù)推論2.1, 有

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,J1K1L1,xs+z-m))+m

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K)+reg(L).

reg((I1J1,I1K1L1,J1K1L1,xn-s))+s+z

≤reg(I1)+reg(J)+reg(K1)+reg(L).

reg((I1J1,I1K1,J1K1L1,xs-z))+n+z

≤reg(I1)+reg(J)+reg(K)+reg(L1).

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1L1,x(m+z)-(n+s)))+n+s

≤reg(I)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L).

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,xs-z))+m+z

≤reg(I)+reg(J1)+reg(K)+reg(L1).

reg((I1J1,I1K1,I1L1,J1K1,J1L1,xn-s))+m+s

≤reg(I)+reg(J)+reg(K1)+reg(L1)-1.

reg((I1J1K1,I1J1L1,I1K1L1,xm-n))+n

≤reg(I)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L1)-1.

對式(5)根據(jù)引理1.2, 有

reg((I1,J1K1,J1L1,K1L1,xm-nJ1,xm-sK1,xm-zL1,xm))+

n+s+z

≤max{reg((I1,J1K1,J1L1,K1L1,xm-nJ1,xm-sK1,xm-z))+

n+s+z,reg((I1,J1,K1,L1,xz))+m+n+s}

≤max{reg((I1,J1K1,J1L1,K1L1,xm-nJ1,xm-s))+

n+s+z,

reg((I1,J1,K1,xs-z))+m+n+z,

reg((I1,J1,K1,L1,xz))+m+n+s}

≤max{reg((I1,J1K1,J1L1,K1L1,xm-n))+n+s+z,

reg((I1,J1,K1L1,xn-s))+m+s+z,

reg((I1,J1,K1,xs-z))+m+n+z,

reg((I1,J1,K1,L1,xz))+m+n+s}.

根據(jù)Herzog[7]的推論3.2，易證

reg((I1,J1,K1L1,xn-s))+m+s+z,

reg((I1,J1,K1,xs-z))+m+n+z,

reg((I1,J1,K1,L1,xz))+m+n+s的值不會超過

reg(I)+reg(J)+reg(K)+reg(L)。根據(jù)Gao[5]的引理3.1, 有

reg((I1,J1K1,J1L1,K1L1,xm-n))+n+s+z

≤reg(I1)+reg((J1K1,J1L1,K1L1))+m+s+z-2

≤reg(I1)+reg(J1)+reg(K1)+reg(L1)+m+s+z-3

=reg(I)+reg(J1)+reg(K)+reg(L).

因此當(dāng)n+s≤m+z時結(jié)論得證, 當(dāng)n+s>m+z時可以用相同的方法證明有相同的結(jié)論; 因此當(dāng)m≤s+z時定理成立, 當(dāng)m>s+z時用相同的方法和完全類似的推導(dǎo)過程可以證明有相同的結(jié)論。

綜上所述，定理被證明。