航天器面內(nèi)機(jī)動(dòng)規(guī)避最優(yōu)脈沖分析

蘇 飛,劉 靜,張 耀,楊 旭,程昊文

(中國科學(xué)院國家天文臺(tái),北京 100012)

0 引 言

航天事業(yè)的發(fā)展為地球外層空間帶來大量空間碎片,根據(jù)最新資料顯示,目前在軌10 cm以上空間碎片數(shù)量約2萬個(gè),厘米級(jí)空間碎片接近50萬個(gè)[1-4]。惡劣的空間環(huán)境對航天器的安全運(yùn)行造成巨大威脅,機(jī)動(dòng)規(guī)避是航天器躲避空間碎片的一種主動(dòng)防護(hù)措施,受到航天機(jī)構(gòu)和衛(wèi)星運(yùn)行商的廣泛關(guān)注[5-8]。

國內(nèi)外學(xué)者對航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避問題進(jìn)行了大量研究。基于碰撞概率的防撞規(guī)避機(jī)動(dòng)方法精度高,文獻(xiàn)[9-11]研究了碰撞概率和推力的解析表達(dá),結(jié)合航天器軌道控制分析規(guī)避機(jī)動(dòng)問題;在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[12-14]推導(dǎo)了機(jī)動(dòng)脈沖與碰撞概率的解析關(guān)系,通過拉格朗日乘子法得到固定脈沖的最優(yōu)方向;文獻(xiàn)[15-17]基于概率計(jì)算模型,通過一維碰撞概率積分方法推導(dǎo)速度增量的最優(yōu)解,并利用兩體軌道積分代替高精度軌道積分研究碰撞規(guī)避機(jī)動(dòng)策略;文獻(xiàn)[18]將機(jī)動(dòng)脈沖解耦,分步求解脈沖方向和脈沖大小,在碰撞概率降低到安全值的前提下得到最優(yōu)的機(jī)動(dòng)沖量。許多學(xué)者通過分析規(guī)避機(jī)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,利用尋優(yōu)方法獲取避碰策略,文獻(xiàn)[19]分析了基于遺傳算法的燃料消耗和機(jī)動(dòng)時(shí)長,采用多目標(biāo)優(yōu)化求解碰撞規(guī)避機(jī)動(dòng)策略;文獻(xiàn)[20]利用非線性規(guī)劃算法求解最小速度增量,得到最優(yōu)的碰撞規(guī)避機(jī)動(dòng)策略;文獻(xiàn)[21]對近圓軌道提出了可以快速得到推力三維解的解析方法,利用梯度搜索算法找到最優(yōu)解。一些學(xué)者從實(shí)際應(yīng)用出發(fā),建立量化的分析模型,不通過尋優(yōu)直接分析次優(yōu)解得到規(guī)避機(jī)動(dòng)策略,文獻(xiàn)[22]研究了衛(wèi)星規(guī)避相關(guān)的軌道機(jī)動(dòng)方式,結(jié)合碰撞風(fēng)險(xiǎn)建立了衛(wèi)星規(guī)避方案量化分析方法;文獻(xiàn)[23]利用根數(shù)長期項(xiàng)分析了初始軌道根數(shù)與危險(xiǎn)交會(huì)點(diǎn)的關(guān)系,研究了衛(wèi)星沖量對交會(huì)點(diǎn)的影響;文獻(xiàn)[24]分析了高度規(guī)避、時(shí)間規(guī)避、正常軌控結(jié)合的空間目標(biāo)碰撞規(guī)避策略;文獻(xiàn)[25-27]研究了執(zhí)行機(jī)動(dòng)導(dǎo)致的額外風(fēng)險(xiǎn)和燃料消耗對航天器任務(wù)的影響;文獻(xiàn)[28]在單次脈沖的基礎(chǔ)上,分析了多次脈沖規(guī)避空間碎片能使衛(wèi)星回到原始的運(yùn)行軌道,同時(shí)不改變衛(wèi)星原始狀態(tài)。

然而多數(shù)已有成果在研究航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí),通常將軌道攝動(dòng)方程外推,并在交會(huì)點(diǎn)處采用數(shù)值法窮舉尋優(yōu),雖然一些研究分析了碰撞概率與機(jī)動(dòng)脈沖的解析關(guān)系,但在建立聯(lián)系時(shí)通常利用高斯方程直接求解,計(jì)算量大且只能得到次優(yōu)解。為了解決最優(yōu)解問題,首先通過小偏差線性化等處理將高斯方程解析化,得到解析的軌道規(guī)避機(jī)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,直接分析機(jī)動(dòng)脈沖與航天器相對運(yùn)動(dòng)的線性關(guān)系。通過航天器位置協(xié)方差信息及交會(huì)平面的相對位置信息得到航天器危險(xiǎn)交會(huì)的碰撞概率和交會(huì)距離,并建立與機(jī)動(dòng)脈沖的解析關(guān)系,然后采用機(jī)動(dòng)方向和機(jī)動(dòng)大小分步求解的策略計(jì)算機(jī)動(dòng)沖量,高效準(zhǔn)確地求解不同時(shí)機(jī)下的最優(yōu)面內(nèi)脈沖。

1 機(jī)動(dòng)規(guī)避動(dòng)力學(xué)建模

1.1 系統(tǒng)描述及建模假設(shè)

利用航天器運(yùn)動(dòng)方程對初始狀態(tài)和狀態(tài)誤差分布的協(xié)方差矩陣外推,就能預(yù)判航天器在運(yùn)行過程中是否遭遇危險(xiǎn)交會(huì),如果危險(xiǎn)交會(huì)的瞬時(shí)碰撞概率或交會(huì)距離大于安全閾值,則航天器需要進(jìn)行機(jī)動(dòng)來規(guī)避風(fēng)險(xiǎn),保證運(yùn)行安全。

在航天器危險(xiǎn)交會(huì)規(guī)避任務(wù)中,往往通過改變軌道形狀來躲避碎片,即機(jī)動(dòng)力或機(jī)動(dòng)脈沖約束在軌道面內(nèi),這主要是因?yàn)槊鎯?nèi)機(jī)動(dòng)控制簡單,同時(shí)改變軌道方位對航天器任務(wù)影響較大。航天器危險(xiǎn)交會(huì)示意圖如圖1所示。

圖1 航天器危險(xiǎn)交會(huì)示意圖Fig.1 Illustration of dangerous rendezvous trajectory of spacecraft

建模過程做如下假設(shè):

假設(shè)1作用于航天器上的脈沖為小量,航天器在機(jī)動(dòng)脈沖的作用下,到達(dá)危險(xiǎn)交會(huì)點(diǎn)的速度大小及方向不變;

假設(shè)2危險(xiǎn)交會(huì)過程為短期交會(huì),碰撞時(shí)刻兩航天器的速度為勻速直線運(yùn)動(dòng);

假設(shè)3兩空間目標(biāo)等效為已知半徑的球體,位置誤差橢球在相遇期間保持不變;

假設(shè)4重力場為理想中心力場,忽略大氣阻力、太陽光壓等攝動(dòng)因素的影響,忽略航天器姿態(tài)誤差對脈沖方向的影響。

1.2 坐標(biāo)系定義

相關(guān)動(dòng)力學(xué)建模參照坐標(biāo)系如圖2所示,其中OXYZ為偏心率矢量坐標(biāo)系,其原點(diǎn)O位于地球質(zhì)心,X軸與航天器偏心率矢量eo重合,Z軸垂直于航天器軌道平面,正方向與航天器角速度方向相同,Y軸由右手螺旋法則確定;sxyz為航天器軌道坐標(biāo)系,其原點(diǎn)s位于航天器質(zhì)心,x軸由地心指向航天器質(zhì)心,z軸與Z軸平行且指向相同,y軸由右手螺旋法則確定,三軸單位矢量分別為ex、ey、ez。

圖2 建模參照坐標(biāo)系Fig.2 Reference frame for dynamics modeling

1.3 機(jī)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

如圖2所示,航天器在偏心率矢量坐標(biāo)系的狀態(tài)矢量表示為

(1)

式中,eX和eY為偏心率矢量坐標(biāo)系對應(yīng)坐標(biāo)軸的單位矢量;a為航天器軌道半長軸;E為航天器對應(yīng)真近點(diǎn)角處的偏近點(diǎn)角;e為航天器軌道偏心率;r為航天器地心距;μ為萬有引力常數(shù)。

令E=Em,取慣性系內(nèi)航天器機(jī)動(dòng)點(diǎn)即真近點(diǎn)角θm處的狀態(tài)rm、vm代入式(1),求解方程式得

(2)

式中,‖‖符號(hào)表示對矢量求模,將式(2)代入式(1)得偏近點(diǎn)角為E處航天器的位置矢量r，表示為

(3)

結(jié)合高斯方程,沖量使航天器軌道產(chǎn)生的瞬時(shí)變化為

(4)

式中,Δvx、Δvy、Δvz分別為沖量在航天器軌道坐標(biāo)系三軸上的分量;h、p分別為航天器變軌前的軌道角動(dòng)量和軌道半通徑,表示為

(5)

將航天器的狀態(tài)量代入式(3),則航天器在機(jī)動(dòng)點(diǎn)θm處機(jī)動(dòng)前和機(jī)動(dòng)后,運(yùn)行到危險(xiǎn)交會(huì)點(diǎn)的位置矢量r(Ec)、r′(Ec)分別表示為

(6)

(7)

(8)

式中,Δrx、Δry分別為航天器在軌道系中相應(yīng)坐標(biāo)軸的位置變化。由于航天器機(jī)動(dòng)后,其偏心率矢量坐標(biāo)系繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)Δω,將式(6)、式(7)表示到機(jī)動(dòng)前的偏心率矢量坐標(biāo)系,則

Δr=A′r′(Ec)-Ar(Ec)

(9)

其中

(11)

(12)

(13)

(14)

為了推導(dǎo)方便同時(shí)減小因量級(jí)的巨大差異引起的仿真失真,進(jìn)行歸一化處理,定義

(15)

(16)

(17)

沿跡方向的距離變化考慮機(jī)動(dòng)后,航天器運(yùn)行相同相位條件下的時(shí)間差,基于文獻(xiàn)[22]對攝動(dòng)參數(shù)的定義得

(18)

其中

(19)

(20)

(21)

將式(19)～式(21)代入式(18),分別在無攝動(dòng)力存在攝動(dòng)的情況積分,然后做差并泰勒展開,推導(dǎo)過程不再贅述,得沿跡方向的距離變化為

fx2(sinEc-sinEm)+fx3(cosEc-cosEm)+

fx4(sin 2Ec-sin 2Em)+fx5(cos 2Ec-cos 2Em)]+

fy2(sinEc-sinEm)+fy3(cosEc-cosEm)+

fy4(sin 2Ec-sin 2Em)+fy5(cos 2Ec-cos 2Em)]}

(22)

其中

(23)

從動(dòng)力學(xué)模型可以看出,在機(jī)動(dòng)脈沖為小量時(shí),航天器機(jī)動(dòng)導(dǎo)致的距離變化可以簡化為航天器軌道參數(shù)的解析表達(dá),與外推模型相比可以大大節(jié)省計(jì)算時(shí)間,并能得到機(jī)動(dòng)大小與距離變化的等式關(guān)系,有利于模型的物理分析和控制參數(shù)選取。

2 航天器危險(xiǎn)交會(huì)分析

航天器危險(xiǎn)交會(huì)過程中通常采用交會(huì)距離判定法或碰撞概率判定法來判斷發(fā)生碰撞的可能性。碰撞概率判定法適用于兩星的定位誤差較大且有累積效應(yīng)時(shí),交會(huì)距離判定法則適用于能實(shí)時(shí)測量兩星相對狀態(tài)。

2.1 交會(huì)距離

航天器運(yùn)行時(shí),設(shè)s(t)為t時(shí)刻航天器s-1與s-2的相對位置矢量,則任意時(shí)刻t+Δt兩個(gè)目標(biāo)的相對位置矢量為

(24)

式中,vr=v1-v2,若t時(shí)刻兩目標(biāo)間的距離最小,則有

(25)

根據(jù)式(25)得兩目標(biāo)距離最小時(shí),其相對位置矢量和相對速度矢量互相垂直。定義交會(huì)坐標(biāo)系,其三軸單位矢量分別為

(26)

航天器相對運(yùn)動(dòng)方向平行于x軸,交會(huì)平面(b平面)定義為y-z平面,則航天器危險(xiǎn)交會(huì)關(guān)系描述為兩航天器在b平面的交會(huì)距離,航天器軌道坐標(biāo)系到交會(huì)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為

(27)

式中,α為危險(xiǎn)交會(huì)點(diǎn)處s-2速度矢量v2在s-1軌道面投影與s-1速度矢量v1的夾角(-π<α<π),且v2×v1·eZ>0時(shí)為正;β為v2在航天器s-1軌道面投影與v2的夾角(-π/2<β<π/2),且v2·eZ>0時(shí)為正;B為v1與相對速度v1-v2的夾角(0

(28)

(29)

交會(huì)距離為

(30)

2.2 碰撞概率

航天器在運(yùn)行過程中位置誤差服從3維正態(tài)分布,并可以通過分布中心和位置誤差協(xié)方差矩陣描述。此時(shí)航天器間交會(huì)的碰撞概率均可表示為

P=?Vf(x,y,z)dxdydz

(31)

式中,V為以一個(gè)航天器為圓心,兩個(gè)航天器包絡(luò)半徑之和ssum為半徑的球體;f(x,y,z)為高斯概率密度函數(shù)(probability density function，PDF),表示為

(32)

式中,se=(xbm,0,zbm)為b平面內(nèi)兩航天器交會(huì)距離最小時(shí)的相對位置矢量;|C|為相對位置s誤差協(xié)方差矩陣C的行列式值,假設(shè)航天器交會(huì)時(shí)為勻速直線運(yùn)動(dòng),則積分球變?yōu)閳A柱,在誤差協(xié)方差矩陣中選取與相對位置信息有關(guān)的部分得

(33)

此時(shí)碰撞概率表示為圓域內(nèi)的積分

(34)

文獻(xiàn)[6]提出一種不等方差PDF在圓域內(nèi)積分問題的解決方法。通過將不等方差的等概率密度橢圓用與其面積相等的等概率密度圓代替,并用無窮級(jí)數(shù)表示二重積分,對式(34)簡化得到碰撞概率的解析表示，即

(35)

式中,u和v均為無量綱變量,表示為

(36)

(37)

3 最優(yōu)規(guī)避分析

軌道維持條件下的交會(huì)距離及碰撞概率最優(yōu)的規(guī)避機(jī)動(dòng)計(jì)算采用兩步策略實(shí)現(xiàn)[16]:

步驟1通過求碰撞概率/交會(huì)距離對于機(jī)動(dòng)方向的梯度確定機(jī)動(dòng)速度方向。由于規(guī)避機(jī)動(dòng)速度通常很小,可以將規(guī)避機(jī)動(dòng)引起的交會(huì)點(diǎn)的航天器移動(dòng)看成機(jī)動(dòng)速度大小的線性函數(shù),這樣碰撞概率/交會(huì)距離的梯度與機(jī)動(dòng)大小就不相關(guān),因此,最優(yōu)的機(jī)動(dòng)方向與機(jī)動(dòng)大小可以獨(dú)立求解。

步驟2機(jī)動(dòng)方向確定后,碰撞概率及交會(huì)距離即為機(jī)動(dòng)大小的函數(shù)。求解滿足安全碰撞值和軌道維持要求的機(jī)動(dòng)速度大小就是求解一個(gè)非線性方程。

(1)交會(huì)距離最優(yōu)問題描述為

(38)

機(jī)動(dòng)方向可以通過梯度矢量D得到

(39)

其中,D表示為

(40)

(41)

ρ2=fun(Ec,Em,e,φ)

(42)

當(dāng)確定交會(huì)目標(biāo)的Ec、Em、e,最優(yōu)交會(huì)距離值所需要的機(jī)動(dòng)脈沖速度方向即為式(43)的解。

(43)

(2) 同理,碰撞概率最優(yōu)問題描述為

(44)

機(jī)動(dòng)方向可以通過梯度矢量D′得到

(45)

其中,D′表示為

(46)

此時(shí)碰撞概率相關(guān)系數(shù)描述為

v=Fun(Ec,Em,e,φ)

(47)

當(dāng)確定交會(huì)目標(biāo)的Ec、Em、e,最優(yōu)碰撞概率所需要的機(jī)動(dòng)脈沖速度方向即為式(48)的解。

(48)

4 仿真分析及校驗(yàn)

根據(jù)理論建模與分析的結(jié)果,建立航天器規(guī)避機(jī)動(dòng)數(shù)值仿真模型和航天器危險(xiǎn)交會(huì)分析模型。為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的規(guī)避機(jī)動(dòng)策略的有效性,本小節(jié)利用美俄衛(wèi)星碰撞事件為例進(jìn)行仿真。Cosmos-2251和Iridium-33中,前者為俄羅斯的廢棄衛(wèi)星沒有任何機(jī)動(dòng)能力,后者為美國的在用通信衛(wèi)星可以執(zhí)行規(guī)避機(jī)動(dòng),選擇兩顆衛(wèi)星碰撞前的各自最新的一組2行軌道根數(shù)(two line mean element，TLE)根數(shù),利用簡化攝動(dòng)預(yù)報(bào)模型(simplified general perturbations,SGP4)軌道預(yù)報(bào)模型,可知兩顆衛(wèi)星交會(huì)時(shí)間(time of the closest approach，TCA)的參數(shù)如表1所示。

表1 美俄衛(wèi)星碰撞交會(huì)幾何參數(shù)Table 1 Encounter geometry parameters of US & Russian satellite collision

其中,a、e、θ分別為Iridium-33的軌道半長軸、偏心率和真近點(diǎn)角,RI、RC分別為Iridium-33和Cosmos-2251的等效半徑,α為危險(xiǎn)交會(huì)點(diǎn)處Cosmos-2251速度矢量在Iridium-33軌道面投影與Iridium-33速度矢量的夾角。β為投影與Cosmos-2251速度矢量夾角。

根據(jù)Cosmos-2251和Iridium-33的預(yù)報(bào)數(shù)據(jù),相對位置s誤差協(xié)方差矩陣假設(shè)為對角協(xié)方差矩陣,其標(biāo)準(zhǔn)差在航天器相對運(yùn)動(dòng)切線方向?yàn)? km,在b平面內(nèi)的兩個(gè)正交方向上為100 m,此時(shí)在誤差協(xié)方差矩陣中與相對位置信息有關(guān)的部分[9]為

(49)

圖3是航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)交會(huì)距離,從圖3可得在提前量不是整數(shù)周期或不靠近整數(shù)周期時(shí),提前機(jī)動(dòng)時(shí)間越大,得到的最優(yōu)交會(huì)距離越大;提前量為整數(shù)周期或在其附近時(shí),最優(yōu)交會(huì)距離回落,稍有減小。

圖3 不同機(jī)動(dòng)提前量的最大交會(huì)距離(Δv=0.01 m/s)Fig.3 Maximum achievable miss distance under different maneuver opportunity (Δv=0.01 m/s)

航天器執(zhí)行機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí),通常需要考慮軌道維持,即需要在避碰的同時(shí)完成軌道抬高,所以在仿真過程中,取脈沖方向與軌道系x軸夾角為0≤φ≤π,圖4是最優(yōu)交會(huì)距離約束下航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)脈沖方向,從圖4得航天器規(guī)避提前量在0～0.2周期時(shí),最優(yōu)脈沖方向收斂至180°(0°),提前量超過約0.2周期后,最優(yōu)脈沖方向收斂至90°附近。

圖4 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)脈沖方向(Δv=0.01 m/s)Fig.4 Optimal direction of pulse under different maneuver opportunity (Δv=0.01 m/s)

圖5是航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)碰撞概率,與最優(yōu)交會(huì)距離分析類似,從圖5可得在提前量不是整數(shù)周期或不靠近整數(shù)周期時(shí),提前機(jī)動(dòng)時(shí)間越大,得到的最優(yōu)碰撞概率越小;提前量為整數(shù)周期或在其附近時(shí),最優(yōu)碰撞概率振蕩且稍有增大。分析式(44)可知,最優(yōu)碰撞概率是交會(huì)平面內(nèi)兩個(gè)距離量的二元二次函數(shù),對兩式求偏導(dǎo)，得

(50)

從式(50)可知,最優(yōu)碰撞概率的梯度是兩個(gè)距離量耦合,與誤差協(xié)方差矩陣相對位置信息式(49)對應(yīng),誤差協(xié)方差是表征兩個(gè)航天器位置誤差的累積,通過碰撞概率表示兩個(gè)航天器的危險(xiǎn)交會(huì)具有實(shí)際意義。

圖5 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)碰撞概率(Δv=0.01 m/s)Fig.5 Optimal achievable collision probability under different maneuver opportunity (Δv=0.01 m/s)

取脈沖方向與軌道系x軸夾角為0≤φ≤π,圖6是最優(yōu)碰撞概率約束下航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)脈沖方向,從圖6得航天器規(guī)避提前量在0～0.25周期時(shí),最優(yōu)脈沖方向收斂至180°(0°),提前量超過約0.25周期后,最優(yōu)脈沖方向收斂至90°附近。

圖6 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)脈沖方向(Δv=0.01 m/s)Fig.6 Optimal direction of pulse under different maneuver opportunity (Δv=0.01 m/s)

圖7是航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避中,采用不同脈沖時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)交會(huì)距離,從圖7可得相同提前機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)下機(jī)動(dòng)脈沖越大,最優(yōu)的交會(huì)距離越大。

圖7 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最大交會(huì)距離 (不同脈沖)Fig.7 Maximum achievable miss distance under different maneuver opportunity (different impulsive)

圖8是最優(yōu)交會(huì)距離約束下,航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避中,采用不同脈沖時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)脈沖方向,從圖8得脈沖變化不影響最優(yōu)機(jī)動(dòng)方向。

圖8 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)脈沖方向 (不同脈沖)Fig.8 Optimal direction of pulse under different maneuver opportunity (different impulsive)

圖9是航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避中,采用不同脈沖時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)碰撞概率,從圖9可得相同提前機(jī)動(dòng)時(shí)機(jī)下，機(jī)動(dòng)脈沖越大,最優(yōu)的碰撞概率越小。

圖9 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)碰撞概率 (不同脈沖)Fig.9 Optimal achievable collision probability under different maneuver opportunity (different impulsive)

圖10是最優(yōu)碰撞概率約束下,航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避中,采用不同脈沖時(shí)不同機(jī)動(dòng)提前量下的最優(yōu)脈沖方向,從圖10得脈沖變化不影響最優(yōu)機(jī)動(dòng)方向。

圖10 不同機(jī)動(dòng)提前量時(shí)的最優(yōu)脈沖方向 (不同脈沖)Fig.10 Optimal direction of pulse under different maneuver opportunity (different impulsive)

5 結(jié) 論

基于數(shù)理變化推導(dǎo)出解析的軌道規(guī)避機(jī)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型,建立了脈沖大小與機(jī)動(dòng)位移的量化關(guān)系;利用航天器交會(huì)過程的協(xié)方差信息等得到碰撞概率和交會(huì)距離,通過代入機(jī)動(dòng)位移分析了規(guī)避模型的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù);最后搭建仿真模型研究了航天器面內(nèi)最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)避問題,為機(jī)動(dòng)規(guī)避的工程問題提供支持。