一類求解非線性對流擴(kuò)散方程的線性多步法

張莉　羅春林　張瀚月

摘要：研究一類非線性對流擴(kuò)散方程，利用中心差商和線性多步法構(gòu)造了一種新的在空間和時(shí)間上都具有二階精度的差分格式，并利用Fourier分析和凍結(jié)系數(shù)方法分析了差分格式的穩(wěn)定性，最后通過5種不同類型的數(shù)值算例驗(yàn)證了新方法求解非線性對流擴(kuò)散方程的有效性.

關(guān)鍵詞：非線性對流擴(kuò)散方程；中心差商；線性多步法；Fourier分析；凍結(jié)系數(shù)法

中圖分類號：O 241.82文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1001－988Ⅹ（2024）02－0029－08

A second－order linear multi－step method for solving nonlinearconvection－diffusion equations

ZHANG Li LUO Chun－lin ，ZHANG Han－yue

Abstract：A new scheme is developed for the nonlinear convection－diffusion equations in this paper.Based on the central difference and linear multi－step method，the proposed scheme achieves second－order accuracy in temporal and spatial variables.By using the Fourier method and freezing coefficient method，the stability of the proposed method is analyzed.Finally，numerical results illustrate the performance of the new scheme and support the theoretical properties of the estimator.

Key words：nonlinear convection diffusion equation;central difference;linear multi－step method;Fourier analysis;freezing coefficient method

0 引言

對流擴(kuò)散方程在能源開發(fā)、流體力學(xué)、環(huán)境科學(xué)和電子科學(xué)等眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，它可以用來描述大氣和河流中污染物質(zhì)的分布與擴(kuò)散、工業(yè)領(lǐng)域的流動(dòng)與熱傳導(dǎo)、交通流等物理現(xiàn)象.然而求解非線性對流擴(kuò)散方程的精確解非常困難，因此數(shù)值解的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.

近年來，求解非線性對流擴(kuò)散方程的數(shù)值方法研究取得了很大的進(jìn)展，如有限差分方法、有限元方法、機(jī)器學(xué)習(xí)方法等，其中有限差分方法是最常用的一種高效數(shù)值方法.有限差分法是一種用一個(gè)差值多項(xiàng)式及其微分來代替偏微分方程的解的數(shù)值離散方法.用有限差分法求解偏微分方程，首先要把所給方程的求解區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格剖分，然后再對方程中的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行充分近似，得到關(guān)于網(wǎng)格點(diǎn)上未知函數(shù)的線性代數(shù)方程組，解此線性代數(shù)方程組就得到了原問題在離散點(diǎn)上的近似解［1］.

線性對流擴(kuò)散方程差分方法的研究成果非常豐富.田振夫［2］利用構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式的思想，對無對流項(xiàng)和無源項(xiàng)的兩類對流擴(kuò)散方程提出了一類具有迎風(fēng)特征又兼顧穩(wěn)定性和高精度的差分格式，其截?cái)嗾`差為O（h4+τ ）；侯波等［3］針對同樣模型先利用泰勒展開再對截?cái)嗾`差余項(xiàng)進(jìn)行三階導(dǎo)數(shù)修正，提出了一種在時(shí)間和空間方向上均具有四階精度的格式，該格式優(yōu)點(diǎn)是無需啟動(dòng)步的計(jì)算并且靠近邊界點(diǎn)的計(jì)算不會(huì)用到計(jì)算域以外的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn).對于無對流項(xiàng)的對流擴(kuò)散方程，Liao等［4］首先利用二階中心差分對空間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似，然后利用Padé逼近構(gòu)造出空間方向四階格式；王彩華等［5］提出了含參數(shù)ε的無源項(xiàng)對流擴(kuò)散方程，并設(shè)計(jì)出橫向系列差分格式和縱向系列差分格式，分別應(yīng)用于大參數(shù)和小參數(shù)的情況，其精度可達(dá)到二、四、六及更高階；針對非定常對流擴(kuò)散方程，王濤等［6］證明了其存在一致四階緊致格式，并使得構(gòu)造格式的邊界點(diǎn)的計(jì)算與內(nèi)點(diǎn)的計(jì)算格式截?cái)嗾`差的主項(xiàng)保持一致.以上針對對流擴(kuò)散方程的研究雖然都聚焦在線性方程上，但其思想也給非線性對流擴(kuò)散方程的研究提供了思路.

處理非線性對流擴(kuò)散方程的重點(diǎn)是非線性項(xiàng)的離散，這一直是研究非線性問題的一個(gè)難點(diǎn).2007年，El－Azab［7］利用一個(gè)松弛參數(shù)對給定的非線性問題進(jìn)行線性化，對非線性拋物項(xiàng)進(jìn)行正則化來達(dá)到非線性問題線性化解決的目的；屈改珠等［8］通過建立不變集來研究（1+1）維帶有對流項(xiàng)和源項(xiàng)的非線性對流擴(kuò)散方程的精確解；Liao［9］將文獻(xiàn)［4］的思想進(jìn)一步推廣應(yīng)用到二維問題中，提出了一種Neuman邊界條件的非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程的四階緊致算法；吳吉明等［10］在時(shí)間方向上采用顯隱交替格式，在空間上利用中心差分處理非線性項(xiàng)，構(gòu)造了一種截?cái)嗾`差為O（h +τ ）的差分格式；Wang［11］采用算子緊湊隱格式（OCI）對空間進(jìn)行離散，用算子代替非線性項(xiàng)并構(gòu)造格林函數(shù)，通過找出其與待求函數(shù)的關(guān)系來處理非線性項(xiàng)，結(jié)合Crank－Nicolson格式對時(shí)間方向離散，得到一種新的單調(diào)緊湊隱格式（MCI），其截?cái)嗾`差為O（h4+τ ）；Liu等［12］通過降階法處理非線性項(xiàng)，提出了一種有非局部Robin邊界條件的有限差分法來處理非線性問題，其截?cái)嗾`差為O（h +τ ）；Zahra等［13］開發(fā)了一類基于指數(shù)擬合技術(shù)的四階或六階空間數(shù)值方案來逼近具有固定階數(shù)的非線性方程，其截?cái)嗾`差為：時(shí)間二階、空間四階或六階；楊錄峰［14］對空間導(dǎo)數(shù)用三點(diǎn)四階緊差分格式進(jìn)行離散來處理非線性項(xiàng)，在時(shí)間上采用二階MacCormack預(yù)報(bào)校正格式進(jìn)行推進(jìn)，其截?cái)嗾`差為O（h4+τ ）.上述針對非線性對流擴(kuò)散方程的相關(guān)研究，雖然誤差只能達(dá)到O（h4+τ ），但是計(jì)算效率得到了提高；有些誤差雖然能達(dá)到O（h4+τ ），但模型比較特殊，只有擴(kuò)散項(xiàng)是非線性的或只有對流項(xiàng)是非線性的.然而對于更一般的非線性對流擴(kuò)散方程的數(shù)值方法的研究甚少.本文考慮擴(kuò)散項(xiàng)和對流項(xiàng)都是非線性的情況，構(gòu)造的數(shù)值格式在空間和時(shí)間上都是二階的.

其中x∈Ω，t∈（0，T］，u（x，t）是未知函數(shù)，t∈（0，T］；A（u），B（u），f（u，x，t）是給定函數(shù)，擴(kuò)散系數(shù)A（u）滿足A（u）>0，系數(shù)B（u）通常表示對流速度，f（u，x，t）是反應(yīng)項(xiàng).受文獻(xiàn)［14］處理非線性項(xiàng)技巧的啟發(fā)，本文利用中心差分處理非線性項(xiàng)，同時(shí)在時(shí)間方向上采用了精度更高的二階線性多步法，構(gòu)造的離散差分格式在時(shí)間與空間上同時(shí)保持二階收斂精度.

1 二階差分格式的構(gòu)造

表3給出了格式（9）在M=N ，T=1，h分別取1/10，1/20，1/40，1/80，1/160，1/320時(shí)計(jì)算得到的問題的誤差和收斂階.數(shù)值結(jié)果表明本文差分格式的收斂階趨近為2，與理論推導(dǎo)完全一致.取N=100，M=1 000，在T=1.2時(shí)刻給出問題的數(shù)值解與精確解見圖5，由圖5可以看出，本文得到的數(shù)值解與精確解基本吻合.圖6給出當(dāng)N=100，M=10 000，T=0.8時(shí)該問題精確解和數(shù)值解曲面，由圖6可見，本文差分格式得到的數(shù)值解與精確解圖形匹配程度較好，誤差較小.

4 結(jié)束語

本文針對非線性對流擴(kuò)散方程提出了一種新的差分方法，在空間上采用經(jīng)典的中心差商公式對非線性項(xiàng)進(jìn)行離散，在時(shí)間方向巧妙地結(jié)合二階線性多步法進(jìn)行離散，新的差分格式在時(shí)間和空間上都具有2階精度.對非線性項(xiàng)進(jìn)行系數(shù)凍結(jié)，根據(jù)Fourier分析得到該格式的收斂條件.最后選取5種不同類型的數(shù)值算例，從多個(gè)方面對本文提出的數(shù)值格式的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明，本文提出的方法對于求解各類非線性對流擴(kuò)散方程均是有效的，且精度都是2階收斂.

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（責(zé)任編輯 馬宇鴻）

收稿日期：2023－03－06;修改稿收到日期：2023－08－08

基金項(xiàng)目：四川省科技計(jì)劃資助項(xiàng)目（2022JDTD0019）

作者簡介：張莉（1982—），女，陜西大荔人，副教授，博士.主要研究方向?yàn)槠⒎址匠虜?shù)值方法.E－mail：lizhang_hit@163.com