線性規(guī)劃問題中的“333工程”

■河南省長葛市第一高級中學(xué) 常進(jìn)東

線性規(guī)劃思想堪稱數(shù)形結(jié)合的完美典范,而線性規(guī)劃問題中的“333工程”能讓我們把“簡單的線性規(guī)劃”學(xué)得更“完美”,那么,這里的“333工程”指的是什么呢?請往下看!

一、求目標(biāo)函數(shù)的最值的三個(gè)步驟

(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點(diǎn)的那一條直線l;

(2)平移——將l平行移動(dòng),以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點(diǎn)的位置;

(3)求值——解方程組求出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)(即最優(yōu)解),代入目標(biāo)函數(shù),即可求出最值。

例1(2018·西安四校聯(lián)考)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=y-2x的最小值為( )

A.-7 B.-4 C.1 D.2

解析：畫出由x,y滿足的約束條件表示的平面區(qū)域,如圖1所示,得它們的交點(diǎn)分別為A(2,0),B(5,3),C(1,3)。平移直線可知z=y-2x過點(diǎn)B(5,3)時(shí),z的最小值為3-2×5=-7。

圖1

故本題選A。

評注：圖解法是解決線性規(guī)劃問題的有效方法。其關(guān)鍵在于平移目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線a x+b y=0,看它經(jīng)過哪個(gè)點(diǎn)(或哪些點(diǎn))時(shí)最先接觸可行域和最后離開可行域,則這樣的點(diǎn)即為最優(yōu)解,再注意到它的幾何意義,從而確定是取最大值還是最小值。

二、最常見的三類目標(biāo)函數(shù)

(1)截距型：形如z=a x+b y。

例2(2018·滕州模擬)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1),若點(diǎn)N(x,y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最大值是

解析：畫出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖2中陰影部分所示,其中

圖2

設(shè)z==2x+y,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y。

由圖2知,當(dāng)直線過點(diǎn)C(1,1)時(shí),z=2x+y取得最大值3。

故答案為3。

評注：對于形如z=a x+b y的目標(biāo)函數(shù),只需將它轉(zhuǎn)化為直線的斜截式y(tǒng)=-,通過求直線的截距的最值間接求出z的最值。

(2)距離型：形如z=(x-a)2+(y-b)2。

例3(2017·陜西質(zhì)檢一)點(diǎn)(x,y)滿足不等式|x|+|y|≤1,z=(x-2)2+(y-2)2,則z的最小值為

解析：|x|+|y|≤1所確定的平面區(qū)域如圖3中陰影部分所示,目標(biāo)函數(shù)z=(x-2)2+(y-2)2 的幾何意義是點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)P (2,2)距離的平方,由圖可知z 的最小值為點(diǎn)P(2,2)到直線x+y=1距離的平方,即為。故答案為 。

圖3

評注：對于形如z=(x-a)2+(y-b)2的目標(biāo)函數(shù),可以看成是點(diǎn)(a,b)與平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)之間的距離的平方,于是把原問題轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域外的點(diǎn)到平面區(qū)域的距離的最值問題。

例4(2018·棗莊模擬)已知實(shí)數(shù)x,■y滿足約束條件≤4,則的最小值是( )

A.-2 B.2 C.-1 D.1

解析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖4中陰影部分所示,的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)A(0,-1)所在直線的斜率,由圖可知當(dāng)P位于點(diǎn)D(1,0)時(shí),直線A P的斜率最小,此時(shí)的最小值為故選D。

圖4

三、求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的三個(gè)注意點(diǎn)

(1)明確問題中的所有約束條件,并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取到等號。

(2)注意結(jié)合實(shí)際問題的實(shí)際意義,判斷所設(shè)未知數(shù)x,y的取值范圍,特別應(yīng)注意分析x,y是否為整數(shù)、是否為非負(fù)數(shù)等。

(3)正確地寫出目標(biāo)函數(shù)并化簡,注意目標(biāo)函數(shù)一般為整式的形式。

例5某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè),生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5分鐘,生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7分鐘,生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4分鐘,已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過10小時(shí)。若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤5元,生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤6元,生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤3元。

(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤ω(元);

(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大,最大利潤是多少?

解析：(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個(gè)數(shù)為100-x-y。

所以每天的利潤ω=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300。

目標(biāo)函數(shù)為ω=2x+3y+300,作出可行域,如圖5中陰影部分所示。

圖5

作初始直線l0：2x+3y=0,平移l0,當(dāng)l0經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),ω有最大值,由

所以最優(yōu)解為A(50,50),此時(shí)ωmax=550元。

故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個(gè),騎兵50個(gè),傘兵0個(gè)時(shí)利潤最大,且最大利潤為550元。

評注：(1)解不含實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：①畫出可行域;②根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點(diǎn);③求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。

(2)解決實(shí)際問題中的線性規(guī)劃問題,關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量x,y,其基本方法是看求解目標(biāo)是受哪兩個(gè)變量制約的,這兩個(gè)制約求解目標(biāo)的變量就是x,y。在確定了這兩個(gè)變量后,再根據(jù)一些限制條件列出不等式組和求解目標(biāo),然后按照一般線性規(guī)劃問題的方法求解即可。