基于擴展卡爾曼濾波的車用鋰離子電池SOC估算

何忠霖，彭憶強，郭威,席林

(西華大學(xué)汽車與交通學(xué)院，四川成都 610039)

0 引言

隨著國家對環(huán)保的要求越來越嚴(yán)，督查力度愈來愈大，不少系統(tǒng)和設(shè)備開始采用鋰離子電池作為能量的主要來源。鋰離子電池具有能量密度大、功率密度大、自發(fā)放電率低、無記憶效應(yīng)等優(yōu)點。荷電狀態(tài)(State of Charge， SOC)作為電池管理系統(tǒng)(Battery Management System， BMS)中均衡各單體電池的重要參數(shù)，在動力電池的使用過程中，易受到內(nèi)外各種不確定因素的干擾，發(fā)生復(fù)雜電化學(xué)反應(yīng)的鋰離子電池又是典型的非線性系統(tǒng)。因此，如何利用電池可測參數(shù)數(shù)據(jù)，如電流、電壓、溫度、自放電率、循環(huán)充電次數(shù)等，通過適當(dāng)算法來實現(xiàn)當(dāng)前電池剩余電量準(zhǔn)確估算，一直以來是BMS的核心問題和亟需解決的技術(shù)難點。為適應(yīng)需求，許多估算方法應(yīng)運而生。文獻(xiàn)[1]中提出了安時積分法，并分析了安時積分法估算SOC存在的誤差及解決方案；文獻(xiàn)[2]中提出了開路電壓法，并得到了開路電壓法不適于SOC在線實時估算的結(jié)論；文獻(xiàn)[3]中提出了有效質(zhì)量法，通過測量電池電解液有效質(zhì)量估算SOC值，但該法只適用于能直接測量電解液質(zhì)量的鉛酸電池，對于純電動汽車主要使用的鋰離子電池，并不具備使用價值。基于現(xiàn)代控制理論而提出的SOC估計策略在近年來得到了長足發(fā)展，其中主要的方法有卡爾曼濾波法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、狀態(tài)觀測器法等[4]。其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估算和模糊控制法由于難度大，還停留在計算機仿真研究階段，距離實際運用還有不少路要走。

電池組電量一般是按照電池模組總電壓來進(jìn)行估算和矯正的，如果電池組的不一致性很大，將會使SOC估算精度誤差增大。具有代表性的是韓國亞洲大學(xué)和先進(jìn)工程研究院，研究人員在對鎳氫電池SOC估算過程中，提出了考慮自恢復(fù)效應(yīng)、自放電效應(yīng)及老化效應(yīng)對電池容量的影響[5]，并提出SOC計算公式：

SOC(%)=100%×(實際容量+自恢復(fù)效應(yīng)恢復(fù)電量-自放電效應(yīng)放電量-老化效應(yīng)損失電量+充電量-放電量)/額定容量

(1)

該公式考慮了伴隨電池使用導(dǎo)致的老化效應(yīng)，存放過程中的自放電效應(yīng)和充、放電結(jié)束時的自恢復(fù)效應(yīng)對電池電量的影響，計算所得SOC精度相對較高。

對于電動汽車，SOC估算準(zhǔn)確與否在很大程度上取決于電池本身壽命長短。同時，SOC也作為電池最基本信息之一提供給駕駛者。因此，SOC估算是BMS中的重點和難點。

為適應(yīng)鋰電池復(fù)雜電反應(yīng)機制，本文作者在卡爾曼濾波的基礎(chǔ)上，通過將擴展卡爾曼濾波(EKF，Extended Kalman Filter)和復(fù)合電池模型結(jié)合，搭建了基于EKF原理下SOC估算的仿真模型。文中的創(chuàng)新點在于考慮到復(fù)合電池模型的輸入?yún)?shù)為充、放電電流和電池溫度，添加了與電池溫度有關(guān)的容量校正模型和與庫侖效率有關(guān)的電流效率模型，實現(xiàn)對SOC估算的校正，增加模型估算精度。

1 擴展卡爾曼濾波

1960年卡爾曼在時域狀態(tài)空間理論基礎(chǔ)上提出了卡爾曼濾波，隨著計算機系統(tǒng)的發(fā)展，卡爾曼濾波逐漸應(yīng)用到控制系統(tǒng)的各個領(lǐng)域。在卡爾曼濾波中，狀態(tài)方程表示相鄰時刻狀態(tài)變量的變化規(guī)律，輸出方程對部分或全部狀態(tài)變量進(jìn)行觀測，從而實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)變量的最優(yōu)估計，即由初始化、估測估計及最優(yōu)估計三部分構(gòu)成。

標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波常用于線性動態(tài)系統(tǒng)，其狀態(tài)空間模型如下：

狀態(tài)方程：

xk+1=Akxk+Bkuk+wk

(2)

輸出方程：

yk=Ckxk+Dkuk+vk

(3)

式中：uk為系統(tǒng)的輸入量，輸入量是電池溫度和電流；xk為狀態(tài)變量，代表SOC值；yk為輸出量，指電池負(fù)載電壓，也稱端電壓；vk為過程噪聲，描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中的加性噪聲及誤差的過程噪聲變量；wk為觀測噪聲，表示測量系統(tǒng)輸入量時產(chǎn)生的噪聲和誤差，由于vk、wk均為高斯隨機白噪聲，在計算的過程中無法知道實際值，故將其假設(shè)為零；Ak、Bk、Ck、Dk為方程匹配系數(shù)，用來體現(xiàn)系統(tǒng)動態(tài)特性。

鋰離子電池性能受到溫度、電壓、電流等多種因素的影響，在使用過程中是典型的非線性系統(tǒng)，應(yīng)采用擴展卡爾曼濾波對電池組SOC進(jìn)行實時估算。擴展卡爾曼濾波是通過系統(tǒng)狀態(tài)空間模型將動力電池非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化，然后再利用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法的原理對狀態(tài)變量做最優(yōu)估計。系統(tǒng)狀態(tài)空間模型如下：

狀態(tài)方程：

xk+1=f(xk,uk)+wk

(4)

輸出方程：

yk=g(xk,uk)+vk

(5)

式中：f(xk,uk)為非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)；g(xk,uk)為非線性測量函數(shù)。相對于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波，擴展卡爾曼濾波用f(xk,uk)替代了Akxk+Bkuk，用g(xk,uk)替代了Ckxk+Dkuk。為方便理解，給出如圖1所示的方框圖。

圖1 非線性離散時間狀態(tài)模型

具體計算過程如下：

(6)

(7)

狀態(tài)變量的真值無法直接測得，因此只能通過間接的方法通過計算得到，必然存在誤差。擴展卡爾曼濾波正是將存在的誤差利用最小均方差原理讓最優(yōu)估計經(jīng)過有限次后收斂于真實狀態(tài)值。因此，EKF計算后結(jié)果收斂的準(zhǔn)確性與初值無關(guān)，初值僅決定收斂所需時間，而模型的精確性決定收斂結(jié)果精度。

(8)

(9)

式中：Dw是過程噪聲wk的方差,會讓均方估計值增加并且會增加狀態(tài)估計值的不穩(wěn)定性。

(3)卡爾曼濾波增益Lk：

(10)

式中：Ck為匹配系數(shù)，用來體現(xiàn)系統(tǒng)動態(tài)特性；Dv是觀測噪聲vk的方差?？柭鼮V波增益又叫信噪比平衡因子。當(dāng)狀態(tài)變量處于比較穩(wěn)定時，修整幅度較小，Lk值較小，反之Lk值較大，修正幅度較大。由公式(10)可以看出，當(dāng)觀測噪聲增大，Lk值會減小，導(dǎo)致調(diào)整幅度減小。

(11)

(12)

當(dāng)觀測變量yk測量結(jié)束后，采用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波對狀態(tài)變量、均方估計誤差的預(yù)測估計值進(jìn)行修正，從而得到狀態(tài)變量、均方估計誤差的最優(yōu)估計值。

2 電池模型

文中以某磷酸鐵鋰單體電池模組作為研究對象，基本參數(shù)如表1所示。對于擴展卡爾曼濾波，從非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)f(xk,uk)、非線性測量函數(shù)g(xk,uk)和狀態(tài)變量的角度出發(fā)，可以分為復(fù)合模型、簡化模型、帶滯后效應(yīng)模型、極化效應(yīng)修正模型。雖然復(fù)合模型精度不及帶滯后效應(yīng)模型和極化效應(yīng)修正模型，但計算較為簡單且易于微控制系統(tǒng)實現(xiàn)，所以文中選擇復(fù)合模型進(jìn)行模型搭建。模型總體框架如圖2所示。

表1 某磷酸鐵鋰電池模組參數(shù)

圖2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

2.1 復(fù)合模型

復(fù)合模型是基于Shepherd模型、Unnewehr universal模型、Nerest模型組合得到[7]。

狀態(tài)方程：

(13)

輸出方程：

(14)

式中：ηT為溫度對電池容量的補償系數(shù)；ηI為庫侖效率對電池容量的補償系數(shù)；R為電池內(nèi)阻，會隨溫度和充、放電狀態(tài)變化；Ki為電池極化電阻，K1、K2、K3、K4是利用最小方差原理得到，為電池相關(guān)匹配參數(shù)。

2.2 溫度對電池容量校正模型

電池內(nèi)部溫度是影響電池容量的重要因素。溫度較高時，電池活性增加，能量得到更有效地發(fā)揮，但若電池在高溫環(huán)境下長時間工作，會讓電池中的電解質(zhì)和某些活性物質(zhì)發(fā)生不可逆轉(zhuǎn)的化學(xué)反應(yīng)，從而導(dǎo)致電池內(nèi)部晶格被破壞，壽命明顯地縮短。溫度較低時，電化學(xué)反應(yīng)速率降低，電池活性明顯降低，溫度過低時電解液甚至可能凍結(jié)，極化效應(yīng)明顯，電池內(nèi)阻增加，電池很難充滿電，實際可用容量減少，電池能量利用效率下降。

電池內(nèi)部溫度對SOC的影響主要有以下兩點：(1)非線性特性。溫度對SOC的影響是非線性的，無論大小，都不能用簡單的線性關(guān)系進(jìn)行描述。(2)溫度對電池容量的影響是非固定的。因此，需要通過試驗得到不同溫度下的容量補償系數(shù)。以某單體磷酸鐵鋰電池為研究對象，在滿電(45 A·h)情況下，分別將電池置于-20、-10、0、 25、 40、60 ℃的溫度下，以標(biāo)稱放電倍率C/30對電池進(jìn)行放電到截止電壓，通過實驗可得到各溫度下電池的實際容量，通過與標(biāo)稱容量比較，可得到不同溫度下的容量補償系數(shù)ηT：

(15)

式中：QTi為實際容量；QTI為標(biāo)稱容量。

具體數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 不同溫度下的補償系數(shù)

由于所測點溫度分別為-20、-10、0、 25、 40、60 ℃，其為離散點，不能為除所測點外的其他溫度提供容量校正值。因此，將所測實際容量與對應(yīng)溫度進(jìn)行曲線擬合，為其他溫度下的容量校正提供支撐，如圖3所示。

圖3 內(nèi)部溫度對電池容量校正擬合曲線

一般電池測量溫度為電池極柱溫度，由于電池在生產(chǎn)過程中由于本身構(gòu)造、使用材料以及裝配方式等不同，導(dǎo)致電池內(nèi)部溫度和電池極柱溫度有差異，所以需對所測電池溫度進(jìn)行自校。在滿電并以C/30倍率進(jìn)行放電，直至截止電壓，如表3所示。

表3 不同溫度下的自校系數(shù)

為得到除測量點外其他溫度的自校系數(shù)εT，將表3所測數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，如圖4所示。

圖4 溫度自校系數(shù)擬合曲線

2.3 電流效率模型

電流效率模型主要與庫侖效率有關(guān)。庫侖效率又叫放電效率，是指在同一循環(huán)過程中放電容量和充電容量的比值。與磷酸鐵鋰電池不同的是，鎳氫、鎳鎘蓄電池具有一定的耐過充能力，因此均衡策略常被設(shè)計為正限制。隨著電量增加，磷酸鐵鋰電池的庫侖效率會逐漸降低，過充的電能大部分轉(zhuǎn)化為熱能消散了。而磷酸鐵鋰電池的庫侖效率一般能達(dá)到90%，應(yīng)在建模過程中考慮該電池庫侖效率變化對電池容量的影響。磷酸鐵鋰在實際使用過程中，充電過程一般是先恒流充電，充到截止電壓后再恒壓充，最后進(jìn)行涓流充電，充電模式較為固定。因此，庫侖效率主要考慮放電倍率的影響。設(shè)置充、放電條件：在25 ℃條件下，充電倍率為0.5C(22.5 A)，分別以0.1C(4.5 A)、0.5C(22.5 A)、1C(45 A)、1.5C(67.5 A)、2C(90 A)、3C(180 A)放電倍率進(jìn)行放電至截止電壓，如表4所示，可得到不同放電倍率下的容量補償系數(shù)，即庫侖效率ηI：

(16)

式中：Qti為實際放電容量；QtI為實際充電容量。

表4 不同放電倍率下的庫侖效率

同理，為得到不同放電倍率下的庫侖效率ηI，將表4中測量點擬合，得到如圖5所示曲線。

圖5 庫侖效率擬合曲線

3 仿真結(jié)果分析

模型搭建完成后，為考慮充、放電倍率對該算法SOC估算的影響，選擇在常溫(25 ℃)下，分別對該模型以1C、3.4C進(jìn)行恒流放電，靜置一段時間后，再分別以1C、3.4C進(jìn)行恒流充電、放電，如圖6—圖7所示。下面將截取一部分?jǐn)?shù)據(jù)，來驗證文中所提算法的精確性。

圖6 25 ℃，3.4C充、放電倍率下SOC值曲線圖

圖7 25 ℃，1C充、放電倍率下SOC值曲線圖

將1C充電倍率下的SOC曲線圖局部放大，如圖8所示。

圖8 25 ℃，1C充、放電倍率下SOC值局部放大圖

曲線1為通過安時積分法得到的曲線。因為充、放電過程均為恒流充電、放電，因此，以這條曲線作為參考曲線，且賦予SOC初值SOC0為80%。曲線2是以EKF作為基礎(chǔ)，結(jié)合復(fù)合電池模型，并經(jīng)過容量修正、溫度校正后得到的輸出曲線。曲線3是以電池模型作為基礎(chǔ)，以SOC值作為狀態(tài)變量，未經(jīng)EKF直接輸出SOC估算曲線。

通過將不同充、放電倍率下的SOC輸出值比較，不難發(fā)現(xiàn)，隨著充、放電倍率增大，未經(jīng)EKF的SOC估算輸出曲線距參考曲線距離逐漸增大，誤差逐漸增大。而無論是在1C倍率下，還是在3.4C倍率下，EKF輸出曲線始終圍繞參考曲線上下波動，隨著均方誤差逐漸減小，其值最終會收斂于參考曲線。且在這兩種充、放電倍率下，EKF算法估算得到的SOC值比未經(jīng)EKF、由電池模型直接得到的SOC估算值精度要高。體現(xiàn)了EKF算法的精確度高，穩(wěn)定性好。

為驗證溫度對模型算法的影響，選擇在3.4C充、放電倍率下，分別以-5、25 ℃進(jìn)行充、放電，如圖9所示。

圖9 -5 ℃，3.4C充、放電倍率下SOC值曲線圖

通過圖6和圖9可以明顯看出，溫度對該算法影響很大，-5 ℃下未經(jīng)EKF算法輸出曲線與參考曲線誤差較大，將近達(dá)到4%，而經(jīng)EKF算法得到的SOC輸出曲線在該環(huán)境下誤差較小，經(jīng)計算最大為0.5%，還存在圍繞參考曲線來回波動的調(diào)節(jié)過程。說明EKF算法在極端環(huán)境中精確度較高，魯棒性較好。

無論是以安時積分法為基礎(chǔ)輸出曲線，還是以電池模型為基礎(chǔ)輸出曲線，都需要賦予S0C初值SOC0，而EKF原理輸出曲線的收斂性與初值SOC0無關(guān)。在EKF中，初值的準(zhǔn)確與否只關(guān)系到算法的收斂時間，所賦初值和實際值之差的絕對值越大，收斂時間越長，反之越短。輸出SOC曲線變化規(guī)律不會受到初值影響，屬于EKF算法的優(yōu)越性。

電動汽車在行駛過程中存在加速超車情況，此時電池需大倍率放電，因此以25 ℃，3.4C倍率放電為主要研究對象。如圖6所示，所選擇的數(shù)據(jù)范圍為0.520 7～0.8。在開始放電階段，卡爾曼濾波設(shè)置的初始值x0為0.630 5，與初值SOC0相差較大，根據(jù)卡爾曼濾波原理，為使均方誤差最小，曲線迅速上升，在t=6 s時第一次與參考曲線相交，此時卡爾曼濾波算法預(yù)測結(jié)果幾乎接近于SOC真實值。隨后無論是在充、放電階段，SOC預(yù)測曲線都在參考曲線附近上下擺動，在預(yù)測范圍內(nèi)多次穿越參考曲線并與之反復(fù)相交，說明模型精度高，反饋響應(yīng)及時。但最終預(yù)測曲線并不會與參考曲線貼合，而是始終在其周圍小幅震蕩。原因如下：

(1)噪聲矩陣對算法精度的影響。由于無法測量過程噪聲和觀測噪聲真實值，將其假定為零，勢必造成系統(tǒng)噪聲在參數(shù)統(tǒng)計過程中存在誤差，導(dǎo)致噪聲參數(shù)設(shè)置不準(zhǔn)確，反饋響應(yīng)存在誤差[8]。

(2)在充、放電過程中，由于電池極化效應(yīng)影響，電池參數(shù)如電阻等會不斷變化。在建模過程中，為保證算法的實用性和模型的難易度，舍棄了模型中極化效應(yīng)修正部分，導(dǎo)致電池極化效應(yīng)對模型響應(yīng)產(chǎn)生影響。

而另外一條曲線雖能反映SOC變化趨勢，但始終位于參考曲線下方，因為復(fù)合模型和系統(tǒng)原模型還存在偏差，在對等效模型進(jìn)行更新時，由于遲滯效應(yīng)導(dǎo)致復(fù)合模型和真值產(chǎn)生偏差，系統(tǒng)噪聲為有色噪聲，并不為零[9]。

圖10為輸出結(jié)果SOC絕對誤差曲線圖，曲線1為經(jīng)EKF的絕對誤差，計算開始后，真實初值SOC0和EKF中所賦初值存在偏差，根據(jù)卡爾曼濾波原理，均方誤差逐漸減小，算法中SOC值向真值逐漸靠攏。誤差曲線迅速向零靠近。SOC值在真值附近小幅震蕩，因此誤差值在零附近小幅震蕩，且最大誤差不超過0.5%，精度比較高。

曲線2是未經(jīng)EKF濾波，經(jīng)過復(fù)合模型后直接輸出的SOC值的誤差曲線，相對考慮容量校正、溫度校正等的EKF誤差曲線而言，誤差相對較大，當(dāng)t=600 s后，誤差逐漸增大，整個過程都沒有來回震蕩的調(diào)節(jié)過程。EKF算法優(yōu)越性展現(xiàn)無遺。

圖10 25 ℃，3.4C倍率下SOC絕對誤差曲線

4 結(jié)束語

本文作者以卡爾曼濾波為理論基礎(chǔ)，結(jié)合復(fù)合電池模型，提出了基于擴展卡曼濾波的鋰離子電池SOC估算方法，并添加了與電池表面溫度有關(guān)的容量校正模型以及和庫侖效率有關(guān)的電流效率模型，實現(xiàn)對SOC估算的校正。在MATLAB/Simulink中建立上述仿真模型，并對輸出曲線進(jìn)行分析。通過將經(jīng)過EKF算法估算和未經(jīng)EKF算法估算得到的SOC輸出曲線進(jìn)行比較，表明該算法估算精度較高，誤差較小，且具有來回震蕩的調(diào)節(jié)過程、抗干擾能力較強的優(yōu)點。對于SOC估算的實際應(yīng)用具有一定的參考價值。