改進型雙頻相關(guān)的整周模糊度單歷元解算算法

權(quán) 源，趙修斌，龐春雷，張 豪，王 勇，伍劭實

(1.空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安 710077;2. 空軍通信士官學(xué)校，遼寧 大連 116000)

隨著全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)載波差分定位測向技術(shù)的不斷發(fā)展，其在各個領(lǐng)域的作用愈加不可或缺[1]，如飛機精密編隊飛行、飛行器空間交互對接、無人機進近著陸等，并且越來越多的領(lǐng)域?qū)υ摷夹g(shù)的快速性、可靠性指標要求日益苛刻．由于載波差分算法的核心便是解算全球定位系統(tǒng)載波相位測量值中的未知量——整周模糊度，因而如何快速、可靠地解算整周模糊度成為載波差分定位測向技術(shù)的熱點與難點[2]．

目前，常用的模糊度解算方法有模糊度函數(shù)法[3]、最小二乘搜索法[4]、LAMBDA算法[5]等，但該類算法需要較多歷元數(shù)據(jù)方能實現(xiàn)整周模糊度的固定過程．于是國內(nèi)外學(xué)者們嘗試對其改進完善，如采用慣性器件輔助[6-7]、基線長度約束[8]等手段，通過壓縮模糊度搜索空間，從而實現(xiàn)較短歷元甚至單歷元固定整周模糊度．也有學(xué)者提出根據(jù)載波相位測量值間的內(nèi)在關(guān)系[9-11]，通過剔除大多數(shù)錯誤解以增大搜索空間稀疏度，從而實現(xiàn)整周模糊度的快速解算．

雙頻相關(guān)法(DUal Frequency COorrelation Method， DUFCOM)[9]便是一種利用不同頻率載波相位測量值之間的相關(guān)特性以壓縮模糊度搜索空間的算法．它以各頻率衛(wèi)星位置與接收機位置間的幾何距離相等為依據(jù)，結(jié)合雙頻載波相位測量值之間的相互關(guān)系，構(gòu)造了一個以L2整周模糊度為橫軸、L1整周模糊度為縱軸的觀測域雙頻整周模糊度誤差帶．該誤差帶以偽距解得的L2整周模糊度范圍作為誤差帶帶長，僅保留誤差項落在誤差帶內(nèi)的L1整周模糊度備選值，從而完成模糊度備選空間的篩選過程．

但基于偽距解算誤差帶帶長的方式會導(dǎo)致兩類情況發(fā)生: 一是由于偽距精度設(shè)置過低造成誤差帶帶長區(qū)間較大，使得同樣帶寬寬度的模糊度備選值較多，造成誤差帶篩選效率降低; 另一類則是由于精度設(shè)置過高，導(dǎo)致正確模糊度備選值遺漏．但該算法僅考慮了L1、L2頻率上的載波相位測量值，未考慮不同載波相位測量值間的線性組合方式[12]對雙頻相關(guān)法的影響．故筆者首先利用基線長度與觀測向量信息構(gòu)造雙差幾何相關(guān)模型，以定量解算誤差帶帶長，由于該方式利用到更多的已知信息，使得帶長長度小于原算法，進而提高了誤差帶篩選效率; 然后分析了模糊度搜索空間稀疏性、載波相位波長、誤差帶帶長、誤差帶帶寬之間的相互關(guān)系；最后通過構(gòu)造寬巷整周模糊度與L1整周模糊度之間的雙頻誤差帶，既實現(xiàn)了對原雙頻相關(guān)法的擴展，又進一步壓縮了帶長長度，增強了模糊度搜索空間稀疏性．

1 原雙頻相關(guān)法

1.1 雙頻整周模糊度誤差帶

由雙差載波相位方程可知[13]:

λ(φij-Nij)=G·b+Δεφij,

(1)

其中，λ為載波波長，φij為載波相位測量值，Nij為雙差整周模糊度，G為接收機與衛(wèi)星之間構(gòu)成的視線向量矩陣，b為基線矢量，Δεφij為雙差載波相位誤差項．

由式(1)結(jié)合各頻率衛(wèi)星與接收機間構(gòu)成的幾何距離相等這一條件，推得

λ1(-)-λ2(-)=

式(2)中各字母下角標數(shù)字分別代表頻率L1、頻率L2．

令u= (λ1，將其代入式(2)，可以得到

(3)

1.2 誤差帶帶長

聯(lián)立雙差載波相位方程式與雙差偽距觀測方程式[13]，可知

λ(φij-Nij)=ρij+Δεφij+Δερij≈ρij+Δερij,

(4)

其中，ρij為雙差偽距測量值，Δερij為雙差偽距測量值誤差項．由于雙差載波相位誤差遠小于雙差偽距誤差，故忽略不計[14]．

(5)

1.3 誤差帶帶寬

對誤差項u=(進行分析．假設(shè)L1、L2頻率以周為單位的載波相位測量值精度相同，設(shè)其均方差分別為δφ1、δφ2，且由誤差傳播公式推知利用方差性質(zhì)推得誤差項u的均方差為 (4/+ 4/)1/2．若取u的3倍均方差作為上下限，則式(5)以概率99.7%使得下式成立:

(6)

2 改進雙頻相關(guān)法

2.1 基于雙差幾何相關(guān)模型解算誤差帶帶長

(7)

圖2 雙差幾何相關(guān)模型解算誤差帶帶長示意圖

(8)

(9)

根據(jù)雙差載波相位觀測方程，得

(10)

(11)

(12)

2.2 波長與搜索空間稀疏性的關(guān)系

未使用雙頻相關(guān)法篩選前，單個維度的L1整周模糊度是一組連續(xù)的整數(shù)變量．經(jīng)過誤差帶篩選后的單維整周模糊度由連續(xù)變得離散，于是整個模糊度搜索空間由緊密變得稀疏．假設(shè)已知一組整周模糊度真值，將其帶入式(1)，可得到

(13)

(14)

ΔL-λK→0 ,

(15)

其中，λ為載波波長，K與ΔL同維．λ越小，該式越容易成立，即符合某一精度標準的模糊度組合越多；λ越大，符合條件的組合數(shù)量越少．而λ與由于搜索空間稀疏性造成模糊度空間縮小的性質(zhì)類似，即搜索空間稀疏性越強，候選模糊度對應(yīng)的次優(yōu)解殘差越大，對應(yīng)的比值也更易通過統(tǒng)計檢驗．

由式(7)和式(12)可知，誤差帶帶長與載波波長有著直接的關(guān)系，即載波波長越長，誤差帶帶長越短，在同樣寬度的帶寬情形下，誤差帶篩選效率越高．即使帶寬寬度有所增長，只要滿足由于帶長縮短帶來的增益大于帶寬增加造成的損失，整體篩選性能便有所提升．下面以波長較長的寬巷載波進行分析說明．

2.3 基于寬巷組合拓展雙頻相關(guān)法

假設(shè)寬巷組合的載波波長為λw，寬巷整周模糊度為Nw，將式(2)改寫為

(16)

令uw=(將其代入上式，可得

(17)

該數(shù)學(xué)模型以寬巷模糊度作為誤差帶橫軸，以L1整周模糊度作為誤差帶縱軸．下面分別從帶長、帶寬兩方面對拓展算法進行分析．

(1) 若采用寬巷偽距測量值解算誤差帶帶長，則其誤差項為假設(shè)L1和L2頻率的偽距測量值精度相等，且均服從N(0，)分布，可推知寬巷雙差偽距測量值誤差服從N(0，8)分布，從而確定誤差帶帶長處于以下范圍:

(18)

(3) 對帶寬而言，先將誤差項改寫為uw=(由上文已知結(jié)合方差性質(zhì)推得誤差項uw的均方差為 (8/+ 4/)1/2．若取uw的3倍均方差作為限差，則式(17)以概率99.7%使得下式成立:

(19)

由上式可知，寬巷組合對應(yīng)的帶寬相對于原帶寬僅增加 (1.5)1/2倍．為了驗證采用寬巷組合方式有利于整體上提高誤差帶的篩選效率，假設(shè)原雙頻相關(guān)法的誤差帶帶長長度為5，帶寬為1(此時誤差帶篩選效率為0)，由式(3)和式(17)得知誤差帶坐標系橫縱坐標數(shù)值之間存在一對一的映射關(guān)系，則L1整周模糊度的有效個數(shù)為5．同時由式(18)和式(19)可知，采用寬巷組合后的誤差帶帶長長度約為2，帶寬約為1.22(效果等同于帶寬為1的情形)，此時L1整周模糊度的有效個數(shù)為2．可見，采用寬巷組合方式可以提升算法的整體篩選效率．

3 實驗結(jié)果及分析

3.1 實驗環(huán)境

選取學(xué)院操場作為本次試驗的場地．首先將兩個NovAtel型號GPS-703-GGG天線分別固定在長度為 1.9 m 的基線兩端，然后將兩臺NovAtel型號OEM628接收機板卡與天線互連．接收機采集頻率設(shè)為 1 Hz．本次試驗分多次采集，每次采集 20 min 左右的歷元數(shù)據(jù)．計算機的處理器為Intel Core i5-4590，主頻為 3.3 GHz．原始數(shù)據(jù)處理平臺為Matlab 2013b．試驗前半段時間基線處于靜止狀態(tài)，后半段時間開始繞操場運動．以某次試驗為例，設(shè)衛(wèi)星截止角為20°，此時可視衛(wèi)星數(shù)量為6顆，同時以仰角最高的31#衛(wèi)星作為基準星，從而構(gòu)成5組衛(wèi)星對：(31，32)，(31，14)，(31，25)，(31，3)，(31，16)．將經(jīng)過LAMBDA算法過長時間解算得到的整周模糊度視作模糊度真值．

為分析筆者提出算法的性能，設(shè)方案1為原雙頻相關(guān)法，方案2為僅采用雙差幾何相關(guān)模型的改進算法，方案3為在方案2基礎(chǔ)上采用寬巷組合方式的改進算法．

3.2 實驗步驟

首先，設(shè)本次試驗L2頻率的偽距測量值精度為 1.5 m．根據(jù)3δ準則，模糊度初始值的上下限各為25周，總帶長即為51周．圖3為方案1解得的3組雙差整周模糊度初始值與真實值之間的距離．由于上下限各為25周，而圖3中最大距離在15周以內(nèi)．可見設(shè)定的誤差帶帶長可將正確整周模糊度包含在內(nèi)，但該方案存在誤差帶帶長過長的弊端．

圖3 方案1解得的模糊度初始值與真值間距離示意圖 圖4 各方案解得的誤差帶上下限與模糊度真值間距離示意圖

然后，以(31，32)衛(wèi)星組合為例，比較各方案解得的帶長區(qū)間長度．由于方案3的誤差帶橫軸由寬巷整周模糊度組成，而方案1、方案2為L1整周模糊度，故對各方案進行單位化處理以同時比較3個方案帶長區(qū)間長度的差異，即將各方案解得的帶長上下限減去對應(yīng)的整周模糊度真值．若“0”包含在新的“限差”內(nèi)，則表明原誤差帶帶長包含整周模糊度真值，如圖4所示．可見3個方案解得的誤差帶帶長均包含模糊度真值，且誤差帶帶長效果依次為方案3>方案2>方案1，方案2、方案3較方案1的帶長長度分別縮小74.3%，90.63%．

由式(6)和式(20)可知，3種方案的誤差帶帶寬近似相等．理論上當帶寬相等時，帶長越短，算法篩選效率越高．對(31，32)衛(wèi)星組合解得的誤差帶帶長代入誤差帶進行篩選，結(jié)果如圖5所示，備選模糊度數(shù)量由小到大依次為方案3<方案2<方案1，方案2、方案3較方案1的備選模糊度數(shù)量分別減少71.34%，87.15%．

圖5 各方案經(jīng)誤差帶篩選后的備選模糊度數(shù)量示意圖圖6 各方案在不同歷元解得的比值示意圖

接下來，將各方案解得的備選模糊度代入雙差載波相位方程，并利用比值檢驗法對其進行固定．由于部分歷元之間的比值相差大至3個量級，為反映所有歷元的比值解算情況，故將全體比值對數(shù)化．同時假設(shè)：如果模糊度固定時僅剩一組候選模糊度，定義其比值取最大，同時將對數(shù)化的比值設(shè)為R，如圖6所示．

由圖6可知，R值整體上從大到小依次為方案3>方案2=方案1．這是由于方案2經(jīng)過誤差帶篩選后的備選模糊度空間是方案1的子集，由于解得的次優(yōu)解一致，故兩方案的R值在本次試驗中相等．而方案3較方案1、方案2篩選后的模糊度搜索空間大大減小，可能存在某個歷元的某一維度候選模糊度僅保留了正確值左側(cè)值或右側(cè)值，剔除了方案1、2中的次優(yōu)解，導(dǎo)致R值增大．以第494歷元時Ratio檢驗過程為例，結(jié)果如表1所示．

表1 第494歷元各方案的候選模糊度集合統(tǒng)計結(jié)果

表1是3個方案在第494歷元固定模糊度時的候選模糊度集合．方案1、方案2包含第1～8組模糊度，方案3僅包含第1、8組模糊度，故方案1和方案2的次優(yōu)解為第2組，其 lbR值為1.36；方案3的次優(yōu)解為第8組模糊度，其 lbR值為4.372．可見，對該算法而言，載波波長越長，空間稀疏性則越強，使得R值更易通過統(tǒng)計檢驗．

最后，對比本次試驗各方案的性能，結(jié)果如表2所示．

表2 各方案性能對比統(tǒng)計結(jié)果

由表2可知，筆者所提算法誤差帶平均帶長、誤差帶篩選后的平均備選模糊度數(shù)量較原算法大大減少，從而使得改進算法的成功率及解算效率得到提升．

4 結(jié) 論

筆者對雙頻相關(guān)法進行研究，首先采用載波相位測量值代替原算法的偽距觀測量，實現(xiàn)了定量解算誤差帶帶長；然后根據(jù)波長與搜索空間稀疏性之間的關(guān)系，構(gòu)造了寬巷整周模糊度與L1整周模糊度誤差帶．試驗結(jié)果表明:

(1) 采用載波相位測量值解算誤差帶帶長，可以避免采用偽距精度中誤差的3δ準則對帶長長度進行估計，使得誤差帶帶長上下限的解算結(jié)果更接近真實值，有利于壓縮模糊度搜索空間．

(2) 構(gòu)造寬巷整周模糊度與L1整周模糊度間的誤差帶，一方面可以進一步壓縮模糊度搜索空間，另一方面使得比值更易通過統(tǒng)計檢驗，提高模糊度解算的成功率與可靠性．

同時可知，改進后的雙頻相關(guān)法雖然可以有效定量、準確地解算誤差帶帶長區(qū)間，但在誤差帶帶寬確定環(huán)節(jié)仍然采用經(jīng)驗取值的方式進行估計．因此，下一步需要對影響誤差帶帶寬大小的不同因素進行分析，以定量解算各顆衛(wèi)星對應(yīng)的誤差帶帶寬，進一步提高誤差帶的篩選效率．