賞析一道電路競賽題的三種解法

內蒙古 宋輝武

在復雜電路計算中常常用到基爾霍夫方程組、等效電壓源定理、等效電流源定理、電流疊加原理這四個規(guī)律。其中，基爾霍夫第一定律指出流入電路任一節(jié)點(三條以上支路匯合點)的電流強度之和等于流出該節(jié)點的電流強度之和，這是電流連續(xù)性原理的必然結果?；鶢柣舴虻诙芍赋鰧τ陔娐分腥我换芈罚鼗芈翻h(huán)繞一周，電勢降落的代數(shù)和為零。等效電壓源定理(戴維寧定理)指出兩端有源網絡可等效為一個電壓源，其電動勢等于網絡的開路端電壓，內阻等于從網絡兩端看除電源(即將電動勢短路)網絡的電阻。等效電流源定理(諾爾頓定理)兩端有源網絡可等效為一個電流源，電流源的I0等于網絡兩端短路時流經兩端點的電流，內阻等于從網絡兩端看除電源網絡的電阻。電流的疊加原理指出若電路中有多個電源，通過電路中任一支路的電流等于電路中各個電源的電動勢單獨存在時在該支路上產生的電流之代數(shù)和，這與力學中常用的“力的獨立作用原理”極為相似。本文將討論這四個重要的電學原理在一道電路競賽題中的巧妙應用，希望能夠對教學有一定的參考作用。

【例1】如圖1所示，不考慮內阻的電源ε和電阻R1、R2構成圖1所示的電路，A、B為導線的兩個端點，求A、B間的等效電動勢和等效內阻。

解法一：根據(jù)等效電壓源定理可求得AB兩端的等效電動勢和等效內阻為

解法二：根據(jù)等效電流源定理并結合電流疊加原理求解，先將AB之間連接一根導線(將電阻R2短路)，則流過AB之間的導線的電流為

對于例1來說似乎還看不出利用解法二解題的優(yōu)勢，下面再來看一道常見的競賽習題。

【例2】電動勢分別為ε1和ε2，內阻分別為r1和r2的如圖2所示的兩個電池，用一個電動勢為ε，內阻為r的如圖3所示的電池代替，流過電阻R的電流強度不變，并且與R無關。(1)問ε與r和ε1、ε2與r1、r2應有何關系。(2)如果開始時不是兩個電池，而是電動勢分別為ε1，ε2…εn和內阻分別為r1，r2…rn的n個電池，那么ε與r又應以何公式表述。

解法一(基爾霍夫方程組法)

(1)對圖2，設通過電池ε1，ε2的電流強度分別為I1，I2，則

ε1=I1r1+IR

ε2=I2r2+IR

I=I1+I2

由以上三式解得

對圖3有

根據(jù)題給條件，兩個I應該相等，化簡后得

要使兩個多項式完全相等，只有對應項的系數(shù)相等，即

由此得

(2)若換用n個電動勢，內阻分別為ε1，ε2…εn；r1，r2…rn的n個電池并聯(lián)時也可用一個電池代替，可用數(shù)學歸納法證明得

解法二(等效電壓源法)

本題實際上就是把電源部分等效為一個電壓源，而題中第二問需多次地運用等效電壓源定理。

(1)如圖2所示，電源開路，端電壓為

網絡電阻滿足

(2)不難解得

上述公式的證明同樣要用到數(shù)學歸納法?？梢园l(fā)現(xiàn)上述兩種解法解第(2)問時均需用到數(shù)學歸納法，方法并不簡潔明了，為此我們來看解法三。

解法三(等效電流源定理結合電流疊加原理)

可見流過導線的總電流(即等效電流)為