淺析帶電粒子在電場中的運動問題

浙江 成金德

帶電粒子在電場中的運動是電場部分的重要內(nèi)容之一，此類問題常與力學(xué)知識相結(jié)合，是一類綜合性較強的物理問題，因此，帶電粒子在電場中運動的問題是高考的熱點問題，本文就如何有效解答此類問題做粗淺的分析和探討。

一、抓住兩條主線

二、認清三種粒子

1.基本粒子。如電子、質(zhì)子、α粒子、離子等，由于基本粒子受到的電場力遠比重力大，因此，基本粒子的重力常常忽略不計；

2.一般粒子。如帶電油滴、帶電塵埃、帶電小球等，由于這些帶電粒子的重力比較大，其重力一般不能忽略；

3.帶電粒子。在有些問題中涉及的帶電粒子，是否要考慮重力的作用并不十分明確，求解時要根據(jù)題意進行仔細分析，若帶電粒子受到的電場力遠大于重力時，則可以將重力忽略不計，否則應(yīng)考慮重力的作用。

三、掌握二個方法

1.類比法。由于電場力與重力一樣，都是恒力，且做功的特點也相似，做功只與始末位置有關(guān)，與實際通過的路徑無關(guān)。因此，帶電粒子只在電場力作用下的運動常與物體只在重力作用下的運動相類比。如電場中的類平拋運動與重力場中的平拋運動相類比，帶電粒子在水平方向的勻強電場中的振動可與重力場中的單擺相類比等。

2.整體法。由于電荷間的作用是相互的，若把電荷系統(tǒng)取為研究對象，則可不必考慮電荷間的相互作用，使問題得到簡化。因為電場力做功與路徑無關(guān)，在求解與能量變化有關(guān)的問題時可取整個過程進行研究，有時也將使問題大為簡化，從而可迅速確立解題方案。

四、理順三條思路

帶電粒子在電場中運動的問題往往與力學(xué)的知識緊密聯(lián)系，可以說是一類增加了電場力后的“準力學(xué)問題”，可謂電學(xué)搭臺力學(xué)唱戲，因此，分析和求解的方法與處理力學(xué)問題基本一致。解題時可選用的物理規(guī)律有：牛頓運動定律、動量定理、動能定理、動量守恒定律和能量守恒定律等，具體的解題思路有三條：

1.若帶電粒子受到的是恒力，可選用牛頓運動定律，也可選用動量定理或動能定理求解；

2.若帶電粒子所受的合力是變力，一般應(yīng)選用動量定理、動能定理和能量守恒定律求解；

3.若帶電粒子不止一個，涉及粒子間相互作用的問題，一般要選用動量守恒定律和能量守恒定律求解。

五、熟悉五種題型

1.平衡(靜止或勻速直線運動)問題

帶電粒子受到的電場力與其他力的合力為零時，帶電粒子處于平衡狀態(tài)。求解的依據(jù)是平衡條件，即合外力等于零。常用的方法有合成法、正交分解法、整體法和隔離法等。

【例1】如圖1，用長為0.3 m的細線將質(zhì)量為4×10-3kg的帶電小球P懸掛在O點，當空中有方向為水平向右，大小為 1×104N/C的勻強電場時，小球偏轉(zhuǎn)θ=37°后處于靜止狀態(tài)。g取10 N/kg，求：

圖1

(1)小球所帶的電荷量；

(2)細線的拉力。

【解析】取小球為研究對象，小球受重力mg、電場力qE和細線的拉力F的作用。由于小球處于平衡狀態(tài)，則電場力的方向應(yīng)水平向右，因此，小球帶正電。將F沿水平和豎直兩個方向分解，根據(jù)平衡條件得

在水平方向Fsinθ=qE

在豎直方向Fcosθ=mg

解以上兩式得q=3×10-6C，F(xiàn)=5×10-2N。

2.帶電粒子在電場中做直線運動

(1)勻變速直線運動

帶電粒子受到的電場力和其他力的合力的方向與速度方向在同一直線上時，且合力是恒力，則帶電粒子在電場中將做勻變速直線運動。求解時常用牛頓運動定律、動能定理和動量定理等規(guī)律。

【例2】如圖2所示，一平行板電容器板長L=4 cm，板間距離為d=3 cm，傾斜放置，使板面與水平方向成θ=37°。若兩板間所加電壓U=100 V，一帶電荷量為q=3×10-10C的負電荷以v0=0.5 m/s的速度自A板左邊緣水平進入電場，在電場中沿水平方向運動，并恰好從B板右邊緣水平飛出，g取10 N/kg，則帶電粒子從電場中飛出時的速度為多大？

圖2

【解析】取負電荷為研究對象，由于它做直線運動，則它除了受到電場力作用外，它所受的重力不可忽略，且電場力和重力的合力應(yīng)與初速度方向同向，如圖3所示。

圖3

在豎直方向Eq·cosθ=mg

在水平方向F合=Eq·sinθ=ma

解以上五式得v=1 m/s。

(2)非勻變速直線運動

帶電粒子受到的電場力和其他力的合力的方向與初速度方向在同一直線上，且合力的大小發(fā)生變化，則帶電粒子將做非勻變速直線運動。求解時常用動能定理和能量守恒定律等物理規(guī)律。

【例3】如圖4所示，直角三角形的斜邊傾角為30°，底邊BC長為2L，處在水平位置，斜邊AC是光滑絕緣的，在底邊中點O處放置一正電荷Q。一個質(zhì)量為m，電荷量為q的帶負電的質(zhì)點從斜面頂端A沿斜邊滑下，滑到斜邊上的垂足D時速度為v0，則該質(zhì)點運動到非常接近斜邊底端C點時的速度vC為多少？

圖4

【解析】取質(zhì)點為研究對象，它受到電場力F(正電荷施加的)、重力mg和彈力FN三個力的作用。由于F和FN是變力，因此，質(zhì)點做變加速運動。

由于D點和C點是等電勢點，質(zhì)點從D點運動到C點的過程中，電場力做功等于零。由動能定理得

3.帶電粒子在電場中做曲線運動

(1)類平拋運動(偏轉(zhuǎn)問題)

帶電粒子僅受電場力作用，電場力的大小恒定，且方向與初速度方向垂直時，帶電粒子將在電場中做類平拋運動。求解時常用運動的獨立性原理。

圖5

【解析】帶電粒子在勻強電場中僅受電場力的作用，且電場力的方向與初速度方向垂直，則帶電粒子做類平拋運動

在水平方向L=v0·t

由牛頓第二定律得Eq=ma

帶電粒子離開電場后做勻速直線運動，由幾何關(guān)系得

(2)一般的曲線運動

帶電粒子在電場中受電場力和其他力的作用，當合力的方向與初速度方向成一般的角度時，帶電粒子將在電場中做一般的曲線運動。若帶電粒子所受的合力是恒力時，求解時一般采用運動的獨立性原理，即對兩個分運動分別進行研究，并建立方程。若合力是變力時，則需應(yīng)用動能定理或能量守恒定律求解。

【例5】如圖6所示，兩平行金屬板A、B豎直放置，極間距離為d，板長為L，極間電壓為U，兩極間中線上方有P、Q兩點，距離為h。P點有一質(zhì)量為m，帶電荷量為q的帶電粒子，從靜止開始下落，求：

(1)粒子通過金屬板的時間；

(2)粒子通過電場后的水平速度。

圖6

【解析】(1)帶電粒子從P點運動到Q點過程中做自由落體運動，設(shè)粒子在Q點的速度為v0，由機械能守恒定律得

帶電粒子在電場中運動時，受到重力和電場力的作用，因此，在豎直方向帶電粒子的加速度為g，則由運動學(xué)公式得

vy-v0=gt

(2)在水平方向，粒子受電場力作用，由牛頓第二定律得

qE=ma

由運動學(xué)公式得vx=at

(3)圓周運動

帶電粒子在電場力和其他力的作用下，沿某一圓周運動。求解此類問題需應(yīng)用動能定理、能量守恒定律和相關(guān)的圓周運動知識。

【例6】如圖7所示，AB是放在電場強度為E的水平勻強電場中的絕緣光滑水平軌道，BCD是半徑為R絕緣光滑的半圓環(huán)豎直軌道，C點為BD弧的中點。AB長為s，一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的小球由靜止開始在電場力作用下自A點沿軌道運動，求：

(1)它運動到C點時速度是多大；

(2)此時它對軌道的壓力是多大？

圖7

【解析】(1)取小球為研究對象，小球從A點運動到C點的過程中，電場力做正功，重力做負功。由動能定理得

(2)由圓周運動知識可知，小球在C點時，受到的軌道對它的彈力FN與電場力的合力提供向心力，即

4.帶電粒子在電場中的振動

帶電粒子在電場力和其他力的作用下，若所受的合力滿足回復(fù)力的條件，則帶電粒子在電場中將做機械振動。求解時需應(yīng)用牛頓運動定律、動能定理及振動的相關(guān)知識。

【例7】如圖8所示，一長為L的細線，上端固定在O點，下端有一質(zhì)量為m的小球，將它們置于一個足夠大的勻強電場中，電場強度大小為E，方向水平向右，已知當細線離開豎直位置的偏角為θ時，小球處于平衡狀態(tài)。如果使細線的偏角由θ增大到θ+α，且使α小于5°，然后將小球由靜止開始釋放，則小球運動的周期為多大？

圖8

【解析】取小球為研究對象，小球受到電場力和重力的作用，將重力場和電場合二為一等效為復(fù)合場，則復(fù)合場的作用力為：

小球在此復(fù)合場中將做簡諧運動，可與單擺相類比，P點為平衡位置，最大擺角為α，如圖9所示，則小球運動的周期為

圖9

5.帶電粒子在交變電場中的運動

當在兩平行金屬板間加交變電壓時，在兩板間就產(chǎn)生一個交變電場，這個電場從空間上看是勻強電場，即在同一時刻電場中各處的電場強度是相同的；從時間上看是變化的，即在不同的時刻電場強度是不同的。帶電粒子在交變電場中運動時，若僅受電場力的作用，則帶電粒子常見的運動有：直線運動、曲線運動和振動等。研究此類問題的關(guān)鍵在于根據(jù)受力特點，確定運動特征。一般選用牛頓第二定律和運動學(xué)規(guī)律求解。

【例8】如圖10所示，長為L、相距為d的兩平行金屬板與一交流電源相連(圖中未畫出)，有一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的帶負電的粒子以初速度v0從板中央水平射入電場，從飛入時刻算起，A、B板間所加電壓的變化規(guī)律如圖10所示，為了使帶電粒子離開電場時速度方向恰好平行于金屬板，重力的影響可不計。則：

(1)交變電壓周期T應(yīng)滿足什么條件？

(2)加速電壓值U0的取值范圍多大。

圖10

【解析】(1)帶電粒子射入電場后，由于僅受電場力的作用，沿著金屬板方向做勻速直線運動，即有L=v0·t

帶電粒子沿垂直于金屬板方向做交替的勻加速運動和勻減速運動，由對稱性可知，經(jīng)過一個周期時，帶電粒子沿垂直于金屬板方向的末速度仍為零。因此，要使帶電粒子離開電場時速度方向恰好平行于金屬板，則帶電粒子運動的時間必須滿足

t=NT(N=1，2…)

(2)帶電粒子沿垂直于金屬板方向在半個周期內(nèi)通過的位移為

使帶電粒子能離開金屬板(不與板碰撞)，則帶電粒子沿垂直于金屬板方向的位移應(yīng)滿足如下條件