分類例析天體運動中的追及與幾何條件問題

河北 牛紅標(biāo)

天體的運動問題一直是歷年高考的熱點問題，隨著我國航天事業(yè)的快速發(fā)展，有關(guān)衛(wèi)星的實際應(yīng)用問題也逐漸成為高考命題的立足點，切合新課標(biāo)下考查學(xué)生學(xué)以致用的實踐能力，考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，而這類相關(guān)問題分析較為復(fù)雜，尤其需要一定的形象思維能力，并能夠畫出相對應(yīng)條件下的物理情景才能順利解決。筆者對這些問題做了相關(guān)的整理，并給出相關(guān)的解題方法及技巧，希望能對學(xué)生有幫助。

一、追及相遇問題

【例1】被人們稱之為“筆尖下的行星”的海王星的發(fā)現(xiàn)過程，給萬有引力定律確立了正確堅實的地位。如圖1所示，在長期觀察過程中發(fā)現(xiàn)天王星A的行為總有些“古怪”，根據(jù)萬有引力定律計算的結(jié)果總有一些偏差，天王星A周期性地每隔t0時間發(fā)生一次最大的軌道偏離，天文學(xué)家認(rèn)為形成這種現(xiàn)象的原因可能在天王星外面還有一顆未發(fā)現(xiàn)的行星B，它的吸引使天王星的軌道發(fā)生了偏離。假設(shè)其運行軌道與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同，它對A的萬有引力引起A軌道的偏離。已知天王星的運動周期為T0，其軌道半徑為R0，根據(jù)上述現(xiàn)象及假設(shè)，行星的運行軌道看作是圓形軌道，你能對未知行星B的運動得到哪些定量的預(yù)測？

圖1

可見加速度為定值，導(dǎo)體棒做勻加速直線運動。

可解得未知天體B的軌道半徑

【例2】太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動，當(dāng)?shù)厍蚯『眠\行到某個行星和太陽之間，且三者幾乎成一條直線的現(xiàn)象，天文學(xué)稱為“行星沖日”。據(jù)報道，2014年各行星沖日時間分別是1月6日木星沖日；4月9日火星沖日；6月11日土星沖日；8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日，已知地球軌道以外的行星繞太陽運動的軌道半徑如表所示，則下列判斷正確的是

( )

A.地外行星每年都會出現(xiàn)沖日現(xiàn)象

B.在2015年內(nèi)一定會出現(xiàn)木星沖日

C.天王星相鄰兩次的沖日的時間是土星的一半

D.地外行星中，海王星相鄰兩次沖日間隔時間最短

【點評】圓周運動不同軌道上衛(wèi)星的追及問題中，距離最近，距離最遠(yuǎn)通常是要求理解的兩個重要問題，注意轉(zhuǎn)過的角度與圈數(shù)的關(guān)系，結(jié)合實際情境是解決問題的關(guān)鍵。

二、在赤道上觀測衛(wèi)星問題

( )

圖2

【例4】地面衛(wèi)星監(jiān)測技術(shù)在軍事、工業(yè)、農(nóng)業(yè)、生產(chǎn)、生活等方面發(fā)揮著巨大作用，對地面上的重要目標(biāo)需要衛(wèi)星不間斷的進(jìn)行跟蹤監(jiān)測是一項重要任務(wù)。假設(shè)在赤道上有一個需跟蹤監(jiān)測的目標(biāo)，其中一顆監(jiān)測衛(wèi)星，位于赤道平面內(nèi)，離地面的飛行高度為R，飛行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期為T，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，忽略大氣層對光線傳播的影響，則此衛(wèi)星在一個運動周期中對目標(biāo)連續(xù)監(jiān)測的最長時間為

( )

圖3

故本題的正確選項為A。

【點評】這兩個例題涉及不同轉(zhuǎn)速的兩個物體的追及問題和光的直線傳播問題，相對難度較大，恰好不能觀測到時對應(yīng)位置與地球?qū)?yīng)點相切，作出并理解兩個關(guān)鍵位置的示意圖，并根據(jù)示意圖找出對應(yīng)的幾何關(guān)系，再根據(jù)轉(zhuǎn)動追及相關(guān)知識求解。

三、衛(wèi)星與地面通信問題

【例5】有一顆同步衛(wèi)星，其定點位置與東經(jīng)98°的經(jīng)線在同一平面內(nèi)，在甘肅省嘉峪關(guān)處設(shè)有微波接收站，用來接收衛(wèi)星發(fā)送的微波信號，嘉峪關(guān)處的經(jīng)度和緯度近似取為東經(jīng)98°和北緯α=40°,已知地球半徑R、地球自轉(zhuǎn)周期T、地球表面重力加速度g(視為常量)和光速c，微波信號看作沿直線傳播，則有關(guān)同步衛(wèi)星以下說法正確的是

( )

A.同步衛(wèi)星可以定點在嘉峪關(guān)的正上方

圖4

對上面幾式聯(lián)立可解得

所以C正確，D錯誤。本題的正確選項為C。

【例6】“嫦娥一號”探月衛(wèi)星是在繞月極地軌道上運動的，加上月球的自轉(zhuǎn)，因而“嫦娥一號”衛(wèi)星能探測到整個月球的表面。12月11日“嫦娥一號”衛(wèi)星CCD相機(jī)已對月球背面進(jìn)行成像探測，并獲取了月球背面部分區(qū)域的影像圖。衛(wèi)星在繞月極地軌道上做圓周運動時距月球表面高為H，繞行的周期為TM；月球繞地球運動的公轉(zhuǎn)半徑為R0，月球繞地公轉(zhuǎn)的周期為TE，地球半徑為RE，月球半徑為RM。當(dāng)“嫦娥一號”衛(wèi)星繞月極地軌道的平面與月球繞地公轉(zhuǎn)的軌道平面垂直，也與地心到月心的連線垂直時(如圖5所示)探月衛(wèi)星向地球發(fā)送所拍攝的照片，(已知光速為c)以下說法正確的是

( )

圖5

A.在地球上一半的范圍內(nèi)能收到發(fā)送的照片信息

C.地球上赤道上的某個位置最先收到照片信息

【解析】由于衛(wèi)星發(fā)送的信號是由一個點發(fā)出的，所以地球上接收到信息的區(qū)域小于一半；設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量是m，月球和地球的質(zhì)量分別為M月和M地。衛(wèi)星繞月球做圓周運動，由月球的萬有引力提供衛(wèi)星的向心力，由牛頓第二定律可得

圖6

設(shè)探月極地軌道上衛(wèi)星到地心的距離為L0

則衛(wèi)星到地面最短距離為L0-RE

將照片發(fā)回地面的時間

D正確，C錯誤，故本題正確選項為D。

【點評】本題解題關(guān)鍵是照片由衛(wèi)星傳送到地球上的哪一點時間最短，即衛(wèi)星到地面上的最小距離，由幾何關(guān)系可以證明，當(dāng)沿著衛(wèi)星與地心連線方向傳送時距離最小，歷時最短。

四、天體遮擋問題

【例7】某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星，試問，春分那天(太陽光直射赤道)在日落12小時內(nèi)有多長時間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g,地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對光的折射。

【解析】由題意作出衛(wèi)星環(huán)繞地球運動的情景圖，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入地球的陰影區(qū)的S點時，太陽光被遮擋，無法看到此衛(wèi)星，當(dāng)運動到離開陰影區(qū)域時重新被觀察到，由圖7可知衛(wèi)星在轉(zhuǎn)動角度為2θ的時間內(nèi)看不到此衛(wèi)星，設(shè)衛(wèi)星的軌道半徑為r

圖7

【例8】我國發(fā)射的“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息,讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化。衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號發(fā)回地球。設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M和m,地球和月球的半徑分別為R和R1,月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r1,月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期為T。假定在衛(wèi)星繞月運行的一個周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面,求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時間(用M、m、R、R1、r、r1和T表示,忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動對遮擋時間的影響)。

【解析】如圖8所示，O和O′分別表示地球和月球的中心。在衛(wèi)星軌道平面上，A是地月連心線OO′與地月球面的公切線ACD的交點，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星圓軌道的交點，根據(jù)對稱性，過A點在另一側(cè)作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點。衛(wèi)星在圓弧BE上運動時發(fā)出的信號被遮擋。

圖8

設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m0，萬有引力常量為G，根據(jù)萬有引力定律有

式中T1是探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動的周期

設(shè)衛(wèi)星的微波信號被遮擋的時間為t，則由于衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動，有

式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B。

由幾何關(guān)系得

rcosα=R-R1⑤

r1cosβ=R1⑥

由③④⑤⑥式得

【例9】A、B是兩顆人造地球衛(wèi)星，繞地球做勻速圓周運動，軌道在同一平面內(nèi)，繞行方向相同，其運動周期分別為T1和T2，并且A的軌道半徑小于B，A距地面高度為h1，B距地面高度為h2；當(dāng)兩顆衛(wèi)星位置的連線與地面相切時，如圖9所示，O為地心，兩顆衛(wèi)星與地心的連線與兩衛(wèi)星連線間的夾角分別為α、β，地球半徑為R，若A、B兩衛(wèi)星的信息通訊的微波以直線傳播，且忽略大氣層的影響，由于地球的遮擋，一段時間t內(nèi)兩衛(wèi)星不能直接進(jìn)行聯(lián)系，關(guān)于兩顆衛(wèi)星的以下說法正確的是

( )

圖9

圖10

【點評】本題難度較大，兩個衛(wèi)星在以不同的角速度運動，相對位置不斷發(fā)生變化，尤其是CD選項的分析，選B衛(wèi)星作為參考系，畫出相應(yīng)的遮擋位置，運用轉(zhuǎn)動追及的相關(guān)知識解決問題。

五、觀測范圍問題

【例10】偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓形軌道上運動，它的運動軌道距離地面的高度為h，要使衛(wèi)星在一天時間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星的攝像機(jī)至少能拍攝地面上赤道圓弧的弧長是多少？設(shè)地球的半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T。

【解析】情景如圖11所示，

圖11

由題意知衛(wèi)星需要在日照條件下每次經(jīng)過赤道上方時進(jìn)行拍照，設(shè)衛(wèi)星運動周期為T1，則

則在衛(wèi)星運動一個周期內(nèi)地球轉(zhuǎn)過的弧長s=θR=ωRT1

【點評】注意本題中的條件，要求衛(wèi)星在日照條件下拍攝，所以衛(wèi)星每運動一個周期只能拍下一張，相對應(yīng)地球轉(zhuǎn)過的弧長。