帶電粒子在有界磁場中的運動分析及求解

廣東 古煥標

有界勻強磁場是指只在局部空間存在著勻強磁場。帶電粒子在有界勻強磁場中做勻速圓周運動的題型既要用到物理中的洛倫茲力、牛頓第二定律及圓周運動的知識，又要用到數(shù)學中的平面幾何、三角函數(shù)的知識，題型綜合性強，是高中物理考試命題的常見題型，也是高考的高頻考點和考查重點。所以無論是高考一輪復習還是二輪復習，這部分內(nèi)容都應該作為復習重點。本文針對有界勻強磁場邊界的特點和涉及的臨界情況，分類歸納帶電粒子在有界勻強磁場中做勻速圓周運動的一般解題思路與方法，以供學生學習參考。

一、解題思路

帶電粒子垂直進入有界勻強磁場，若僅受洛倫茲力作用時，粒子將做勻速圓周運動。由于邊界磁場的形狀不同，使得邊界條件和臨界條件就不盡相同，但此類題型終歸是屬于帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的問題，所以處理這類題型的一般解題思路是定圓心、畫軌跡、找半徑、求時間。

1.定圓心：若已知帶電粒子運動軌跡上的兩個特殊點(射入和射出磁場時的兩點)，過這兩點作帶電粒子運動方向的垂線(這兩垂線即為粒子在這兩點所受洛倫茲力的方向)，則兩垂線的交點就是圓心；若只已知過其中一個點的粒子運動方向，則除過已知運動方向的該點作垂線外，還要將這兩點相連作弦，再作弦的中垂線，兩垂線交點就是圓心。

2.畫軌跡：根據(jù)題目所給條件和圓心位置，畫出帶電粒子在磁場中運動的軌跡圖，這是解題的關鍵步驟。

二、邊界磁場的分類與解題策略

按照有界磁場的形狀來分，有界磁場可分為單直線邊界磁場、三角形邊界磁場、圓形邊界磁場等類型。解決帶電粒子在有界勻強磁場中做勻速圓周運動的一般方法是弄清有界磁場邊界的特點和涉及的臨界情況，確定圓弧軌跡的圓心位置，準確畫出運動軌跡圖(或動態(tài)軌跡圖)，靈活運用數(shù)學知識和物理規(guī)律，找到已知量與軌跡半徑R、周期T的關系來求解。

1．單直線邊界磁場(1條邊界線)

【例1】(2016·全國卷Ⅰ)現(xiàn)代質譜儀可用來分析比質子重很多倍的粒子，其示意圖如圖1所示，其中加速電壓恒定。質子在入口處從靜止開始被加速電場加速，經(jīng)勻強磁場偏轉后從出口離開磁場。若某種一價正離子在入口處從靜止開始被同一加速電場加速，為使它經(jīng)勻強磁場偏轉后仍從同一出口離開磁場，需將磁感應強度增加到原來的12倍。此離子和質子的質量比約為

( )

圖1

A．11 B．12 C．121 D．144

【答案】D

【感悟】本小題存在大量需要自設符號的物理量，在平時物理教學中，應加強學生自設符號規(guī)范性的訓練。解答本題的關鍵是明確帶電粒子垂直于磁場邊界進入磁場，其運動軌跡一定為半圓，洛倫茲力提供向心力，一價正離子的運動半徑與質子的運動半徑相等，結合動能定理即可求解。

2．平行雙直線邊界磁場(2條邊界線)

【解題策略】平行雙直線邊界磁場題型中常存在臨界約束條件問題，找到相應的臨界狀態(tài)(通常帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切是剛好穿出或剛好穿不出磁場邊界的約束臨界條件)，畫出臨界運動軌跡圖，是解題的突破口。當帶電粒子進入平行雙直線邊界磁場時，在確定出符合題意的臨界約束條件后，畫出包括圓心、半徑、軌跡、弦線、回旋角的運動情境圖，運用幾何關系來確定半徑，根據(jù)圓心角來確定時間。

(2)此時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；

(3)從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間。

【解析】(1)粒子沿y軸的正方向進入磁場，從P點經(jīng)過，作OP的垂直平分線與x軸的交點為圓心，如圖3甲所示，根據(jù)直角三角形有

則粒子做圓周運動的圓心角為120°，周期T=3t0

(2)仍在磁場中的粒子運動的圓心角必大于120°，這樣粒子角度最小時從磁場右邊界穿出，圓心角為120°，所經(jīng)過圓弧的弦與圖3乙中相等，穿出點如圖3乙所示，根據(jù)弦與半徑、x軸的夾角都是30°，所以此粒子初速度與y軸的正方向的夾角α是60°；粒子角度最大時從磁場左邊界穿出，如圖3丙所示，半徑與x軸負方向的夾角是60°，則此粒子初速度與y軸的正方向的夾角β是120°，所以速度與y軸的正方向的夾角范圍是60°到120°。

【感悟】處理帶電粒子在平行雙直線邊界磁場中運動的題型時，關鍵是要掌握如何定圓心、畫軌跡圖，利用圓的幾何知識確定軌跡半徑，把物理知識和有關圓的幾何知識結合起來解決物理問題，同時還要確定出符合題意的臨界約束條件，其中帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切往往是剛好穿出或剛好穿不出磁場邊界的約束條件。

3．三角形邊界磁場(3條邊界線)

【解題策略】解答三角形邊界磁場的題型時，首先要弄清邊界條件和臨界條件，通常軌跡與邊界相切是帶電粒子在磁場區(qū)域運動的臨界約束條件。三角形邊界磁場問題包括帶電粒子沿某個直線邊界射入磁場或與某個直線邊界成某一角度射入磁場，粒子從另一磁場邊界射出，在考慮到臨界約束條件的情況下，可仿照直線邊界題型處理。

( )

A．當θ=45°時，粒子將從AC邊射出

B．所有從OA邊射出的粒子在磁場中運動時間相等

C．隨著θ角的增大，粒子在磁場中運動的時間先變大后變小

D．在AC邊界上只有一半?yún)^(qū)域有粒子射出

【答案】AD

【感悟】本題中，根據(jù)三角形邊界磁場的邊角關系，結合臨界約束條件，確定粒子運動的圓心位置，畫出運動軌跡圖，利用數(shù)學知識和物理規(guī)律確定半徑。當粒子速度大小一定時，弧長(或弦長)越長，對應的圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間就越長。此類題型能很好地考查學生的思維能力與空間想象力。

4．矩形邊界磁場(4條邊界線)

【解題策略】帶電粒子從邊界進入矩形(正方形或長方形)邊界磁場中運動，若從原邊界射出，可仿照單直線邊界磁場題型處理；若從對面邊界射出，可仿照平行雙直線邊界磁場問題處理；若從其他邊界射出，可先確定帶電粒子運動的圓心位置，畫出運動軌跡圖(或動態(tài)軌跡圖)，然后運用幾何關系和物理規(guī)律求得半徑和運動時間。

【例4】(2016·棗莊高三期末)如圖5所示，有一個正方形的勻強磁場區(qū)域abcd，e是ad的中點，f是cd的中點，如果在a點沿對角線方向以速度v射入一帶負電的帶電粒子(帶電粒子重力不計)，恰好從e點射出，則

( )

A．如果粒子的速度增大為原來的二倍，將從d點射出

B．如果粒子的速度增大為原來的三倍，將從f點射出

C．如果粒子的速度不變，磁場的磁感應強度變?yōu)樵瓉淼亩叮矊膁點射出

D．只改變粒子的速度使其分別從e、d、f點射出時，從e點射出所用時間最短

【答案】A

5．正六邊形邊界磁場(6條邊界線)

【解題策略】帶電粒子從邊界進入正六邊形邊界磁場中運動，根據(jù)粒子的速度方向找出半徑方向，由磁場邊界和題設條件尋找臨界約束條件，確定臨界狀態(tài)，畫出粒子做圓周運動的軌跡圖、確定圓心位置，再充分利用幾何關系找出運動軌跡所對應的圓心角，求出粒子做圓周運動的半徑和時間，使問題得以解決。

【例5】(2016·四川卷)如圖7所示，正六邊形abcdef區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強磁場。一帶正電的粒子從f點沿fd方向射入磁場區(qū)域，當速度大小為vb時，從b點離開磁場，在磁場中運動的時間為tb；當速度大小為vc時，從c點離開磁場，在磁場中運動的時間為tc。不計粒子重力，則

( )

圖7

A．vb∶vc=1∶2，tb∶tc=2∶1

B．vb∶vc=2∶1，tb∶tc=1∶2

C．vb∶vc=2∶1，tb∶tc=2∶1

D．vb∶vc=1∶2，tb∶tc=1∶2

圖8

【答案】A

【感悟】本題考查帶電粒子在正六邊形邊界磁場中的運動題型，意在考查應用磁場對運動電荷的作用規(guī)律解決問題的能力。本題解題的關鍵是要結合邊界臨界條件，確定粒子做圓周運動的圓心，由幾何關系求出粒子做圓周運動的半徑以及運動軌跡所對應的圓心角(或運動時間)。

6．圓形邊界磁場

【解題策略】在求解帶電粒子在圓形邊界磁場中的運動題型時，首先由題中條件確定粒子在磁場中運動的入射或出射位置，畫出粒子的運動軌跡圖。若粒子沿磁場半徑方向進入磁場，則粒子必定還沿半徑方向離開磁場；若入射粒子不對準圓心射入磁場，當圓形磁場的半徑R與圓周運動的軌道半徑r相同時，則可考慮將兩個圓心(磁場圓心O、軌跡圓心O′)、兩個點(入射點、出射點)構成菱形，當圓形磁場的半徑R與圓周運動的軌道半徑r不相同時，則可考慮將兩個圓心(磁場圓心O、軌跡圓心O′)、兩個點(入射點、出射點)構成兩個全等三角形。然后由幾何關系和三角函數(shù)知識確定帶電粒子的軌跡半徑或軌跡圓弧所對應的圓心角θ，根據(jù)圓周運動知識確定粒子在磁場中的運動周期、運動時間、速度等物理量。

【例6】(2016·全國卷Ⅱ)一圓筒處于磁感應強度大小為B的勻強磁場中，磁場方向與筒軸平行，筒的橫截面如圖9所示。圖中直徑MN的兩端分別開有小孔，筒繞其中心軸以角速度ω順時針轉動。在該截面內(nèi)，一帶電粒子從小孔M射入筒內(nèi)，射入時的運動方向與MN方向夾角為30°。當筒轉過90°時，該粒子恰好從小孔N飛出圓筒。不計重力。若粒子在筒內(nèi)未與筒壁發(fā)生碰撞，則帶電粒子的比荷為

( )

圖9

圖10

【答案】A

7．環(huán)形邊界磁場

【解題策略】勻強磁場邊界為環(huán)形時，尋找?guī)щ娏Ｗ舆\轉半徑和中空磁場的邊界因素(磁場邊界或磁場半徑)仍是解題的中心環(huán)節(jié)，解題可仿照圓形邊界磁場題型處理。另外，巧妙運用時、空間對稱性和周期性可有效突破空間思維障礙。

圖11

(1)若粒子運動軌跡與小圓相切，求Ⅰ區(qū)磁感應強度的大小；

據(jù)題意分析，粒子兩次與大圓相切的時間間隔內(nèi)，運動軌跡如圖12乙所示，根據(jù)對稱可知，Ⅰ區(qū)兩段圓弧所對圓心角相同，設為θ1，Ⅱ區(qū)內(nèi)圓弧所對圓心角設為θ2，圓弧和大圓的兩個切點與圓心O連線間的夾角設為α，由幾何關系得，θ1=120°，θ2=180°，α=60°

粒子重復上述交替運動回到H點，軌跡如圖12丙所示，設粒子在Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)做圓周運動的時間分別為t1，t2，可得

設粒子運動的路程為s，由運動學公式得

s=v(t1+t2)

解得s=5.5πD。

圖12

【感悟】本題中帶電粒子沿H點緊靠大圓內(nèi)側射入磁場，依題意知粒子運動軌跡與小圓相切是臨界約束條件，從而作出帶電粒子運動軌跡圖，根據(jù)幾何關系計算半徑，根據(jù)圓心角確定時間。另外，靈活運用時、空間對稱性和周期性是處理復雜問題的巧妙方法。